數(shù)學(xué)建模姜啟源第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型ppt課件

1、第三章第三章 簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型3.1 存貯模型存貯模型3.2 生豬的出賣時(shí)機(jī)生豬的出賣時(shí)機(jī)3.3 森林救火森林救火3.4 最優(yōu)價(jià)錢最優(yōu)價(jià)錢3.5 血管分支血管分支3.6 消費(fèi)者平衡消費(fèi)者平衡3.7 冰山運(yùn)輸冰山運(yùn)輸 現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問題現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問題 靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)不是函數(shù)) 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目確實(shí)定恰當(dāng)?shù)哪康暮瘮?shù)據(jù)建模目確實(shí)定恰當(dāng)?shù)哪康暮瘮?shù) 求解靜態(tài)優(yōu)化模型普通用微分法靜靜 態(tài)態(tài) 優(yōu)優(yōu) 化化 模模 型型3.1 存貯模型存貯模型問問 題題配件廠為裝配線消費(fèi)假設(shè)干種產(chǎn)品

2、，輪換產(chǎn)品時(shí)因改換設(shè)配件廠為裝配線消費(fèi)假設(shè)干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因改換設(shè)備要付消費(fèi)預(yù)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付儲(chǔ)存費(fèi)。該廠備要付消費(fèi)預(yù)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付儲(chǔ)存費(fèi)。該廠消費(fèi)才干非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。消費(fèi)才干非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。知某產(chǎn)品日需求量知某產(chǎn)品日需求量100件，消費(fèi)預(yù)備費(fèi)件，消費(fèi)預(yù)備費(fèi)5000元，儲(chǔ)存費(fèi)元，儲(chǔ)存費(fèi)每日每件每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的消費(fèi)方案，即多少天消費(fèi)元。試安排該產(chǎn)品的消費(fèi)方案，即多少天消費(fèi)一次消費(fèi)周期，每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。一次消費(fèi)周期，每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。要要 求求不只是回答以下問題，而且要建立消費(fèi)周期、產(chǎn)量與不只是回答

3、以下問題，而且要建立消費(fèi)周期、產(chǎn)量與需求量、預(yù)備費(fèi)、儲(chǔ)存費(fèi)之間的關(guān)系。需求量、預(yù)備費(fèi)、儲(chǔ)存費(fèi)之間的關(guān)系。問題分析與思索問題分析與思索 每天消費(fèi)一次，每次每天消費(fèi)一次，每次100件，無(wú)儲(chǔ)存費(fèi)，預(yù)備費(fèi)件，無(wú)儲(chǔ)存費(fèi)，預(yù)備費(fèi)5000元。元。日需求日需求100件，預(yù)備費(fèi)件，預(yù)備費(fèi)5000元，儲(chǔ)存費(fèi)每日每件元，儲(chǔ)存費(fèi)每日每件1元。元。 10天消費(fèi)一次，每次天消費(fèi)一次，每次1000件，儲(chǔ)存費(fèi)件，儲(chǔ)存費(fèi)900+800+100 =4500元，預(yù)備費(fèi)元，預(yù)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)9500元。元。 50天消費(fèi)一次，每次天消費(fèi)一次，每次5000件，儲(chǔ)存費(fèi)件，儲(chǔ)存費(fèi)4900+4800+100 =122500元，預(yù)備

4、費(fèi)元，預(yù)備費(fèi)5000元，總計(jì)元，總計(jì)127500元。元。平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用950元元平均每天費(fèi)用平均每天費(fèi)用2550元元1010天消費(fèi)一次平均每天費(fèi)用最小嗎天消費(fèi)一次平均每天費(fèi)用最小嗎? ?每天費(fèi)用每天費(fèi)用5000元元 這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目的函數(shù)。這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目的函數(shù)。顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目的函數(shù)顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目的函數(shù)目的函數(shù)目的函數(shù)每天總費(fèi)用的平均值每天總費(fèi)用的平均值 周期短，產(chǎn)量小周期短，產(chǎn)量小 周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大問題分析與思索問題分析與思索儲(chǔ)存費(fèi)少，預(yù)備費(fèi)多儲(chǔ)存費(fèi)少，預(yù)備費(fèi)多預(yù)備費(fèi)少，儲(chǔ)存費(fèi)多預(yù)備費(fèi)少，儲(chǔ)存費(fèi)多存在最正確

