含絕對值不等式的解法(含答案)

1、含絕對值的不等式的解法基本解法與思想解含絕對值的不等式的基本思想是等價轉(zhuǎn)化，即采用正確的方法去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為 不含絕對值的不等式來解，常用的方法有公式法、定義法、平方法。(一)、公式法： 即利用 x a 與 x a 的解集求解。主要知識：x2 是指數(shù)軸上 x1， x21、絕對值的幾何意義： x 是指數(shù)軸上點 x 到原點的距離； x1 兩點間的距離 .。2、 x a 與 x a 型的不等式的解法。當 a 0 時，不等式 x 不等式 x當 a 0 時，不等式 x 不等式 x 3 ax b c 與 ax b 的解集是 xx a,或 x a a 的解集是 x a x a ; a 的解集是 xx R

2、 a 的解集是 ;c型的不等式的解法。c的解集是xaxb c,或 ax bcc的解集是xcax b c ;c的解集是xxRc的解集是把 ax b 看作一個整體時，可化為 x a 與 x a 型的不等式來求解。當 c 0 時，不等式 ax b 不等式 ax b當 c 0 時，不等式 ax b 不等式 a bx 例1 解不等式 x 2 3分析: 這類題可直接利用上面的公式求解，這種解法還運用了整體思想，如把“ x 2看著一個整體。答案為 x 1 x 5 。(解略 )二)、定義法 : 即利用 aa(a 0),0(a 0), 去掉絕對值再解。a(a 0).例 2 。解不等式xx2xx2分析: 由絕對值

3、的意義知， a aa 0， aaa0。-2 < x< 0。解: 原不等式等價于 x <0 x(x+2) <0 x2(三)、平方法 :解 f(x) g(x) 型不等式。例 3、解不等式 x 1 2x 3 。解: 原不等式 (x 1)2 (2x 3)2 (2x 3)2 (x 1)2 04 (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 (3x-4)(x-2)<0 x 2 。3 說明: 求解中以平方后移項再用平方差公式分解因式為宜。 二、分類討論法：即通過合理分類去絕對值后再求解。 例4 解不等式 x 1 x 2 5。分析:由 x 1 0， x 2 0，得x 1和x

4、 2。 2和1把實數(shù)集合分成三個區(qū)間， 即 x 2 ， 2 x 1 ， x 1，按這三個區(qū)間可去絕對值，故可按這三個區(qū)間討論。解:當x<-2 時，得 x 2 ， 解得： 3 x 2(x 1) (x 2) 52 x 1, 當-2x1 時，得 2 x 1, ， 解得： 2 x 1(x 1) (x 2) 5x 1,當 x 1 時，得 x 1,(x 1) (x 2) 5.解得： 1 x 2綜上，原不等式的解集為 x 3 x 2 。說明 :(1) 原不等式的解集應(yīng)為各種情況的并集 ;(2) 這種解法又叫“零點分區(qū)間法”，即通過令每一個絕對值為零求得零點，求解應(yīng)注意 邊界值。三、幾何法：即轉(zhuǎn)化為幾何

5、知識求解。例 5 對任何實數(shù) x ，若不等式 x 1 x 2 k 恒成立，則實數(shù) k 的取值范圍為 ( )(A)k<3 (B)k<-3(C)k 3(D) k-3分析:設(shè) y x 1 x 2 ，則原式對任意實數(shù) x 恒成立的充要條件是 k ymin ，于是題轉(zhuǎn) 化為求 y 的最小值。x -1 0 2解: x 1、 x 2的幾何意義分別為數(shù)軸上點 x到-1 和2的距離 x 1- x 2的幾何意義 為數(shù)軸上點 x到-1 與 2的距離之差，如圖可得其最小值為 -3 ，故選( B)。3x257x44121，原不等式等價于四、典型題型1、解關(guān)于 x 的不等式2x3x 810解：原不等式等價于1

