2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(1)(一試+二試_附詳細(xì)解答)

1、2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(1)第一試(考試時間：80分鐘 滿分：120分)姓名：_考試號：_得分：_一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分）1不等式的解集為2過正方體外接球球心的截面截正方體所得圖形可能為_. 三角形 正方形 梯形 五邊形 六邊形3直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_ _.4復(fù)數(shù)，使，則的所有可能值為 _ _5所有的滿足條件的正整數(shù)對的個數(shù)為 6設(shè)為方程的根（），則 _.7將號碼分別為1、2、9的九個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不同，其余完全相同. 甲從袋中摸出一個球，其號碼為，放回后，乙從此袋中再摸出一個球，其號碼為. 則使不等式成立的事件

2、發(fā)生的概率等于 8已知A, B, C為ABC三內(nèi)角, 向量,.如果當(dāng)C最大時,存在動點(diǎn)M, 使得成等差數(shù)列, 則最大值是_ _.二、解答題（本大題共3小題，第9題16分，第10、11題20分，共56分）9對正整數(shù)，記，求數(shù)列an中的最大值10給定正實(shí)數(shù)k，圓心為()的圓至少與拋物線有三個公共點(diǎn)，一個是原點(diǎn)(0, 0)，另兩個點(diǎn)在直線上，求的值（用表示）11已知函數(shù)其中為實(shí)數(shù)，求所有的數(shù)對(a, n)(nN*),使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰好有2011個零點(diǎn)2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(1)加試(考試時間：150分鐘 滿分：180分)姓名：_考試號：_得分：_一、（本題滿分40分）在中，是斜邊上的高，

3、記分別是ADC, BCD,ABC的內(nèi)心，在邊上的射影為，的角平分線分別交于，且的連線與相交于，求證：四邊形為正方形ABCPQID O1I1I2二、（本題滿分40分）給定正數(shù)a, b, c, d, 證明：三、（本題滿分50分）設(shè)，定義，證明：當(dāng)時，為整數(shù)，且為奇數(shù)的充要條件是四、（本題滿分50分）試求最小的正整數(shù)使得對于任何個連續(xù)正整數(shù)中，必有一數(shù)，其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù).2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬卷(1)答案1 由得，原不等式可變?yōu)榻獾霉试坏仁降慕饧癁?答案：，解：由對稱性可知，所得圖形應(yīng)為中心對稱圖形，且可以截得3提示：, 曲線為兩個半圓，直線過定點(diǎn)（0，2），數(shù)形結(jié)合可得.4答案：

4、0，1， 解：=，當(dāng) 時，滿足條件，當(dāng) 時，設(shè) ，由(2) 1） 代入(1) 整理得：2），則 代入(1) 得：，經(jīng)檢驗(yàn)復(fù)數(shù)均滿足條件. 的所有可能值為0，1，.5解：顯然由條件得，從而有即，再結(jié)合條件及以上結(jié)果，可得，整理得，從而即，所以當(dāng)時，不符合；當(dāng)時，（不符合）綜上，滿足本題的正整數(shù)對只有，故只有1解6答案：，由題意， 由此可得，以及7提示：甲、乙二人每人摸出一個小球都有9種不同的結(jié)果，故基本事件總數(shù)為92=81個，由不等式a2b+10>0得2b<a+10，于是，當(dāng)b=1、2、3、4、5時，每種情形a可取1、2、9中每一個值，使不等式成立，則共有9×5=45種；當(dāng)

5、b=6時，a可取3、4、9中每一個值，有7種；當(dāng)b=7時，a可取5、6、7、8、9中每一個值，有5種；當(dāng)b=8時，a可取7、8、9中每一個值，有3種；當(dāng)b=9時，a只能取9，有1種。于是，所求事件的概率為8解: ,等號成立僅當(dāng).令|AB|=2c,因,所以 M是橢圓上的動點(diǎn).故點(diǎn)C(0,), 設(shè)M(x,y), 則|MC|2x2+()2.當(dāng)y時, |MC|2max=, |MC|max. 即max.9解：經(jīng)計(jì)算知，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，有假設(shè)，則 所以數(shù)列an中的最大值是10解：設(shè)O: 即拋物線與直線的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即 , 這兩點(diǎn)亦在圓上，即Þ同理 , 即 比較，知：11解：首

6、先，函數(shù)以為周期，且以為對稱軸，即，其次，關(guān)于對稱，在及上的零點(diǎn)個數(shù)為偶數(shù)，要使在區(qū)間恰有2011個零點(diǎn)，則上述區(qū)間端點(diǎn)必有零點(diǎn)（1）若，則，考慮區(qū)間及上的零點(diǎn)個數(shù)當(dāng)時，令則，解得（舍），故在內(nèi)有兩解當(dāng)時，令，則，解得（舍），（舍），故在內(nèi)無解因此，在區(qū)間內(nèi)有三個零點(diǎn)同理可得滿足條件 加試題 一 證明：不妨設(shè)，由且分別是其內(nèi)心，得 且，所以 則 設(shè)的內(nèi)切圓半徑分別為，的三邊長為，在邊上的射影為，并且 ，則，所以 ， ， ，因此且，則四點(diǎn)共圓 （由知）所以， 同理 ，又由角平分線性質(zhì)得ABCPQID O1I1I2同理，另一方面，又，而，所以， 同理，所以四邊形為平行四邊形，由知四邊形為正方形二解

7、：由于問題的對稱性, 只要證明對于任何正數(shù)x,y,z,下式成立x3+y3+z3x+y+zx2+y2+z23.因?yàn)槿绻鲜匠闪? 則原式的左邊不小于a2+b2+c23+b2+c2+d23+c2+d2+a23+d2+a2+b23=a2+b2+c2+d2.不失一般性, 可以在x+y+z=1的假設(shè)下證明上述不等式. 如果x+y+z1, 只要將不等式兩邊同除(x+y+z)2, 令X=x/(x+y+z), Y=y/(x+y+z), Z=z/(x+y+z). 于是問題轉(zhuǎn)化成下列被修改的問題：給定滿足條件X+Y+Z=1的正數(shù)X, Y, Z, 證明X3+Y3+Z3X2+Y2+Z23. 此不等式證明如下：3X3+

8、3Y3+3Z3X3+Y3+Z3+X2Y+X2Z+XY2+Y2Z+XZ2+YZ2=X2X+Y+Z+Y2X+Y+Z+Z2(X+Y+Z)=X2+Y2+Z2.三證明：注意到 得反復(fù)運(yùn)用上式，得，其中，得，從而可知，因此是整數(shù). （1）當(dāng)時，由有奇數(shù)個奇數(shù)項(xiàng)知為奇數(shù)，所以為奇數(shù). （2）當(dāng)時，故，所以為偶數(shù) （3）當(dāng)時，故，所以為偶數(shù)綜上所述，命題成立，證畢.四解：首先，我們可以指出12個連續(xù)正整數(shù)，例如994，995，999，1000，1001，1005，其中任一數(shù)的各位數(shù)字之和都不是7的倍數(shù)，因此，.再證，任何連續(xù)13個正整數(shù)中，必有一數(shù)，其各位數(shù)字之和是7的倍數(shù).對每個非負(fù)整數(shù)，稱如下10個數(shù)所構(gòu)成的集合:為一個“基本段”，13個連續(xù)正整數(shù)，要么屬于兩個基本段，要么屬于三個基本段。當(dāng)13個數(shù)屬于兩個基本段時，據(jù)抽屜原理，其中必有連續(xù)的7個數(shù)，屬