數(shù)二-基本知識(shí)點(diǎn)

1、數(shù)二基本知識(shí)點(diǎn)Deran Pan2017.8.11目錄第一章極限3一、定理 3二、重要極限3三、等價(jià)無(wú)窮小 3六、積分和求極限3四、佩亞諾余項(xiàng)泰勒展開(kāi)4第二章一元函數(shù)微分4一、函數(shù)微分4二、微分運(yùn)算法則4三、基本微分公式4四、變限積分求導(dǎo)4五、 N 階導(dǎo)數(shù) 4六、參數(shù)方程導(dǎo)數(shù) 5七、隱函數(shù)求導(dǎo)法則，哥指函數(shù)求導(dǎo)法則5八、反函數(shù)的一階、二階求導(dǎo)5九、單調(diào)、極值、凹凸、拐點(diǎn) 5十、漸近線5H一、曲率5十三、泰勒定理 5十四、極限與無(wú)窮小的關(guān)系 5十五、附5第三章一元函數(shù)積分 6一、定理 6二、基本積分公式 6三、基本積分方法 6四、一個(gè)重要的反常積分 7五、定積分的應(yīng)用 7第四章多元函數(shù)微分 7一

2、、如果liniMT.tOyTyOrzy存在，則/土）在該點(diǎn)連續(xù)7二、求重極限方法 7三、可微性討論7四、復(fù)合函數(shù)微分 7五、高階偏導(dǎo)7六、隱函數(shù)求導(dǎo)8七、二元函數(shù)極值的充分條件8八、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法8九、二重積分8十、柯西積分不等式 10第五章常微分方程10一、一階微分方程10二、可降階的高階微分方程 10三、高階常系數(shù)微分方程 10第一章行列式11一、余子式&代數(shù)余子式11二、幾個(gè)重要公式 11三、抽象n階方陣行列式公式 11第二章矩陣12一、運(yùn)算規(guī)則12二、特殊矩陣12三、可逆矩陣12四、秩12第三章向量13一、線性表出、線性相關(guān)、極大線性無(wú)關(guān)組13二、施密特正交化 13三

3、、正交矩陣13第四章線性方程組 13一、克拉默法則13二、齊次線性方程組、基礎(chǔ)解系13三、非齊次線性方程組、通解結(jié)構(gòu)13第五章特征值、特征向量、相似矩陣14一、特征值、特征向量 14二、相似矩陣14三、實(shí)對(duì)稱矩陣14四、矩陣、特征值、特征向量 14五、判斷A是否相似于對(duì)角15第六章二次型15一、二次型15二、標(biāo)準(zhǔn)型15三、規(guī)范型15四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范型 15五、合同15六、慣性定理15七、實(shí)對(duì)稱矩陣 A B合同的充要條件15八、正定15九、正定陣性質(zhì)16后記16第一章極限、定理夾逼定理，單調(diào)有界定理、重要極限洛必達(dá)法則slh xLlim = IZ.Um (1 + 九)'= XT

4、。六、積分和求極限X8-Ar -S. Jim x e、等價(jià)無(wú)窮小/(r)djr1 lim u = lim - riH四、佩亞諾余項(xiàng)泰勒展開(kāi)1、2、3、4、5、/二1 + * +/'+瞪討+1 3 t . (T)” 2)(1 1 t M 2n I 2 smx =工一講 +一十 rrn+?？贘(1 2 t-7加2n 1 1COS X = 1 - jjX + +而律 + OM J2 3nIn (1 + 工)=x - 2 + 可 + + (- 1)“ l +。(工”)1 地?n(rn - 1J 2X (m 1) «b*+ X (m - n I 1) 口 ,科(1 + m) = 1 +

