幾種常見的平面變換

1、26.2幾種常見的平面變換【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】1、以映射和變換的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)矩陣與向量乘法的意義；2、 矩陣變換把平面上的直線變成直線(或點(diǎn))，即A'二' 4 、2A3、通過大量具體的矩陣對(duì)平面上給定圖形(如正方形)的變換，認(rèn)識(shí)到矩陣可表示如 下的線性變換：恒等、反射、伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變、投影。【典型例題】(1 0)例1:( 1 )平面上任意一點(diǎn)在矩陣° 1的作用下()i 5>1A.橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)5倍C.橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)均伸長(zhǎng)5倍B.橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短到丄倍51D. 橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)均縮短到 -倍5答案：Bo(2)表示x軸的反射變換的矩陣是(卩0"p-1 0

2、A.bB.<0 1C.答案：Do)01)(10D.(-1 0 丿<0 一1 丿(3)已知二次曲線2x2 xy，y2x-y-2=0，若將其圖形繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)0()角后(0 '-)，所得圖形的新方程式中不含xy項(xiàng)，則0 =2A、 30°B、 45°C、 60°D、 75co出-sin日"I答案：C。解析：由已知得旋轉(zhuǎn)變換矩陣M =|si n costx x xcosys innxsi nT+ycosJix = x cosr y si nr，從而有.y = x"si n + y"cos0代入原二次曲線方程，得到關(guān)于x,

3、 y的新方程式，要使其中不含 x , y項(xiàng)，必須滿足2sinrcosh3(cos2 v -sin2) =0，即 tan2： - - 3 二(0, ?),二二o刁k(4) 設(shè)厶OAB的三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為 0(0,0),A(a1,a2),B(b1,b2)，在矩陣 M = 對(duì)應(yīng)的變換：0 1 一下作用后形成 OAB，則 OAB與厶OAB，的面積之比為 o答案：1 : 1o解析：由題意知 Tm為切變變換，故變換前后的圖形面積大小不變。_1 0 1(5) 函數(shù)y=3cosx在矩陣M= 1變換作用下的結(jié)果是。3答案：y = cosx。解析：本變換是伸壓變換。2例2 :試討論下列矩陣將所給圖形變成了什么圖形，并指

4、出該變換是什么變換。(1)(10方程為y = 2x 2 ；1(2)(3)-12點(diǎn) A(2， 5)；?A(-2, 5)?A( 2，5)0曲線方程為x21y2 = 4答案：設(shè) A (x,y ) .1 0x= x I1yy J所給方程表示的是條直線。(1)為直線上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過變換后的點(diǎn)為:A ( X 1,y 1) x = xzy軸的反射變換2為半徑的圓，設(shè) A (x,y )為曲線上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過變換后的點(diǎn)為A1 (x1, y1),則2 2x=X1,y = y將之代入到x2 y2 =4可得方程2 2乞里=4，此方程表示橢圓，所給方程表示的是圓,41該變換是伸壓變換。變換后的方程仍為：y = 2x

5、 + 2該變換是恒等變換。(圖略)(2) 經(jīng)過變化后變?yōu)?-2 , 5),它們關(guān)于y軸對(duì)稱，故該變換為關(guān)于(3) 所給方程是以原點(diǎn)為圓心，2-2J返返1一 22 一，任意選取雙曲例3：將雙曲線C： X2 -y2 =1上點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45°，得到新圖形C，試求C 的方程。答案：由題意，得旋轉(zhuǎn)變換矩陣,cos4 -si n45M =sin45 cos45線x2 - y2 =1上的一點(diǎn)P(x0, y0),它在變換Tm作用下變?yōu)镻(x0, y0),則有=,故M =x0 =2(X0ydy° 二(x° y) I 2x 0=£(x帀 y")02，又因?yàn)?/p>

6、點(diǎn)P在曲線2(y 1)0x2y2 =1 上，所以 x/ -y02 =1，即有 2x0y0 =1。所求的C方程為xy =丄。22對(duì)應(yīng)的變換作用下變成什么圖形，并說例4：研究直線3x2y+1=0在矩陣I1 SJ -1 一明其幾何意義。對(duì)應(yīng)的變換作用下答案：任取直線3x -2y 1-0的一點(diǎn)P(xo,y0),它在矩陣變?yōu)?，則有:監(jiān)h;，故卜“0,即1冷-y° = y0占=x0乂二 X。- y。又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線3x-2y 0上，所以3冷-2y0 - 1-0即有 3xo-2(xo-y。)仁0風(fēng) 2yo 1=0作用下變成直線x 2y T = 0。從而直線3x-2y=0在矩陣1 01 -1其幾何

