數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)

1、知識框架數(shù)列的概念數(shù)列的分類數(shù)列的通項(xiàng)公式J函數(shù)角度理解數(shù)列的遞推關(guān)系等差數(shù)列的定義“” 一 4“_1 = </(« n 2) 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式5=6 +(“-1) 等差數(shù)列的求和公式s=-(t/,=+也二2/2 2等差數(shù)列的性質(zhì)5 + "加=ap + a(/ (m + n = p + q)等差數(shù)列彳兩個(gè)基本數(shù)列"等比數(shù)列<數(shù)列求和等比數(shù)列的定義上匚=q5 > 2)5-1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式4=5/1® -7 = 5(1-/)葉)1 1(/ 畀“(q = 1) 等比數(shù)列的性丿貢】=apag(m + /i = p + y)等比數(shù)列的求和公

2、式幾=5公式法分組求和 錯(cuò)位相減求和裂項(xiàng)求和 倒序相加求和累加累積歸納猜想證明分期付款 其他數(shù)列的應(yīng)用2掌握了數(shù)列的基本知識，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、 求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就有可 能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法1、求通項(xiàng)公式（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項(xiàng)。對于由遞推公式所確立的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等 差數(shù)列或等比數(shù)列問題。遞推式為力Zn + d及“滬qs （d,q為常數(shù)）例1、 已知aj滿足*二a»+2,而且6=1。求a.。例1、解 a“一a!F2為常數(shù)Z. a J是首項(xiàng)為1,公差為2

3、的等差數(shù)列°. a二 1 +2（n 1 ）即 a-=2nl例 2、己知an滿足 5+1 =，而 q=2,求 a 二？解丑，量常數(shù)兀2是以2為首項(xiàng)，公比為扌的等比數(shù)列an = 2 * （舟）U_1 =（2）遞推式為 a n+i=ao+ f （n）例3、已知如中“冷，勺+戶是求解：由已知可矢嘰-“小）；2冷喬T茹）令 n=l, 2, t （n-1）,代入得（n 1）個(gè)等式累加即（a：-ai） + （a a-a：） +1 /1、 /I 1、/11飛（1-p - （丁弓） 2心的）Cln = 5+(l_4/7-34/?-2 說明 只要和f(l)+f (2)+-+f(n-l)是可求的，就可以由

4、紙廠=a a+ f (n)以n= 1, 2 ,，(n-1)代入可得n-l個(gè)等式累加而求a。遞推式為"產(chǎn)Pd+q (P,q為常數(shù))例4、%中，q=l,對于 n>l(nG N)有=3%+2,求坷解法一：由已知遞推式得比產(chǎn)3s+2,務(wù)二3 a+2。兩式相減:軸,一8匸3 (比- a n I)因此數(shù)列 a -an是公比為3的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為a=-ax=(3X 1 + 2)-1=4Aa1-an=4 3戸T a 卅二3鮎+2 A3 a n+2-a= 4 3曠 即比=23円一1解法二：上法得a沖-務(wù)是公比為3的等比數(shù)列，于是有任一a：=4,a,-a：=43,燈2a a as=4 3&quo

5、t;,，an-an -i=4 3把n-1/. an=2 3n- 1 -1個(gè) 一番=4 (冉3十32昇十勢2)/ 丫廠(4 )遞推式為an+1=P a °+q n (p, q為常數(shù))【例5】己知aj中'a2=|, an+1=jan+ (舟)n+1,求略解 在務(wù)+】二十£)的兩邊乘以2珀】得2n+1 * a”】=-(2XlaJ 十 1,令=2n an9則bn+1=jbn+l,于是可得 入_嘰=專(嘰一1治) 由上題的解法，得：仇=3-2(訶說明對于遞推式如二P益+屮，可兩邊除以常，得靄二q-#企十丄，引輔助數(shù)列bj, （bn =）,得bn+1 =-bn +后用 q q

6、qq q遞推式為+2 = M+i + g思路：設(shè) 5+2 = PG + qg > 可以變形為：孤2 一 aan = 0（©+1 一 Q©），CL 4- B = t>就是廠2T）也-。陸，則可從；解得J B,Ct p = -q于是4廠a務(wù)是公比為B的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前而的類型。_ 21【例6】己知數(shù)列aj中，幻=1, a2 =2, an+2 =-aft+L + -an,a 分析a=p a +=-q卜 a. p=|2 1lft2 -2%+1+列=兩邊減去益+1,得(an+1 - a J是公比為-+ ,首項(xiàng)為a2 aL =啲等比數(shù)列。益弋嚴(yán)(冷)(冷)1+-+)心3

