第五講函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、法則法則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法法則則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf 法則法則 )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf ).0)(limxg 極限運算法則極限運算法則可推廣到有限個變量可推廣到有限個變量可推廣到有限個變量及其特例可推廣到有限個變量及其特例g(x)=C時時說明： （說明： （1 1）這個重要極限主要解決含有三角函數(shù)）這個重要極限主要解決含有三角函數(shù)的的00型極限型極限 （2 2）為了強調其一般形式）為了強調其一般形式, ,我們把它形象地寫成我們把它形象地寫成1sinlim0口口口 ( (方框代表同一變量方框代表同一

2、變量) ) 1. 1. 1sinlim0 xxx 兩個重要極限兩個重要極限2 2. . e11limxxx ettt 101limlim或或說明： （說明： （1 1）此極限主要解決）此極限主要解決 1型冪指函數(shù)的極限型冪指函數(shù)的極限 （2 2）它可形象地表示為）它可形象地表示為 e11lim口口）口（ ( (方方框代表同一變量框代表同一變量) ) 定定義義 設設某某一一極極限限過過程程中中, , 與與 都都是是無無窮窮小小, ,且且 Clim（C為為常常數(shù)數(shù)）. . 無窮小的比較無窮小的比較 常常用用的的幾幾個個等等價價無無窮窮小小代代換換 一、函數(shù)的連續(xù)性定義一、函數(shù)的連續(xù)性定義 二、初等

3、函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 連續(xù)性是自然界中各種物態(tài)連續(xù)變化的數(shù)學體現(xiàn)，這方面實例可以舉出很多，如水的連續(xù)流動、身高的連續(xù)增長等 函函數(shù)數(shù)的的增增量量 設設函函數(shù)數(shù))(xfy在在點點 0 x的的某某鄰鄰域域上上有有定定義義， 當當自自變變量量 x由由 0 x變變到到xx0時時， 函函數(shù)數(shù) y相相應應由由)(0 xf變變到到)(0 xxf，函函 數(shù)數(shù)相相應應的的增增量量為為 )()(00 xfxxfy. . O x y x f y 0 x x x 0 x y ( ) 其其幾幾何何意意義義如如右右圖圖 所所示示 第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函

4、數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性定義一、函數(shù)的連續(xù)性定義定定義義 1 1 設設函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點 0 x的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義，如如果果自自變變量量的的增增量量0 xxx趨趨于于零零時時，對對應應的的函函數(shù)數(shù)增增量量也也趨趨于于零零，即即 0)()(limlim0000 xfxxfyxx 則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x是是連連續(xù)續(xù)的的 由于由于y也寫成也寫成)()(0 xfxfy，所以上述定義，所以上述定義 1 1中表達式也寫為中表達式也寫為 0)()(lim00 xfxfxx , , 即即 )()(lim00 xfxfxx 于是有于是有 說說明明：函函數(shù)數(shù))(xf在在點

5、點 0 x連連續(xù)續(xù)，必必須須同同時時滿滿足足以以下下三三個個條條件件： ( (1 1) ) )(xf在在點點 0 x的的一一個個鄰鄰域域內內有有定定義義； ( (2 2) ) )(lim0 xfxx存存在在； (3)(3)上述極限值等于函數(shù)值上述極限值等于函數(shù)值)(0 xf 如如果果上上述述條條件件中中至至少少有有一一個個不不滿滿足足，則則點點 0 x就就是是函函數(shù)數(shù))(xf的的間間斷斷點點 定定義義 2 2 設設函函數(shù)數(shù))(xfy 在在點點0 x的的某某鄰鄰域域內內有有定定義義，若若)()(lim00 xfxfxx，則則稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點點0 x處處連連續(xù)續(xù) 定義定義 3 3 ( (