7、意義是：把直線 3x -2y T = 0上的每一點(diǎn)沿垂直于直線投影到該直線上?！菊n內(nèi)練習(xí)】1.下列矩陣是二階單位矩陣的是1 01-1 00.0_001答案：A。解析：由定義知。2坐標(biāo)平面上將一個(gè)三角形分別作投影、 到的新圖形一定與原三角形全等的個(gè)數(shù)為伸壓、旋轉(zhuǎn)、反射、切變的線性變換，則得A、1答案：B。解析:只有旋轉(zhuǎn)、3.將圓 x2 y2=1在矩陣C、3反射變換滿足。a 0A=對(duì)應(yīng)的伸壓變換下變成一個(gè)橢圓0 b22 . y x4B、3c、D、5答案：B。解析:由已知得4.在矩陣變換下，點(diǎn)A(2,1)將會(huì)轉(zhuǎn)換成。答案:(2,5)。解析：。2啞55.若直線x-y-4=0在矩陣M = 9 口的值分別

8、為。答案：0, 2。解析：由題意知 Tm :-1 bbx0 - y0"ax + y° 一=x -，故J“al一y0 一_-x + by。| yX。十 ay。對(duì)應(yīng)的變換作用下， 把自己變?yōu)樽约?，則a,b_ 1 ab而橫坐標(biāo)變?yōu)樵?畫圖并指出該變易求得a = 0,b =2 。6.曲線C在伸壓變換下T: (x, y) (x：y)=(2x, y )作用得到y(tǒng) = 2sinx的圖象,則曲線C的方程為。答案：y =2sin 2x。解析：由已知，曲線 C上每一點(diǎn)變換前后縱坐標(biāo)沒有變化，而橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，即將y =2sin x的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,來的一半，故曲線 C的方程

9、為y =2sin 2x。7.直線x-y =1在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下變成直線x=d，則A。答案：-110 1 一(1)點(diǎn)A： (2, 1)(2)_1 0121J點(diǎn) A: ( 2, 1)答案：(1)、解：T即點(diǎn)A： (2，1)A，(1，2 )該變換是把向量 原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到向量該變換為旋轉(zhuǎn)變換。變換圖形如圖1。經(jīng)過變化后變?yōu)镺A繞著OAZ(2)、解囲!2闌即點(diǎn)A: (2,1 )經(jīng)過變化后變?yōu)?amp;試討論下列矩陣將所給圖形(或方程表示的圖形)變成了什么圖形 換是什么變換？A ( 2, 5)。該變換為沿 Y軸正向的切換。變換圖形如圖2。9. 研究雙曲線x2 -y2 =1在矩陣1-1作用下

10、變換得到的圖形， 并說明變換的幾何意-1 1義。答案：設(shè)所求圖形上任一點(diǎn)為(x, y)，與之對(duì)應(yīng)的原圖形上的點(diǎn)為(x0, y0),則-1 -;»其變換的幾何意義是把雙曲線上的任一點(diǎn)垂直投影到xfx yy - % y°= 0(x = 0)，圖形略。x亠y =0上。10. 已知矩陣和23 4 一，向量“=_1,3=2(1) 試驗(yàn)證下列等式成立：a +3 )= Ma +M3 ；對(duì)任意實(shí)數(shù) 入，1,有M(入a + 1 3 )=入(M% )+ 1( M3 );(2) 對(duì)于本題條件加以推廣，定出推廣后的命題，不要求證明。答案：(1)證明M a+ 3 )=iM)I1 平"13

11、4山3,Ma = 3 , M3 = 2 ,76M a +M 3 嚴(yán)I13 一,故 M (a + 3 )= M a +M 3 ；(2) M(入 a + i3 )=障; 山0丿卜門J1 2廠2牛件計(jì)一3 一3&入(M a )=九 |= |故 M(入 a + 1 3 )=入(M a )+ 1 (M 3 )一 7人+6匚3+24 1,入(M a )+ 1 (M 3 )=、7九+64(2)推廣的命題：已知二階非零矩陣M，向量一，-f丿2 一，那么對(duì)任意實(shí)數(shù)入，1 ,有M(【作業(yè)本】入 a + 卩 3 )=入(M a )+(M 3 )。譏 t人q丿l-qA.關(guān)于y軸反射變換C.關(guān)于原點(diǎn)反射變換1.

12、變換的幾何意義為B.D.關(guān)于x軸反射變換 以上都不對(duì)答案：B。2. 下列矩陣表示伸壓變換的是C、0 01.答案：C。解析：根據(jù)伸壓變換的定義知。1 -113. 直線x-y=1在矩陣 片變換下變成的圖形是()A、直線B、線段C、點(diǎn)D、射線"1 -1答案：C。解析：任取直線x - y =1上一點(diǎn)P(x0,y0)，它在矩陣變換下變成P (x0,y0),I1 -11 -1%"x0=x0 y0 = 11 -11則有|故* “00，因此，直線x y=1在矩陣|作用下1 -1 一y° 一|y°_iy°=x°y° = 11 -1變成點(diǎn)(1，