7、 14=1+討-c-pn_1(6)遞推式為S .與An的關(guān)系式此類型可利用省(n = l)1)求】與耳的關(guān)系;k 1【例d設(shè)心J前"項(xiàng)的和sn = 4 - %尹(2) 試用n表示a *2解(1)由Sn=4 -an -y得S«+ = 4 - + 一 Q»-i1 1 z Sn ("fl d) +(2”-2 2n,)1an = an _ 5+1 +1 1% _嚴(yán)+應(yīng)上式兩邊同乘以2戸得2如吐二2尅+2則21"是公差為2的等差數(shù)列。/. 2nan= 2+ ( n 1 ) 2=2 n .n數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法:即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分

8、成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列 求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如果©等差，hn等比，那么 匕化叫做差比數(shù)列） 即把每一項(xiàng)都乘以化的公比q,向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對應(yīng)同次 項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法:即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使英正負(fù)抵消，只余有限幾項(xiàng), 可求和。適用于數(shù)列（其中%等差）可 裂 項(xiàng)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題:1若等差數(shù)列©的首項(xiàng)勺0,公差則前“項(xiàng)和二有最大值。an 0 （i ）若已知通項(xiàng)©，則最大= ” 川 0（ii）若已知S“ = pn2 + qn ,則當(dāng)取最靠近-亠的非零自然數(shù)時(shí)S“最大； 2p2、若等差數(shù)列©的首項(xiàng)q<0,

9、公差>0,則前項(xiàng)和S“有最小值a <0（i ）若已知通項(xiàng)則S“最小of "一 ;如1 n °（ii）若已知= pn2 + qn，則當(dāng)n取最靠近一的非零自然數(shù)時(shí)S “最小:數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法:等差數(shù)列通項(xiàng)公式;等比數(shù)列通項(xiàng)公式。（2）已知s“ （即®+“2+Q” =/（”）求"”，用作 差法： “=楓,=1）°&一九,（心2）°/（MT）已知®W©=/（"）求"“，用作商法:=/（"）（n>2）°-1）八-已知條件中既有S“還有"”，有時(shí)

10、先求S”，再求山:有時(shí)也可直接求。 若 an -an= f（n） 求 用 累 加 法：Ctn =（an an-）+（4-1 一 5-2 ）+ + （。2 一 5）+5 （n > 2） a已知也= /（）求©,用累乘法：% = 丘也負(fù)5（舁22）。 55-2已知遞推關(guān)系求用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，形如an=kan+b. J=kfb”（k、b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待宦系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求5:形如5=耐一 +kn的遞推數(shù)列都可以除以疋得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求心o(2)形如© =也r的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。(3)形如6/+1 = a

11、k的遞推數(shù)列都可以用對數(shù)法求通項(xiàng)。(7)(理科)數(shù)學(xué)歸納法。(8)當(dāng)遇到。卯-。心=或4 = q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可 %能是分段形式.數(shù)列求和的常用方法：(1)公式法:等差數(shù)列求和公式;等比數(shù)列求和公式。(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將“和式”中“同類項(xiàng)” 先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。(3) 倒序相加法:若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組 合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等 差數(shù)列前料和公式的推導(dǎo)方法).(4) 錯(cuò)位相滅法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的 通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相

12、減法(這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方 法).(5 )裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后 相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和常用裂項(xiàng)形式有：一I一 =丄_ ：一I=丄(丄一 1 )n(n + ) n n + 1n(n + k) k'n n + k 八1 1 _1, 1 1 'F<ra = 2(TTTT)，1 1 1 1 1 1 1=< < = k £ + 1 伙 + 1冰 k2 伙一1 沐 £一1 k=打 1 _n(n +1)(/7 + 2)2 n(“ +1) (n + l)(n + 2)(ii +1)! n!

13、(/i+ 1)!2(Jn + l -亦)=匕 < -|=< i 2/2(亦-厶-1)5+5 + 1 >Jn yjn +yJn-二、解題方法:求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法:1、公式法2、由S川求(n=l時(shí)，a! =Sj, n > 2時(shí)，an = Sn )3、求差倆)法如：aj滿足-a! +22 +Tan = 2n + 5< 1 >解:n = l時(shí)，a. =2x1 + 5, /.a. = 142n > 20寸， -a. +5-a? + !-ran . = 2n 1 + 5< 2 >2 1 22 22". zv 1 > - <

14、2 > 得：a = 22n14 (n = 1)r " |2n+, (n>2)練習(xí)數(shù)列aj滿足Sn +Sn+1 =|an+1, a, =4,求a“(注意到an+1=Sn+1-Sn代入得：孕=4又S,=4, /.Sn是等比數(shù)列，Sn =4nn»2吋，an = Sn Sn_( 3 4n_l4、疊乘法例如：數(shù)列aj中，a, =3, 學(xué)=沽，求J解：£1丑2 = 1？上二1,.空=丄»| a2 an_) 23n3) n3又哲=3, />an =n5、等差型遞推公式由an -an-I = f(n),= a0,求用迭加法n > 2時(shí)，一 a】=

