數(shù)值分析試題及答案

1、數(shù)值分析試題一、填空題（ 2 0 ×2）322 設(shè)x 是精確值x的近似值，則 x 有位1.=*=2A1, X23有效數(shù)字。2.若 f ( x)= x7 x3 1 ， 則 f 2 0,2 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6 ,2 7= 1，f 2 0,2 1 ,2 2,2 3 ,2 4,2 5,2 6,2 7,2 8=0。3. 設(shè)， A _5 _ ， X _ 3_ ，AX _15_ _ 。4.非線性方程 f ( x)=0 的迭代函數(shù) x= ( x) 在有解區(qū)間滿足|( x)| <1，則使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。a b上的三次樣條插值函數(shù)S x在 a b上具

2、有直到2階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。5. 區(qū)間,( ) , 6. 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)為等距分布時(shí)， 若所求節(jié)點(diǎn)靠近首節(jié)點(diǎn)， 應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的前插公式，若所求節(jié)點(diǎn)靠近尾節(jié)點(diǎn)， 應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的后插公式；如果要估計(jì)結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的拉格朗日插值公式。7.拉格朗日插值公式中 f ( xi ) 的系數(shù) ai ( x) 的特點(diǎn)是：na i ( x )1；所以i 0當(dāng)系數(shù) ai ( x) 滿足ai ( x)>1，計(jì)算時(shí)不會(huì)放大 f ( xi ) 的誤差。8.要使20 的近似值的相對(duì)誤差小于 %，至少要取 4位有效數(shù)字。9. 對(duì)任意初始向量 X(0) 及任意向量 g，線性方

3、程組的迭代公式 x( k+1) =Bx( k) +g( k=0,1, ) 收斂于方程組的精確解 x* 的充分必要條件是(B)<1。10.由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)最高是5。x012y fx)-2-12=(11.牛頓下山法的下山條件為|f(xn+1)|<|f(xn)|。12.線性方程組的松弛迭代法是通過(guò)逐漸減少殘差r i(i=0,1,n來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其中的殘,)差 r i ii11i22-in n)/aii，in。(b-ax-ax-a x(=0,1, , )13. 在非線性方程 f ( x)=0 使用各種切線法迭代求解時(shí)， 若在迭代區(qū)間存在唯一解， 且 f ( x) 的 二 階

4、導(dǎo) 數(shù) 不 變 號(hào) ， 則 初 始 點(diǎn) x0 的 選 取 依 據(jù) 為f(x0)f”(x0)>0。14. 使用迭代計(jì)算的步驟為建立迭代函數(shù)、選取初值、迭代計(jì)算。二、判斷題（ 10× 1）1、 若 A 是 n 階非奇異矩陣，則線性方程組 AXb 一定可以使用高斯消元法求解。 (× )2、 解 非 線 性 方 程f ( x)=0的 牛 頓 迭 代 法 在 單 根x* 附 近 是 平 方 收 斂 的 。()3、 若 A 為 n 階方陣，且其元素滿足不等式則解線性方程組AXb 的高斯塞德?tīng)柕ㄒ欢ㄊ諗俊?× )4、 樣條插值一種分段插值。()5、 如果插值結(jié)點(diǎn)相同，

5、 在滿足相同插值條件下所有的插值多項(xiàng)式是等價(jià)的。()6、 從實(shí)際問(wèn)題的精確解到實(shí)際的計(jì)算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差及舍入誤差。()7、 解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AXb。(× )8、 迭代解法的舍入誤差估計(jì)要從第一步迭代計(jì)算的舍入誤差開(kāi)始估計(jì), 直到最后一步迭代計(jì)算的舍入誤差。(× )9、 數(shù)值計(jì)算中的總誤差如果只考慮截?cái)嗾`差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截?cái)嗾`差舍入誤差。()10、插值計(jì)算中避免外插是為了減少舍入誤差。(× )三、計(jì)算題（5×10）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。解答：（ 1， 5， 2）

6、最大元 5 在第二行，交換第一與第二行：L21=1/5=,l 31=2/5= 方程化為：（ , ）最大元在第三行，交換第二與第三行：L32=, 方程化為：回代得：x13.00005x25.99999x31.000102、用牛頓埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項(xiàng)式P4( x) ，并寫(xiě)出其截?cái)嗾`差的表達(dá)式 (設(shè) f ( x) 在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù) ) 。xi012f ( xi )1-13f( xi )15解答：做差商表xiF(xiFxi,xi+F+2Fxi,xi+1,xi+2,xFxi,xi+1,xi+2,xi+3,)1i+3xi+4011-1-21-113234302

7、351-2-1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、對(duì)下面的線性方程組變化為等價(jià)的線性方程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯賽德?tīng)柕ň諗浚瑢?xiě)出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯賽德?tīng)柕ǖ牡?，并?jiǎn)單說(shuō)明收斂的理由。解答：交換第二和第四個(gè)方程，使系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)：2 xx式：x41雅克比1迭代公2x13x2x 33x 24 x3x 48x 1x 35x46計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) (2) 數(shù)值分析試題一、單項(xiàng)選擇題 ( 每小題 3 分，共 15 分 )1.已知準(zhǔn)確值x*與其有t位

