實(shí)際問題與二次函數(shù)拱橋問題的數(shù)學(xué)教學(xué)

1、實(shí)際問題與實(shí)際問題與二次函數(shù)二次函數(shù)（拱橋問題）（拱橋問題）一、根據(jù)已知函數(shù)的表達(dá)式解一、根據(jù)已知函數(shù)的表達(dá)式解決實(shí)際問題：決實(shí)際問題：活動(dòng)一：一拋物線型拱橋，建立了如圖所示的直活動(dòng)一：一拋物線型拱橋，建立了如圖所示的直角坐標(biāo)系后，拋物線的表達(dá)式為：角坐標(biāo)系后，拋物線的表達(dá)式為：y=-1/25x2+16(1)拱橋的跨度是多少？拱橋的跨度是多少？(2) 拱橋最高點(diǎn)離水面幾米？拱橋最高點(diǎn)離水面幾米？(3) 一貨船高為一貨船高為12米，貨船寬至少小于多少米時(shí)，米，貨船寬至少小于多少米時(shí)，才能安全通過？才能安全通過？xyoABC解解：（：（1） 令令-1/25x2+16=0，解得，解得X1=20,X2

2、=-20,A（-20，0） B（20，0）AB=40，即拱橋的跨，即拱橋的跨度為度為40米。米。（2）令）令x=0，得，得y=16，即拱橋最高點(diǎn)離地面即拱橋最高點(diǎn)離地面16米米（3）令-1/25x2+16=12,解得解得X1=-10，X2 =10,x1-x2=20.即貨船寬應(yīng)小于即貨船寬應(yīng)小于20米時(shí)，貨船才能安全米時(shí)，貨船才能安全通過。通過。-1010二、根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)的表二、根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)的表達(dá)式解決實(shí)際問題達(dá)式解決實(shí)際問題一座拱橋的示意圖如圖，當(dāng)水面寬一座拱橋的示意圖如圖，當(dāng)水面寬4m4m時(shí)，橋洞頂部離水時(shí)，橋洞頂部離水面面2m2m。已知橋洞的拱形是拋物線，（。已知橋洞的拱形

3、是拋物線，（1 1）求該拋物線的）求該拋物線的函數(shù)解析式。（函數(shù)解析式。（2 2）若水面下降若水面下降1米，水面寬增加多少米？米，水面寬增加多少米？ 探究活動(dòng):M M2m2mA AB B4m4m首先要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系首先要建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系你認(rèn)為首先要做的工作是什么你認(rèn)為首先要做的工作是什么?ABMxyo 解法一解法一：（：（1）以水面）以水面AB所在的直線為所在的直線為x軸，以軸，以AB的垂直平分線為的垂直平分線為y軸建立平面直軸建立平面直角坐標(biāo)系。角坐標(biāo)系。設(shè)拋物線的解析式為：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+c(a0)拋物線過（拋物線過（2，0），（），（0，2）點(diǎn)）點(diǎn)4a+

4、c=0 a=-0.5 即解析式為：即解析式為：y=-0.5x2+2c=2 c=2 （2）水面下降）水面下降1米，即當(dāng)米，即當(dāng)y=-1時(shí)時(shí) -0.5x2+2=-1 解得解得x1=-6 x2=6CD=x1-x2=26水面寬增加水面寬增加 CD-AB=（26-4）米）米CD1m(-2,0)(2,0)(0,2)平面直角坐標(biāo)系建立的不同，所得的拋物線的解析平面直角坐標(biāo)系建立的不同，所得的拋物線的解析式相同嗎？式相同嗎？最終的解題結(jié)果一樣最終的解題結(jié)果一樣哪一種取法求得的函數(shù)解析式最簡單？哪一種取法求得的函數(shù)解析式最簡單？解法二解法二：（：（1)以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，以拋物線的對稱軸為以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)

5、，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)二次函數(shù)的解析式為軸建立直角坐標(biāo)系。設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2(a0）拋物線經(jīng)過點(diǎn)（拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，-2），可得，），可得，拋物線的解析式為：拋物線的解析式為：2CD（2）水面下降）水面下降1米，即當(dāng)米，即當(dāng)y=-3時(shí)時(shí) -0.5x2=-3 解得解得x1=-6 x2=6CD=x1-x2=26水面寬增加水面寬增加AB-CD=（26-4）米）米1m(X1,-3)(X2,-3)解三解三 如圖所示如圖所示,以拋物線和水面的兩個(gè)交點(diǎn)的連線為以拋物線和水面的兩個(gè)交點(diǎn)的連線為x軸，以其中軸，以其中的一個(gè)交點(diǎn)的一個(gè)交點(diǎn)(如左邊的點(diǎn)如左邊的點(diǎn))為原點(diǎn)，建立平面直角