6、0 x23x8 102即 x2 3x810x1或x2x2 3x8106x3 原不等式的解集為( 6,2) (1,3)2、解關(guān)于 x 的不等式22x 32x 3 0 解：原不等式等價于 12x 323、解關(guān)于 x 的不等式 2x 1 x 2解：原不等式可化為 (2x 1)2 (x 2)2 (2x 1)2 (x 2)2 0即 (x 3)(3x 1) 01解得： 1 x 331 原不等式的解集為 ( 1,3)34、解關(guān)于 x的不等式 2x 1 2m 1(m R)1解： 當2m 1 0時，即 m 1，因 2x 1 0，故原不等式的解集是空2集。 當 2m 1 0 時，即 m(2m 1) 2x 1 2m

7、 1 解得： 1 m x m綜上，當 m 21時，原不等式解集為空集 ;當m 12時，不等式解集為 x1 m x m5 、解關(guān)于 x 的不等式 2x 1x3解：當 x3時，得x3(2x 1)(x3)1，無解當33x當x112時，得2x(2x121x121)解得：解得：31x42綜上所述，原不等式的解集為 ( 34 ， 126、解關(guān)于 x 的不等式 x 1 x 2 5(答案：( , 3 2, )解：五、鞏固練習1、設(shè)函數(shù) f(x) 2x 1 x 3,則f( 2); 若 f(x) 2，則 x的取值范圍是 .12、已知 a R，若關(guān)于 x的方程 x2 x a 1 a 0有實根，則 a的取值范圍4 是

8、x13、不等式1的實數(shù)解為x24、解下列不等式 4x 3 2x 1； |x 2| |x 1| ； |2x 1| |x 2| 4；2 4 |2x 3| 7 ； x 1 4 2； x2 a a (a R)5、若不等式 ax 2 6的解集為 1,2 ，則實數(shù) a 等于 ()A. 8 B. 2 C. 4 D. 86、若 x R，則 1 x 1 x 0 的解集是()A. x 0 x 1 B.x x 0且x 1 C. x 1 x 1 D.x x 1且 x 17、 1 對任意實數(shù) x，|x 1| |x 2| a恒成立，則 a的取值范圍是2 對任意實數(shù) x ，|x 1| |x 3| a 恒成立，則 a的取值范

9、圍是3 若關(guān)于 x的不等式 |x 4| | x 3|8、不等式 x10 3x 的解集為（a的解集不是空集，則 a 的取值范圍是A. x|2 x10 B. x| 25 C. x|2 xD. x| 10 x 59、解不等式：10、方程x12xxx2 3x12、不等式 x (1 2x) A.( ,12)11、不等式 3 52xx2x2 2 的解集為 x2 3x0 的解集是（)1 B. ( ,0) (0,2)9的解集是A. , 2 U 7,12、 已知不等式13、解關(guān)于 x 的不等式：解關(guān)于x2B. 1,4 C. a （a 0） 的解集為 x x的不等式，不等式x2x的解集是C.(12,D. (0,1

10、2)2,1 U 4,7 R| 1 mx 1xc3 ； 2xD. 2,1 U 4,7 ，求 a 2c 的值1 a (a R)A. (0,2)B. (2,0) U (2,4)C. ( 4,0)15、 設(shè)集合 A xx22,x R ， By y x2 , 1A. RB. xx R,x 0C. 016、不等式 2x 1x1的解集是17、設(shè)全集 U R ，解關(guān)于 x 的不等式：x 1 a 1 014、不等式 1 |x1| 3 的解集為（）D.xRD. ( 4, 2) U (0,2) x 2 ，則 CR AI B 等于 (1、（參考答案）2 、 0,43、 ( , 2) ( 2, 32)14、 xx 或x 23 xx 12 xx2或x 117 x 2 x 或 x 522 x 5 x 1或3 x 75、C6、D7、 a 3 ； a 4； a7；8、C9、xx1a或 x 5 10 、x3x2或 x 022xx 2或 x011、D12、152當 m 0 時，13、 當m0時，xR；xm4 ；當m 0 時，4xmmm當