8、有效數(shù)字的近似值x n× 10s(10) 的絕對(duì)誤差aax* x ( )(A)× 10 s 1 t(B)× 10 s t(C)×10s 1 t(D) × 10s t2.以下矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的為()21005210(A)1210 ，(B)1410012111410012001252104211(C)1421(D)141021412141001213153. 過(guò) (0 ， 1) ， (2 ， 4) ， (3 ， 1) 點(diǎn)的分段線性插值函數(shù)P( x)=()(A)3 x 10 x 2(B)3 x 10 x 2223x102x3(C)3 x10x2

9、(D)23x102x34.等距二點(diǎn)的求導(dǎo)公式是()3x2102x33 x10x22x4 2x3f (xk )(A)f (xk 1 )f (xk )(C)f (xk 1 )1(ykyk 1 )1( ykyk 1 )h1(ykyk 1 )1( yk 1yk )hf ( xk )1 ( yk yk 1 )(B)h1f ( xk 1 )( ykyk 1 )h(D)5. 解常微分方程初值問(wèn)題的平均形式的改進(jìn)歐拉法公式是那么 y , yc分別為 () p(A)y pykhf ( xk , yk )ycykhf ( xk 1 , yk )(C)y pykf (xk , yk )ycykf ( xk , y

10、p )ypykhf ( xk 1 , yk )(B)ykhf ( xk , y p )ycypykhf ( xk , yk )(D)ykhf ( xk 1 , y p )yc二、填空題 ( 每小題 3 分，共 15 分 )6.設(shè)近似值 x1 , x2 滿足 ( x1)= ， ( x2)= ，那么 ( x1x2)=7.三次樣條函數(shù) ()滿足： () 在區(qū)間 , 內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，( k)=yk( 已S xS xa bS x知 ) ， k=0,1,2, n，且滿足 S( x) 在每個(gè)子區(qū)間 xk, xk+1 上是8.bnn.牛頓科茨求積公式f (x)dxAk f ( xk ) ，則Ak ak 0k0

11、9.解 方 程 f ( x)=0的 簡(jiǎn) 單 迭 代 法 的 迭 代 函 數(shù) ( x) 滿 足 在 有 根 區(qū) 間內(nèi)，則在有根區(qū)間內(nèi)任意取一點(diǎn)作為初始值，迭代解都收斂10. 解常微分方程初值問(wèn)題的改進(jìn)歐拉法預(yù)報(bào)校正公式是預(yù)報(bào)值： yk 1ykhf ( xk , yk ) ，校正值： yk+1=三、計(jì)算題 ( 每小題 15 分，共 60 分 )11. 用簡(jiǎn)單迭代法求線性方程組的 X(3) 取初始值 (0,0,0) T，計(jì)算過(guò)程保留 4 位小數(shù)12. 已知函數(shù)值 f (0)=6 ， f (1)=10 ， f (3)=46 ，f (4)=82 ， f (6)=212 ，求函數(shù)的四階均差 f (0,1,

12、3,4,6) 和二階均差 f (4 ， 1，3) 13. 將積分區(qū)間 8 等分，用梯形求積公式計(jì)算定積分32 dx ，計(jì)算過(guò)程保留1 x14 位小數(shù)14.用牛頓法求115 的近似值，取x=10 或 11 為初始值，計(jì)算過(guò)程保留4 位小數(shù)四、證明題 ( 本題 10 分 )15. 證明求常微分方程初值問(wèn)題在等距節(jié)點(diǎn) a=x0<x1<<xn=b 處的數(shù)值解近似值的梯形公式為y( xk+1) yk+1=yk+ h f ( xk, yk)+ f ( xk+1, yk+1)2其中 h=xk+1xk( k=0,1,2,n1)計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) (2) 數(shù)值分析試題答案一、單項(xiàng)選擇題 ( 每小題

13、 3 分，共 15 分 )1.A2.B3.A4.B5.D二、填空題 ( 每小題 3 分，共 15 分 )6.x2 + x17. 3次多項(xiàng)式8.b a9.( x) r <1 10.yk+ h f ( xk , yk ) f ( xk 1 , y k 1 ) hf ( xk 1,2yk 1 )三、計(jì)算題 ( 每小題 15 分，共 60 分 )11. 寫(xiě)出迭代格式X(0) =(0,0,0)T.得到 X(1) ， 3， 3) T(2)T得到X =，7，0)12. 計(jì)算均差列給出f ( xk一階均二階均三 階 均四 階 均)差差差差061140341814/36483661/2362126529/