5、 mx + J；X + - +X + 0X )第二章一元函數(shù)微分函數(shù)微分Ay = 4Ax + o(x)-力dr + o(x)微分運(yùn)算法則7、 MB 二四8、做皿=-(皿江r *-59、L=心c 幻EI10、做門)口 ni11、(cscx)=-cscx cotx* 1(arcsin x)412、 ，rt(arccos j:)二一13、 痔/ / 1(.arctan y).14、7 V -(arccol x),15、 I T四、變限積分求導(dǎo)%*）哂=也（力一，（啊Cx） * 單 1cx）五、N階導(dǎo)數(shù)曲率(i + (y) 了六、參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)十二、 定理費(fèi)馬定理（駐點(diǎn)）、羅爾定理、拉格朗日中值定理、

6、柯西中值定理。七、隱函數(shù)求導(dǎo)法則，幕指函數(shù)求導(dǎo)法則十三、泰勒定理八、反函數(shù)的一階、二階求導(dǎo)dx 111!U - %) +dydy / dK十四、極限與無(wú)窮小的關(guān)系fim / (x) =總十健中 Am ()jfTJfV,九、單調(diào)、極值、凹凸、拐點(diǎn)十、漸近線水平漸近線:鉛直漸近線:斜漸近線：lim / G= bHm l(x) = hlim - = at lim fix) - a x = Zj十五、附麥克勞林公式:、 ,八。)/E 2 嚴(yán)兄 一 fM = f(O) + x + X r +3 泰勒公式:f（Ko）V,（，o）佩亞諾余項(xiàng):拉格朗日余項(xiàng):跖=。卜- /）"心）=/（噌+a 7 j

7、+口卜-xjfW - /(xo)=.(算0).(H - Xo) 4 O(x -xo)3=/«0)-+8依-/)增量與微分的關(guān)系式1、2、3、定理定積分存在定理原函數(shù)存在定理積分中值定理j f(x)dx = /(<)< (i? - a)、基本積分公式第三章7、8、9、10、一元函數(shù)積分ftin xdx =- Inkos xl + CJcot xdx = Inlsin xl + CJ sec xdx = In Isec x + tan x| + CJ esc xdx = Inlcsc x - cot?rl + CscC xdx = tan x + C11、r IxJ . ,

8、,dx = arcsin - + C 15、二*.16、三、基本積分方法1、湊微分法Jr2 ± a2、換元積分法24C)含 M 一口，命 K =3、部分積分法4、利用被積函數(shù)的奇偶性5、拆項(xiàng)積分2、平面曲線的弧長(zhǎng)四、一個(gè)重要的反常積分3、旋轉(zhuǎn)體體積V = n y2(x)dx= n Jdx2n I xy2(x) - y(刈皿J a4、五、定積分的應(yīng)用S = 2tt1、平面圖形的面積A = -| p9)d6上J /TS= ZttJ |y(t)l .+ (y)第四章多元函數(shù)微分lim f(xty) f、如果x% 存在，則/(%y)在該點(diǎn)連續(xù)2、可微的必要條件：可微必可導(dǎo)，不可導(dǎo)一定不可微。

9、3、可微的充分條件：有連續(xù)一階偏導(dǎo)函數(shù)一定可微。二、求重極限方法1、利用極限性質(zhì)、四則運(yùn)算、夾逼準(zhǔn)則等2、消除分母中為零的因子，有理化、等價(jià)無(wú)窮小等3、轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求極限4、利用無(wú)窮小乘以有節(jié)量仍為無(wú)窮小三、可微性討論1、可微a)b)四、復(fù)合函數(shù)微分國(guó) + 山第 MlRnJ1T * “yjg是否成立。2、多 元 與 多 元 復(fù) 合五、高階偏導(dǎo)所有滿足解的點(diǎn)是可能的極值點(diǎn)以渺與相等，次序無(wú)關(guān)六、隱函數(shù)求導(dǎo)i、利用公式九、二重積分1、性質(zhì)a) 比較定理b) 估值定理c) 中值定理2、計(jì)算a)直角坐標(biāo)系下的計(jì)算.2.d z d tdz "麗族扇7/皿）魚(yú) 戶 適合先y后x的積分域ii.