15、f(2)a3-a2=f(3)，兩邊相加，得：an-ai =f(2) + f(3) + +f(n)an =a° +f(2) + f(3)+f(n)練習(xí)數(shù)列an, a】=l, an =3n"! +an_)(n>2),求6.等比型遞推公式an = can_ +d d為常數(shù)，cHO, cHl, d H 0)可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)an+x = c(an_1+x)=can-i +(c-l)x令(c- l)x = d, Ax = c- 17n+丄是首項(xiàng)為a,+ ，C為公比的等比數(shù)列a, + cT/c練習(xí)數(shù)列aj滿足a【=9, 3an+l +an =4,求7、倒數(shù)法例如a.=n &qu

16、ot;噩求叫由已知得:丄為等差數(shù)列, lanjy公差吋2.數(shù)列求和問題的方法(1) 、應(yīng)用公式法等差、等比數(shù)列可直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和，另外記住以下 公式對求和來說是有益的。1+2+3+n(n+l)1 + 3+5 + (2n- 1 ) = n "十+八.+宀如1)+1);613 + 23 + 33+衛(wèi)=上2尹尸；乙【例8】 求數(shù)列b (3+5), (7+9+10), (13+15+1 7+19 )，前n項(xiàng)的和。 解 本題實(shí)際是求各奇數(shù)的和，在數(shù)列的前n項(xiàng)中，共有1+2+-+n =-n(n + l)個(gè)奇數(shù)，2最后一個(gè)奇數(shù)為:1+丄n(n+l) -lX2=n+n-l2因

17、此所求數(shù)列的前n項(xiàng)的和為sn = (a + 1)1+ (n2 +n-l)=卜2 Q+1) 2。(2) 、分解轉(zhuǎn)化法對通項(xiàng)進(jìn)行分解、組合，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求和。【例 9】求和 S= 1 (n 1)+ 2 (n2-22) +3 (nc- 32) + +n (n:-n ) 解S二n( 1 + 2+3+n ) (1?+2 +3”+n )=n2 (n +1) -n2n十 1) °。24=-n2n 十 1) Cn -1)十(n2-l)(3) 、倒序相加法適用于給左式子中與首末兩項(xiàng)之和具有典型的規(guī)律的數(shù)列.采取把正著寫與倒 著寫的兩個(gè)和式相加，然后求和。例 10、求和：Sn=3G+6C：+

18、 + 3nC：例 10、解 S” = 0 © + 3C： + 6C： + + 3nC；XSn二3nC：十3 (n 1) C陽】十十0C® 相加，且運(yùn)用c>crw2Sn = 3n (從斗叫+匚)=3Z2” Sn=3n 2n l（4）、錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的.可把和 式的兩端同乘以上而的等比數(shù)列的公比，然后錯(cuò)位相減求和.例 11、求數(shù)列 L 3x, 5x：（2n- 1 ） x1 前 n 項(xiàng)的和.解設(shè) Sn=l + 3+5x2+-+(2n-l )(1)當(dāng) £ = 1瞅A屮?。?quot;就(2) x= 0 時(shí),Sn =

19、 l.(3) 當(dāng)xHO且xHl時(shí)，在式兩邊同乘以x得xSa=x+3x:+5x3+(2n-1) x得 (1 x)S«=l+2x+ 2 x"+2 x3+ 2 xn *-(2n-l)x*.八卡斤12x（1 - xn-L）r由公式知 S“ = 1 + 一（ 2n -1）尹1 -x1-zl+z-（2n + l）xn + （2n-l）+1（5）裂項(xiàng)法:把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)（式多項(xiàng)）差的形式，然后前后相消。 常見裂項(xiàng)方法：1n + k1 11 1 1n(n + l)(n +2) = 2 n " nT_ n +2例12.求和亦十q/tl十k1 1 1H+F15 37 591(2

20、1)(2”+ 3)求和1 1十P 5 3*7(2n-l)(2n+3)n = (2n-l)(2n + 3) = 4(2n-l _ 2n 4.s= n十+ 十十十1n 4L 5 3 7 5 92n-3 2n+l 2n -1 2n + 3J心丄丄-亠4l 3 2n +1 2n + 3Jn(4n + 5)=3(2n + lX2n + 3)注:在消項(xiàng)時(shí)一定注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù) 項(xiàng)一樣多。在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問 題時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1.函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決?！纠?3】等差數(shù)列心的首項(xiàng)a：0,前n項(xiàng)的和為S=,若SfS, ( 1 k)問n為何值時(shí)Sn最大？解依題意，設(shè)F (以)=Sn =na1 + nd此函數(shù)以n為自變量的二華単諛。0 Sx=Sk (lk) , Ad<0故此