6、間斷點的分類間斷點的分類) ) 設設 0 x為為)(xf的一個間的一個間斷點，如果當斷點，如果當0 xx 時，時， )(xf的左、右極限都存在，的左、右極限都存在，則稱則稱0 x為為)(xf的第一類間斷點；否則，稱的第一類間斷點；否則，稱 0 x為為)(xf的的第二類間斷點第二類間斷點 對第一類間斷點對第一類間斷點還有還有 ( (1 1) )當當)(lim0 xfxx與與)(lim0 xfxx均均存存在在，但但不不相相等等時時，稱稱 0 x為為)(xf的的跳跳躍躍間間斷斷點點； ( (2 2) )當當)(lim0 xfxx存存在在， 但但不不等等于于)(xf在在 0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值時時

7、，稱稱0 x為為)(xf的的可可去去間間斷斷點點 若若)(lim0 xfxx，則則稱稱 0 x為為)(xf的的無無窮窮間間斷斷點點，無無窮窮間間斷斷點點屬屬第第二二類類間間斷斷點點 例例 1 1 設設 21,1,1xxf xxx，討討論論)(xf在在1x處處的的連連續(xù)續(xù)性性 解解 因為因為 1lim)(lim211xxfxx , , 2) 1(lim)(lim11xxfxx, , 即即)(lim1xfx不存在 所以不存在 所以1x是是第一類間斷點，且為跳躍間斷點 （如下頁圖第一類間斷點，且為跳躍間斷點 （如下頁圖 7 7）. . 例例 2 2 設設 4,01,0 xxfxxx，討討論論)(xf

8、在在0 x處處的的連連續(xù)續(xù)性性 解解因因為為0lim)(lim400 xxxfxx；1)0(f即即)0()(lim0fxfx 所所以以0 x是是)(xf的的第第一一類類間間斷斷點點，且且為為可可去去間間斷斷點點 （如如下下頁頁圖圖 8 8）. . O x y 2 1 1 圖圖7 7 O x 1 y 圖圖 8 8 如如果果)(xf在在區(qū)區(qū)間間),(ba內內每每一一點點都都是是連連續(xù)續(xù)的的，就就稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間),(ba內內連連續(xù)續(xù)若若)(xf在在),(ba內內連連續(xù)續(xù)，在在ax 處處右右連連續(xù)續(xù)，在在bx 處處左左連連續(xù)續(xù)，則則稱稱)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù). . 連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的

9、的圖圖形形是是一一條條連連續(xù)續(xù)不不斷斷的的曲曲線線 若若00lim( )()xxf xf x,則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在 0 x處右連續(xù)處右連續(xù), 若若00lim( )()xxf xf x,則稱函數(shù)在則稱函數(shù)在 0 x處左連續(xù)處左連續(xù). 1 1 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的 求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間關于分段求初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是求其定義區(qū)間關于分段函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性，除按上述結論考慮每一段函數(shù)的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性外，還必須討論分界點處的連續(xù)性

10、 2 2 利用函數(shù)的連續(xù)性求極限利用函數(shù)的連續(xù)性求極限若若)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)， 則則 )()(lim00 xfxfxx ， 即即求求連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的極極限限，可可歸歸結結為為計計算算函函數(shù)數(shù)值值 二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性 判斷函數(shù)連續(xù)性的方法判斷函數(shù)連續(xù)性的方法由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內總是連續(xù)，由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內總是連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)性討論所以函數(shù)的連續(xù)性討論多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性 例 討論函數(shù) ,1sin,)(xxxxf00 xx0 x 在點在點處的連續(xù)性處的連續(xù)性0 x0 x 解 由于函數(shù)在分段點處兩邊的表達

11、式不同，因而，一般處兩邊的表達式不同，因而，一般要考慮在分段點要考慮在分段點處的左極限與右極限處的左極限與右極限因而有因而有01sinlim)(lim, 0lim)(lim0000 xxxfxxfxxxx , 0)0(f即即而而0)0()(lim)(lim00fxfxfxx)(xf0 x由函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件知由函數(shù)在一點連續(xù)的充要條件知處連續(xù)處連續(xù) 例例 3 3 求求極極限限)ln(sinlim2xx 解解 因 為因 為)ln(sinx在在2x處 連 續(xù) ， 故 有處 連 續(xù) ， 故 有 01ln)2ln(sin)ln(sinlim2xx. . 3 3 復合函數(shù)求極限的方法復合函數(shù)求極限