5、的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用二者之和最小存在最正確的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用二者之和最小模模 型型 假假 設(shè)設(shè)1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；2. 每次消費(fèi)預(yù)備費(fèi)為每次消費(fèi)預(yù)備費(fèi)為 c1, 每天每件產(chǎn)品儲(chǔ)存費(fèi)為每天每件產(chǎn)品儲(chǔ)存費(fèi)為 c2；3. T天消費(fèi)一次周期天消費(fèi)一次周期, 每次消費(fèi)每次消費(fèi)Q件，當(dāng)儲(chǔ)存量件，當(dāng)儲(chǔ)存量 為零時(shí)，為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立刻到來消費(fèi)時(shí)間不計(jì)；件產(chǎn)品立刻到來消費(fèi)時(shí)間不計(jì)；建建 模模 目目 的的設(shè)設(shè) r, c1, c2 r, c1, c2 知，求知，求T, Q T, Q 使每天總費(fèi)用的平均值最小。使每天總費(fèi)用的平均值最小。4. 為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為延續(xù)

6、量處置。為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為延續(xù)量處置。模模 型型 建建 立立0tq儲(chǔ)存量表示為時(shí)間的函數(shù)儲(chǔ)存量表示為時(shí)間的函數(shù) q(t)TQrt=0消費(fèi)消費(fèi)Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0.一周期一周期總費(fèi)用總費(fèi)用TQccC221每天總費(fèi)用平均每天總費(fèi)用平均值目的函數(shù)值目的函數(shù)2)(21rTcTcTCTC離散問題延續(xù)化離散問題延續(xù)化AcdttqcT202)(一周期儲(chǔ)存費(fèi)為一周期儲(chǔ)存費(fèi)為A=QT/22221rTcc rTQ 模型求解模型求解Min2)(21rTcTcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1Q

7、Tc,2QTr,模型運(yùn)用模型運(yùn)用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答以下回答以下問題問題 經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式EOQEOQ公式公式212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費(fèi)，每次訂貨費(fèi) c1,每天每件儲(chǔ)存費(fèi)每天每件儲(chǔ)存費(fèi) c2 ，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型 問：為什么不思索消費(fèi)費(fèi)用？在什么條件下才不思索？問：為什么不思索消費(fèi)費(fèi)用？在什么條件下才不思索？T天訂貨一次天訂貨一次(周期周期), 每次訂貨每次訂貨Q件，當(dāng)儲(chǔ)存量降到

8、件，當(dāng)儲(chǔ)存量降到零時(shí)，零時(shí)，Q件立刻到貨。件立刻到貨。允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)儲(chǔ)存量降到零時(shí)仍有需求當(dāng)儲(chǔ)存量降到零時(shí)仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，呵斥損失出現(xiàn)缺貨，呵斥損失原模型假設(shè)：儲(chǔ)存量降到零時(shí)原模型假設(shè)：儲(chǔ)存量降到零時(shí)Q件件立刻消費(fèi)出來立刻消費(fèi)出來(或立刻到貨或立刻到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費(fèi)每天每件缺貨損失費(fèi) c3 , 缺貨需補(bǔ)足缺貨需補(bǔ)足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一周期儲(chǔ)存費(fèi)儲(chǔ)存費(fèi)BcdttqcTT331)(一周期一周期缺貨費(fèi)缺貨費(fèi)周期周期T, t=T1儲(chǔ)存量降到零儲(chǔ)存量降到零2)(2213121TTrcQ

9、TccC一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值平均值目的函數(shù)目的函數(shù)213121)(2121TTrcQTccC一周期總費(fèi)用一周期總費(fèi)用Min),(QTC求求 T ,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ為與不允許缺貨的存貯模型為與不允許缺貨的存貯模型相比，相比，T記作記作T , Q記作記作Q212rccT 212crcrTQ不允不允許缺許缺貨模貨模型型QQTT,332ccc 記記1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型不不允允