6、坐標(biāo)系為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.可設(shè)這條拋物線所表示可設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為的二次函數(shù)的解析式為:2)2x(ay2 拋物線過點(diǎn)拋物線過點(diǎn)(0,0)2)2(a02 5 .0a 這條拋物線所表示的二這條拋物線所表示的二次函數(shù)為次函數(shù)為:2)2x(5 . 0y2 當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時(shí)時(shí),水面的水面的縱坐標(biāo)為縱坐標(biāo)為y=-1,這時(shí)有這時(shí)有:2)2x(5 . 012 62x,62x21 m62xx12 當(dāng)水面下降當(dāng)水面下降1m時(shí)時(shí),水面寬水面寬度增加了度增加了m)462( 此時(shí)此時(shí),拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為(2,2)這時(shí)水面的寬度為這時(shí)水面的寬度為:返回返回 例例:某工廠大門

7、是一拋物線形的水泥建筑物某工廠大門是一拋物線形的水泥建筑物,大門底部寬大門底部寬AB=4m,頂部頂部C離地面的高度為離地面的高度為4.4m,現(xiàn)有載滿貨物的汽車現(xiàn)有載滿貨物的汽車欲通過大門欲通過大門,貨物頂部距地面貨物頂部距地面2.7m,裝貨寬度為裝貨寬度為2.4m.這輛汽這輛汽車能否順利通過大門車能否順利通過大門?若能若能,請你通過計(jì)算加以說明請你通過計(jì)算加以說明;若不能若不能,請簡要說明理由請簡要說明理由.解：如圖，以解：如圖，以AB所在的直線為所在的直線為x軸，軸，以以AB的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，建立平面軸，建立平面直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系.AB=4A(-2,0) B(2,0)C(0

8、,4.4)設(shè)拋物線所表示的二次函數(shù)為設(shè)拋物線所表示的二次函數(shù)為4 . 4axy2 拋物線過拋物線過A(-2,0)04 . 4a4 1 . 1a 拋物線所表示的二次函數(shù)為拋物線所表示的二次函數(shù)為4 . 4x1 . 1y2 7 . 2816. 24 . 42 . 11 . 1y2 . 1x2 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)汽車能順利經(jīng)過大門汽車能順利經(jīng)過大門.小結(jié)小結(jié)一般步驟一般步驟: (1).建立適當(dāng)?shù)闹苯窍到⑦m當(dāng)?shù)闹苯窍?并將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的并將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)坐標(biāo), (2).合理地設(shè)出所求的函數(shù)的表達(dá)式合理地設(shè)出所求的函數(shù)的表達(dá)式,并代入已知并代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)條件或點(diǎn)的坐標(biāo),求出關(guān)系式求出關(guān)系式

9、, (3).利用關(guān)系式求解實(shí)際問題利用關(guān)系式求解實(shí)際問題.活動(dòng)四：試一試活動(dòng)四：試一試如圖所示，有一座拋物線型拱橋，在正常水位如圖所示，有一座拋物線型拱橋，在正常水位ABAB時(shí)，水面寬時(shí)，水面寬2020米，水位上升米，水位上升3 3米，就達(dá)到警戒米，就達(dá)到警戒線線CD,CD,這時(shí)水面寬為這時(shí)水面寬為1010米。米。（1 1）求拋物線型拱橋的解析式。）求拋物線型拱橋的解析式。（2 2）若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)米的速度上）若洪水到來時(shí)，水位以每小時(shí)米的速度上升，從警戒線開始，升，從警戒線開始，在持續(xù)多少小時(shí)才能達(dá)在持續(xù)多少小時(shí)才能達(dá)到拱橋頂？到拱橋頂？（3 3）若正常水位時(shí)，有一艘）若正常水位時(shí)，有一艘寬寬8 8米，高米的小船米，高米的小船能否安全通過這座橋？能否安全通過這座橋？A AB B20m20mCD練一練： 如圖是某公園一圓形噴水池，水流在各方向沿形狀相同的拋物線落下。建立如圖所示的坐標(biāo)系，如果噴頭所在處A（0，1.25），水流路線最高處B（1，2.25），求該拋物線的解析式。如果不考慮其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外。 y= (x-1)2實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)問題的解決問題的解決談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)體會(huì)談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)體會(huì)解題步驟：解題步驟：1、分析題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，畫出圖形。、分析題意，把實(shí)