12、的方法定定 理理1 1 設設 有有 復復 合合 函函 數(shù)數(shù))(xfy， 若若0lim( )xxxa，而而函函數(shù)數(shù))(uf在在ua點點連連續(xù)續(xù)，則則 .(limlim00a)fxfxfxxxx 例例 4 4 求求極極限限0ln(1)limxxx 解解 1ln(1)ln(1)xxxx，1ln(1)xx是 由是 由1ln ,(1)xyu ux復合而成的， 而復合而成的， 而10lim(1)exxx， 在， 在eu點點uln連續(xù)，故連續(xù)，故100ln(1)limlimln(1)xxxxxx 10lnlim(1) lne1xxx 例例 5 5 求求)arccos(lim2xxxx 解解 )arccos(

13、lim2xxxx )(limarccos2xxxx )()(limarccos222xxxxxxxxxx2arccos limxxxxx 321arccos1111limarccosxx. . 定理定理2 2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值 定定理理 3 3 若若函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ,ba上上連連續(xù)續(xù)，且且)(af與與)(bf異異號號，則則至至少少存存在在一一點點),(ba，使使得得0)(f 定定 理理 4 4 若若 函函 數(shù)數(shù))(xf在在 閉閉 區(qū)區(qū) 間間,ba上上 連連 續(xù)續(xù) ， 且且)()(bfaf，為為介介于于)(af與與)(

14、bf之之間間的的任任意意一一個個數(shù)數(shù)，則則至至少少存存在在一一點點( , )a b ，使使得得( )f 定理定理 3 3 稱為根的存在定理從幾何上看，如下頁左圖稱為根的存在定理從幾何上看，如下頁左圖所示，連續(xù)曲線所示，連續(xù)曲線)(xfy 從從x軸下側的點軸下側的點 A( (縱坐標縱坐標0)(af) )筆不離紙地畫到筆不離紙地畫到x軸上側的點軸上側的點 B( (縱坐標縱坐標0)(bf時，比與時，比與 x軸至少相交于一點軸至少相交于一點( ,0)C這表明若這表明若方程方程0)(xf，左端的函數(shù)，左端的函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba兩個端點處兩個端點處的函數(shù)值異號，則該方程在開區(qū)間的函數(shù)值異號，

15、則該方程在開區(qū)間),(ba內至少存在一個內至少存在一個根根 三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質O y B b A a C ) ( x f y ( ) b f a f ( ) x B b A a O x y 1 2 3 ) ( a f ) ( b f 例例 6 6 證證明明方方程程01sin xx在在 0與與 之之間間有有實實根根 證證 設設1sin)(xxxf，因為，因為)(xf在在),(內連續(xù)，內連續(xù)，所以，所以，)(xf在在, 0上也連續(xù)， 而上也連續(xù)， 而01)(, 01)0(ff, , 所以，據(jù)定理所以，據(jù)定理 3(3(根的存在定理根的存在定理) )知，至少有一個知，

16、至少有一個(0,) ，使得使得( )0f ，即方程，即方程01sin xx在在 0與與 之間至少有之間至少有一個實根一個實根 思考題思考題1 1. .如如果果)(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù)，問問)(xf在在 0 x處處是是否否連連續(xù)續(xù)？ 2 2. .區(qū)區(qū)間間ba,上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)一一定定存存在在著著最最大大值值與與最最小小值值嗎嗎？ 作業(yè)：作業(yè)：p4(補充三、補充三、 極限極限1. 極限定義的等價形式 (以 為例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 為無窮小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(00機動 目錄

17、 上頁 下頁 返回 完畢 2. 極限存在準則及極限運算法則3. 無窮小無窮小的性質 ; 無窮小的比較 ;常用等價無窮小: 4. 兩個重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 xsin;xxtan;xxcos1;221xxarctan;xxarcsin;x)1ln(x;x1xe;x1xa;lnax1)1 (x;x機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 5. 求極限的基本方法 例例6. 求下列極限：求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin12機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 0lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(e)1(ln12xxx