10、許許缺缺貨貨3c332212cccrccT323212ccccrcQ允許允許缺貨缺貨模型模型0qQrT1tT留意：缺貨需補(bǔ)足留意：缺貨需補(bǔ)足Q每周期初的存貯每周期初的存貯量量R每周期的消費(fèi)量每周期的消費(fèi)量R 或訂貨量或訂貨量332212ccccrcTrRQ不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量或訂貨量) QQR3.2 生豬的出賣時(shí)機(jī)生豬的出賣時(shí)機(jī)豢養(yǎng)場(chǎng)每天投入豢養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)可使備，估計(jì)可使80千克重的生豬體重添加千克重的生豬體重添加2公斤。公斤。問問題題市場(chǎng)價(jià)錢目前為每千克市場(chǎng)價(jià)錢目前為每千克8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降元，但是預(yù)

11、測(cè)每天會(huì)降低低 0.1元，問生豬應(yīng)何時(shí)出賣。元，問生豬應(yīng)何時(shí)出賣。假設(shè)估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。假設(shè)估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。分分析析投入資金使生豬體重隨時(shí)間添加，出賣單價(jià)隨投入資金使生豬體重隨時(shí)間添加，出賣單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最正確出賣時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最時(shí)間減少，故存在最正確出賣時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大大trtgttQ4)80)(8()(求求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出賣，可多得利潤(rùn)天后出賣，可多得利潤(rùn)20元元建模及求解建模及求解生豬體重生豬體重 w=80+rt出賣價(jià)錢出賣價(jià)錢 p=8-gt銷售收入銷售收入 R=pw資金投入資金投入 C=4t利潤(rùn)利潤(rùn) Q=R-

12、C=pw -C估計(jì)估計(jì)r=2，假設(shè)當(dāng)前出賣，利潤(rùn)為假設(shè)當(dāng)前出賣，利潤(rùn)為808=640元元t 天天出賣出賣=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研討研討 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 估計(jì)估計(jì)r=2， g=0.1rggrt2404 設(shè)設(shè)g=0.1不變不變 5 . 1,6040rrrtt 對(duì)對(duì)r 的相對(duì)敏感度的相對(duì)敏感度 rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS生豬每天體重添加量生豬每天體重添加量r 添加添加1%，出賣時(shí)間推遲，出賣時(shí)間推遲3%。 1.522.5305101520rt敏感性分析敏感性分析估計(jì)估計(jì)r=2， g=0.

13、1rggrt2404研討研討 r, g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 設(shè)設(shè)r=2不變不變 15. 00,203gggtt 對(duì)對(duì)g的相對(duì)敏感度的相對(duì)敏感度 tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS生豬價(jià)錢每天的降低量生豬價(jià)錢每天的降低量g添加添加1%，出賣時(shí)間提早，出賣時(shí)間提早3%。 0.060.080.10.120.140.160102030gt強(qiáng)壯性分析強(qiáng)壯性分析保管生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出賣保管生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出賣由由 S(t,r)=3建議過一周后建議過一周后(t=7)重新估計(jì)重新估計(jì) , 再作計(jì)算。再作計(jì)算。wwpp,研討研討

14、 r, g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響 w=80+rt w = w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p =p(t) 假設(shè)假設(shè) (10%), 那么那么 30% 2 . 28 . 1 w137 t0)( tQ每天利潤(rùn)的增值每天利潤(rùn)的增值 每天投入的資金每天投入的資金 ttwtptQ4)()()(3.3 森林救火森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合思索損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量

15、。綜合思索損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問題問題分析分析問題問題記隊(duì)員人數(shù)記隊(duì)員人數(shù)x, 失火時(shí)辰失火時(shí)辰t=0, 開場(chǎng)救火時(shí)辰開場(chǎng)救火時(shí)辰t1, 滅火時(shí)辰滅火時(shí)辰t2, 時(shí)辰時(shí)辰t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費(fèi)損失費(fèi)f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決議決議. 救援費(fèi)救援費(fèi)f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決議由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決議.存在恰當(dāng)?shù)拇嬖谇‘?dāng)?shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最之和最小小 關(guān)鍵是對(duì)關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問題問題分析分析失火時(shí)辰失火時(shí)辰t=0, 開場(chǎng)救火時(shí)辰開場(chǎng)救