10、適合先x后y的積分域一 dx - 5b) 二兀：2、方程組兩端分別求導(dǎo)3、利用微分形式不變，方程兩端求微分七、二元函數(shù)極值的充分條件*-II i若式工m以及7島外)=。設(shè)、=八R必小乜E=£a。/)則：M _ B>0,取的極值，A >()為極小值，A ： 0為極大值< d無(wú)極值A(chǔ)C-B =口，不能確定八、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法1、構(gòu)造拉格朗日函數(shù)口8,74) =，仁柏+ a *年位2、解方程組為5 /(x.y)ch眄(Wb）極坐標(biāo)下的計(jì)算i. 極點(diǎn)O在區(qū)域D之外Jj f(xy)d D(“co捋 0tpan 8) - pdftr3cosG/©n 0) ,

11、pp 內(nèi)2n dfl0pj (pcos U.psin 0) - pdpii.極點(diǎn)O在區(qū)域D的邊界上iv.環(huán)形域(/*圻. gCOdJ < Jf2(x)dx + JJOJcUjy r(匕y)出5I)=/阿打/ (/?cus O.psn 0) pilp 戶阿3、利用對(duì)稱性和奇偶性a) 對(duì)稱性i . 若積分域關(guān)于x或y對(duì)稱ii .若積分關(guān)于直線 x=y對(duì)稱，則JJ/(xty)dA= JJ &占)面十、柯西積分不等式第五章常微分方程一階微分方程1、可分離變量方程3、線性方程y = P(x) - y = Q(x)' =f -卬3UqU)一/網(wǎng)址打+ 01、反復(fù)積分，產(chǎn)=也好2、不是

12、含有y的二階微分方程1=3)，令” HP dP則：3、不是含有x的二階微分方程vI3力，令p = v“ tlP dP 心，df d?則：丫 一菽二石.而 一 y.#p.q可降階的高階微分方程三、高階常系數(shù)微分方程1、齊次方程：py + g=da)解特征值：Tl' q + PT +(? = 0)i. 有不相同的兩個(gè)實(shí)根:第一章行列式ii. 有一對(duì)相等的實(shí)根：iii. 有一對(duì)共軻復(fù)根口土甲:|y - egT(Ctcos (fix) + Csln (fix)JI*二、幾個(gè)重要公式1、上(下)三角形行列式 A2、非齊次方程：y + py + qy = 3a)通解形式為了齊汽第' y特邯

13、2、副對(duì)角線行列式Ak為特征值入的重?cái)?shù)ii.Qx)cos (fix)+ QnU)sin 第3)則設(shè)3、 A、B分別是m階，n階矩陣A*AOIn1DI|門H+fi川4、k為特征值11t 土用的重?cái)?shù)范德蒙行列式11H工11x,n - 1 nt - 1 n. - 1 XXX n岫hnAl三、抽象n階方陣行列式公式1、kA = k川2、42| = A2第二章矩陣一、運(yùn)算規(guī)則1、加法2、數(shù)乘3、乘法4、轉(zhuǎn)置(A上護(hù)丁(k/l)' = kA11、運(yùn)算性% 11山)RG4H)7 二曠(八)二(可(/I，) ' = AiEEJ2、 求逆矩陣a) 公式法：b)初等變換：E)=c) 分塊矩陣：p

14、co -l/i -田0o c5、伴隨矩陣Ar A - A E(向=BrAf'(/)T=X四、秩“)=()2、R) = W1)3、S + 8”心)+4、(*?)£ min什，5、若A可逆，幽;二幽)6、若A是陣，b是§陣，圈三衛(wèi)，則6、方陣的哥(0=心r(4) +1"r(/l) + r(/J) < n7、分塊矩陣：特殊矩陣單位陣數(shù)量陣對(duì)角陣上下三角陣對(duì)稱陣發(fā)對(duì)稱陣正交陣初等矩陣伴隨矩陣、可逆矩陣T - h2、 A是正交矩陣oA -AoA行（列）向量是正交規(guī)范向量組3、如A是正交矩陣，則行列式I川二士 1第三章向量、線性表出、線性相關(guān)、極大線性無(wú)關(guān)組、施