13、1)。r 414. 圖形F=(x, y)| °蘭x蘭2,0蘭y蘭2，經(jīng)過切變變換后的圖形F '的周長(zhǎng)為L(zhǎng) 1答案：4.10 4。解析：圖形F為正方形，經(jīng)切變變換后變?yōu)槠叫兴倪呅?，且各頂點(diǎn)依次為(°,°),(2,°),(8,2),(6,2)，故其周長(zhǎng)為 4 一 1° 4。5. 已知平面四邊形 ABCD在旋轉(zhuǎn)變換作用下變成四邊形A BCD，那么下面基本量:四邊形的面積；四邊形的形狀；四邊形的周長(zhǎng)；四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)。其中不改變的有。(寫出所有正確的序號(hào))答案：。解析：由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)知。6.寫出對(duì)直線X y =0的反射矩陣M。答案：設(shè)平面上任

14、一點(diǎn)P(x°,y°)，它在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(x,y ),Fy y°=1x -X0xx0y2-0佇-y0，又FU=M河, M = ? -1ly =-x。y。1-10 一O7.如圖所示, 求點(diǎn)B的坐標(biāo)。答案：由已知已知正三角形ABC，其中 A (2, 2),A (2, 2)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 °后移到B(x°,y°)，因此,得旋轉(zhuǎn)變換矩陣杠吧EVsi n60, cos60M點(diǎn)B的坐標(biāo)為1 - 3,1&研究圓x2 y2 =4在矩陣作用下變換得到的圖形。2 2 j解：設(shè)所求圖形上任一點(diǎn)P(x, y)，與之對(duì)應(yīng)的原圖形上

15、的點(diǎn)為p)(x0, y0)11 1x0 y0r222,ii =11y。y0 X°22一2 一1 i則x0 y0x =2 2 2，又(X0,y°)在已知圓x+y=4上yo - xo x y =0,( - . 2 _ x _、2),在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下，圓x2+y2-cI.2 2變換成線段ab，其中a(-W), b(、2，如圖所示。1.F列敘述中錯(cuò)誤的是101對(duì)應(yīng)的變換是一伸壓變換i12"(表示y方向的切變變換_0 12、3-2答案：B。C、表示以原點(diǎn)為中心的旋轉(zhuǎn)變換D、在反射變換下，任何圖形不變2 一解析：選項(xiàng)B中矩陣表示x方向的切變變換。2.將y =sinx以伸

16、縮(x, y)； (ax, by)使其變?yōu)閥 = 4sin 2x的圖形，貝U ()C、D、a J,b 丿24答案：C。解析：由已知伸縮變換矩陣M = a0012_ool3在平面上任意四邊形 ABCD，經(jīng)過下列變換后，使所得圖形與原四邊形ABCD全等的變換矩陣是()2 0 110 -2 一-1 101 一C、4 _3-|53'54 答案：C。解析：選項(xiàng)C是旋轉(zhuǎn)變換，其中旋轉(zhuǎn)角為 arccos。54.曲線y = JX在矩陣I1 0 "作用下變換得到的曲線為。 0 -1 一答案：y仮。解析：T：? 0lx1。S!。威!-y_l5.坐標(biāo)平面上 A(2,1), AOB為一等腰直角三角形

17、，且/AOB=90。，點(diǎn)B在第二象限則點(diǎn)B的坐標(biāo)為。"cos9 -sin90"0 -1答案：(-1,2)。解析由已知得旋轉(zhuǎn)變換矩陣'i=,.sin 90 cos90'l 1 0 一 0 -12，即 B(1,2)。_1 0 J_26. 在坐標(biāo)平面上，將點(diǎn) P(3,4)作下列變換，試分別求變換之后的點(diǎn)P'坐標(biāo)。(1) 以原點(diǎn)為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 ° ;(2) 沿x軸方向平移3| y |個(gè)單位。答案：(1)cos(-60：) -sin(-60)3 _ sin(-60)cos(-60)412 也 2云 |3=21 l44_3巧2 .2一4 -3 32(2)1 3 31 I I 0 1415,Q(15,4)。7.在伸縮變換中,當(dāng)于矩陣a 0陣1 a的合成結(jié)果？并說明理由。b 1b的作用。"a 0 1_1 0 沿x軸方向伸縮a倍，然后沿y軸方向伸縮b倍 ，相|'0 1|0 b那么對(duì)于沿x,y軸兩方向的切變矩陣1 a , 1 °|0 1|tb 1是否也有類似像矩后變?yōu)镻 (x ay, y)，再經(jīng)答案對(duì)于平面上的任意一點(diǎn)P(x,y)，則經(jīng)過切變矩陣叮過切變矩陣f 0 "后變?yōu)镻 "(x+ay,bx+aby+y);而P(x, y)經(jīng)過切變矩陣¥日后變?yōu)閜 1b 1(x ay,