16、火時(shí)辰t1, 滅火時(shí)辰滅火時(shí)辰t2, 畫出時(shí)辰畫出時(shí)辰 t 森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比較困難比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度速度dB/dt.模型假設(shè)模型假設(shè) 3f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi) 10tt1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢(shì)蔓延速火勢(shì)蔓延速度度 2t1tt2, 降為降為- x ( 為隊(duì)員的平均滅火速度為隊(duì)員的平均滅火速度 4每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2, 一次性費(fèi)用一次性費(fèi)用c3假設(shè)假設(shè)1

17、1的解釋的解釋 rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向周圍呈圓形蔓延，均勻向周圍呈圓形蔓延，半徑半徑 r與與 t 成正比成正比面積面積 B與與 t2成正比，成正比， dB/dt與與 t成正比成正比.xbtt12202)()(tdttBtB模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假設(shè)假設(shè)1,1tbxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(目的函數(shù)目的函數(shù)總費(fèi)用總費(fèi)用)()()(21xfxfxC假設(shè)假設(shè)34xttt112假設(shè)假設(shè)2)(222212212xttbt0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目的函數(shù)目的函數(shù)總費(fèi)用總

18、費(fèi)用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx結(jié)果解釋結(jié)果解釋 / 是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)數(shù)dtdBb0t1t2 tx其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為知參數(shù)為知參數(shù)模型模型運(yùn)用運(yùn)用c1,c2,c3知知, t1可估計(jì)可估計(jì), c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果結(jié)果解釋解釋231221122ctctcxc1燒毀單位面積損失費(fèi)燒毀單位面積損失費(fèi), c2每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi)每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi), c3每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用, t1開場(chǎng)救火時(shí)辰開場(chǎng)救火時(shí)辰, 火勢(shì)蔓延速度火勢(shì)蔓延速度, 每個(gè)隊(duì)員

19、平均滅火速度每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.為什么為什么? ? , 可設(shè)置一系列數(shù)可設(shè)置一系列數(shù)值值由模型決議隊(duì)員數(shù)量由模型決議隊(duì)員數(shù)量x3.4 最優(yōu)價(jià)錢最優(yōu)價(jià)錢問題問題根據(jù)產(chǎn)品本錢和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平根據(jù)產(chǎn)品本錢和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價(jià)錢，使利潤(rùn)最大衡條件下確定商品價(jià)錢，使利潤(rùn)最大假設(shè)假設(shè)1產(chǎn)量等于銷量，記作產(chǎn)量等于銷量，記作 x2收入與銷量收入與銷量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價(jià)錢即價(jià)錢3支出與產(chǎn)量支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) q 即本錢即本錢4銷量銷量 x 依賴于價(jià)錢依賴于價(jià)錢 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù) 建模建模與求解與求解pxpI)(收入收入qxpC)(

20、支出支出)()()(pCpIpU利潤(rùn)利潤(rùn)進(jìn)一步設(shè)進(jìn)一步設(shè)0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大0* ppdpdU使利潤(rùn)使利潤(rùn) U(p)最大的最優(yōu)價(jià)錢最大的最優(yōu)價(jià)錢 p*滿滿足足*ppppdpdCdpdI最大利潤(rùn)在邊沿收入等于邊沿支出時(shí)到達(dá)最大利潤(rùn)在邊沿收入等于邊沿支出時(shí)到達(dá)pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpaqp)()()(pCpIpUbaqp22* 建模建模與求解與求解邊沿收入邊沿收入邊沿支出邊沿支出結(jié)果結(jié)果解釋解釋baqp22*0,)(babpapx q / 2 本錢的一半本錢的一半 b 價(jià)錢上升價(jià)錢上升1單位時(shí)銷量的下降單位時(shí)銷量的下降 幅度需求對(duì)價(jià)錢的敏感度幅度需

21、求對(duì)價(jià)錢的敏感度 a 絕對(duì)需求絕對(duì)需求( p很小時(shí)的需求很小時(shí)的需求)b p* a p* 思索：如何得到參數(shù)思索：如何得到參數(shù)a, b?3.5 血血 管管 分分 支支背背景景機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng)機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng)給血管壁以營(yíng)養(yǎng)給血管壁以營(yíng)養(yǎng)抑制血液流動(dòng)的阻力抑制血液流動(dòng)的阻力耗費(fèi)能量取決于血管的幾何外形耗費(fèi)能量取決于血管的幾何外形在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何外形在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何外形曾經(jīng)到達(dá)能量最小原那么曾經(jīng)到達(dá)能量最小原那么研討在能量最小原那么下，血管分支研討在能量最小原那么下，血管分支處粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度處粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度問問題題模型假