15、密特正交化口口（，邛 1）（口中位）（“） V % 一詢憶礪了 T1 丁才氣則是正交規(guī)范向量組三、正交矩陣第四章線性方程組一、克拉默法則二、齊次線性方程組、基礎(chǔ)解系非齊次線性方程組、通解結(jié)構(gòu)a)反身性b),對(duì)稱性c)若卜B,傳遞性6、兩矩陣相似的必要條件AffUE-Al = UEal=>r() = r(P)nlAl 三佰I 二J 4第五章 特征值、特征向量、相似矩陣特征值、特征向量1、若如三名，則：則稱/是A的特征值，,是A對(duì) 應(yīng)于K的特征向量。(特征方程、特征多項(xiàng)式、特 征矩陣)2、性質(zhì)3、求法a) 以入川。解出特征值b) 向聲-""%解出特征向量二、相似矩陣1、若

16、%"%則2、 N階矩陣 A可對(duì)角化o特征向量回二線性無(wú)關(guān)3、'是A的特征值J特征向量&1-二線性無(wú)關(guān)4、'是A的"重特征值，則該特征值得特征向量應(yīng)小 于等于5、性質(zhì):三、實(shí)對(duì)稱矩陣1、元素都是實(shí)數(shù)的對(duì)稱矩陣2、A.實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值全部是實(shí)數(shù)B.實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交C.實(shí)對(duì)稱矩陣必相似于對(duì)角陣，即存在P-"戶",且存在正交陣 Q使得-1TQ AQ = Q AQ = A3、實(shí)對(duì)稱矩陣相似于對(duì)角陣步驟a) |W| =。解出全部4功卜/ - A)X = 0解出所有特征值的特征向量、c) 正交化的特征向量d) 將

17、全部特征向量單位化e)即有Q ,Q二山Q二A四、矩陣、特征值、特征向量矩陣特征值特征向量A入hkAkAa7 )3/(«a豆A-1ak% +網(wǎng)五、判斷A是否相似于對(duì)角三、規(guī)范型1、A是否是實(shí)對(duì)稱矩陣2、若A不是，看A是否有n個(gè)互不相同的特征值3、若A有r重根，看對(duì)應(yīng)是否有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量第六章二次型次型1、矩陣表示!=）/=1U11u12 uln -一網(wǎng) > 聞”1? 1: Q即HJ *嚏a t * a n工”mlnZnnJL| 二 XrAX其中A=力是對(duì)稱矩陣，為二次型f的對(duì)于矩陣 2、若A、B是兩個(gè)n階對(duì)稱陣，f二&二U阻a）若1-0b）若A = B = f；洞

18、卜gc）若出）二9（門二d）若八正定Of正定在二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中，若平方項(xiàng)的系數(shù) 4只取1、-1、0,則該二次型為規(guī)范型四、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，規(guī)范型1、對(duì)于任意一個(gè)，（nl制如=x AX ,必存在正交變換，=了%丁人報(bào)交陣：=4科+ 3；十十442、任意一個(gè)二次機(jī)f都時(shí)以,向f （檢方法）可逆線性變換 ，其C旅而電為標(biāo)準(zhǔn)型：五、合同設(shè)A、B兩個(gè)n階方陣，若存在可逆矩陣 C,使得 crAC = n則稱A合同于B,記/ 之 »六、慣性定理作可逆線性變換化標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，線性變化不唯一， 標(biāo)準(zhǔn)型也不唯一。但是標(biāo)準(zhǔn)型中正平方項(xiàng)數(shù)p和負(fù)平方項(xiàng)數(shù)q都是由二次型唯一確定的。p：正慣性指數(shù)q：負(fù)慣性指數(shù) p+q：二次型的秩 p-q：符號(hào)差七、實(shí)對(duì)稱矩陣A B合同的充要條件A-ft7 T