14、311/11/155f (0,1,3,4,6)=115f (4, 1, 3)=613. f ( x)=1x2 ,= 20.25分點(diǎn)x0=， x1=， x2=， x3 =， x4 =，x5=，x6=， x7=，h8x8=.函數(shù)值： f = 2 ， f = 8 ， f = 8 ， f = 6 ， f = 1 ， f = 2 ， f = 6 ，f = 2 ， f = 3 2( f ( x1 )f ( x2 )f ( x3 )f ( x4 )f ( x5 )f ( x6 )f ( x7 ) (9分 )= 0.25 × 2+ 3+2 × 8+ 8+ 62+ 1+ 2+ 6+ 2)=&

15、#215; 5+2 × 3)= 114. 設(shè) x 為所求，即求 x2 115=0 的正根 f ( x)= x2 115因?yàn)?f ( x)=2 x，f ( x)=2 ，f (10) f(10)=(100 115) × 2<0，f (11) f (11)=(121 115) × 2>0 取 x0=11有迭代公式xk+1=xk f ( xk ) = xk xk2115xk115 ( k=0,1,2,)f ( xk )2xk22xkx1=11115 32211x2=10.727 32115 8210.727 3x3=10.723 8115 82210.723

16、8x* 8四、證明題 ( 本題 10 分 )15. 在子區(qū)間 xk+1, xk 上，對(duì)微分方程兩邊關(guān)于x 積分，得y( xk+1) y( xk)=xk 1f ( x, y(x) dxxk用求積梯形公式，有hy( xk+1) y( xk)= f (xk , y(xk )f ( xk 1 , y( xk 1 )將 y( xk), y( xk+1) 用 yk, yk+1 替代，得到hy( xk+1) yk+1=yk+ f ( xk, yk)+ f ( xk+1, yk+1)( k=0,1,2, n1)數(shù)值分析期末試題一、填空題（ 2 1020分）152（ 1)設(shè) A210，則 A_13_。382（

17、2)對(duì)于方程組2 x15 x 21迭代法的迭代矩陣是BJ02.510x 14x 2， Jacobi2.5。30（ 3)3 x *的相對(duì)誤差約是 x * 的相對(duì)誤差的1 倍。3（ 4）求方程 x f ( x ) 根的牛頓迭代公式是 xn1x nx nf ( x n ) 。1f ' ( x n )（ 5）設(shè) f ( x )x 3x 1 ，則差商 f 0,1,2,31。（ 6）設(shè) nn 矩陣 G 的特征值是 1 , 2 , n ，則矩陣 G的譜半徑(G )max i 。1in（ 7）已知 A12 ，則條件數(shù) Cond( A)901（ 8 ）為了提高數(shù)值計(jì)算精度，當(dāng)正數(shù)x 充分大時(shí) , 應(yīng)將

18、ln( xx 21)改寫(xiě)為ln( xx 21 )。（ 9） n 個(gè)求積節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精確度至少為n 1 次。（ 10）擬合三點(diǎn) ( x1 , f ( x1 ) ， ( x2 , f ( x 2 ) ， ( x3, f ( x 3 ) 的水平直線是 y13f ( xi ) 。3 i 12 x1x 2x31二、（ 10 分）證明：方程組 x1x 2x 31x1x 22 x31使用 Jacobi 迭代法求解不收斂性。證明： Jacobi迭代法的迭代矩陣為B J 的特征多項(xiàng)式為B J 的特征值為10 ，21.25i ，31.25i ，故(B J )1.25 1，因而迭代法不收斂性。三、（

19、10 分）定義內(nèi)積試在 H1Span 1, x中尋求對(duì)于 f ( x )x 的最佳平方逼近元素 p( x ) 。解： 0 ( x )1， 1 ( x )x ，( , )dx 1 ，11，121 ，12，100( 1 ,0 )xdx(1,1)0x dx( 0 , f )0x dx00233( 1 , f )x xdx2 。105法方程解得 c04 ， c112 。所求的最佳平方逼近元素為1515p x412 x， 0x 1()1515四、（ 10 分）給定數(shù)據(jù)表x-2-1012y試用三次多項(xiàng)式以最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)。解 : y( x ) c0 c1 x c2 x 2c3 x 312485010

20、01111010034A 1 00 0， ATA111110034003401301248法方程的解為 c00.4086 ， c10.39167 ， c20.0857 ， c30.00833得到三次多項(xiàng)式誤差平方和為30.000194五. (10分 ) 依據(jù)如下函數(shù)值表012419233建立不超過(guò)三次的 Lagrange 插值多項(xiàng)式， 用它計(jì)算 f (2.2)，并在假設(shè) f ( 4)( x )1下，估計(jì)計(jì)算誤差。解 : 先計(jì)算插值基函數(shù)所求 Lagrange 插值多項(xiàng)式為311 x 345 x 21 x從 而L3 ( x )f ( x i )l i ( x ) l 0 ( x ) 9l 1 ( x )23l 2 ( x)3l 3 ( x )1i 0442f ( 2.2)L3 (2.2) 25.0683 。據(jù)誤差公式 R3 ( x )f (4 ) ( ) ( x x 0 )( x x1 )( x x2 )( x x 3 ) 及假設(shè) f ( 4) ( x )1 得誤差估4!計(jì)：六 . (10分 ) 用