22、設(shè)模型假設(shè)一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)血液給血管壁的能量隨血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)外表積和體積管壁的內(nèi)外表積和體積的添加而添加，管壁厚的添加而添加，管壁厚度近似與血管半徑成正度近似與血管半徑成正比比qq1q1ABBCHLll1rr1 q=2q1r/r1, ?調(diào)查血管調(diào)查血管AC與與CB, CB粘性流體在剛粘性流體在剛性管道中運(yùn)動(dòng)性管道中運(yùn)動(dòng)lprq84 pA,C壓力差，壓力差， 粘性系數(shù)粘性系數(shù)抑制阻力耗費(fèi)能量抑制阻力耗費(fèi)能量4218dlqpq

23、E提供營(yíng)養(yǎng)耗費(fèi)能量提供營(yíng)養(yǎng)耗費(fèi)能量21,2lbrE管壁內(nèi)外表積管壁內(nèi)外表積 2rl管壁體積管壁體積(d2+2rd)l,管壁厚度管壁厚度d與與r成正比成正比模型假設(shè)模型假設(shè)qq1q1ABBCHLll1rr1 模型建立模型建立qq1q1ABBCHLll1rr1 4218dlqpqE抑制阻力耗費(fèi)能量抑制阻力耗費(fèi)能量21,2lbrE提供營(yíng)養(yǎng)耗費(fèi)能量提供營(yíng)養(yǎng)耗費(fèi)能量11412142212)/()/(lbrrkqlbrrkqEEEsin/,/1HLltgHLlsin/2)/()tan/)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE機(jī)體為血流提供能量機(jī)體為血流提供能量模型求解模型求解qq1q

24、1ABBCHLll1rr1 0,01rErE0/40/451211521rkqrbrkqrb4114rr0E412cosrr442cos210014937,32. 1/26. 1rrsin/2)/()tan/)(/(),(14121421HbrrkqHLbrrkqrrE模型模型解釋解釋生物學(xué)家：結(jié)果與察看大致吻合生物學(xué)家：結(jié)果與察看大致吻合大動(dòng)脈半徑大動(dòng)脈半徑rmax, 毛細(xì)血管半徑毛細(xì)血管半徑rmin大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有n次分岔次分岔 4114rr4minmax4nrr5minmax41000/rr21001493732. 1/26. 1rr察看：狗的血管察看：狗的血管)4(

25、5n3025n血管總條數(shù)血管總條數(shù)97302510103222n推論推論n=？q2U(q1,q2) = cq101l2l3l3.6 消費(fèi)者平衡消費(fèi)者平衡問題問題消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛程度用無(wú)差別消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛程度用無(wú)差別曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢，購(gòu)買這兩種商品，以到達(dá)最大的稱心度。購(gòu)買這兩種商品，以到達(dá)最大的稱心度。設(shè)甲乙數(shù)量為設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2, 消消費(fèi)者的無(wú)差別曲線族費(fèi)者的無(wú)差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相單調(diào)減、下凸、不相交，記作交，記作 U(q1,q2)=cU(q1,q2) 成效函數(shù)成效函數(shù)知甲乙價(jià)錢知甲乙價(jià)錢 p1,

26、p2, 有錢有錢s，試分配，試分配s,購(gòu)購(gòu)買甲乙數(shù)量買甲乙數(shù)量 q1,q2,使使 U(q1,q2)最大最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2) = cq101l2l3l模型模型及及求解求解知價(jià)錢知價(jià)錢 p1,p2,錢錢 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大sqpqptsqqUZ221121. .),(max),(2211qpqpUL) 2 , 1(0iqLi2121ppqUqU122dqdqKl幾幾何何解解釋釋sqpqp2211直線直線MN: 最優(yōu)解最優(yōu)解Q: MN與與 l2切點(diǎn)切點(diǎn)21/ ppKMN斜率斜率MQN21/qUqU0, 0, 0,

27、 0, 0.B21222221221qqUqUqUqUqU2121ppqUqU結(jié)果結(jié)果解釋解釋21,qUqU邊沿成效邊沿成效消費(fèi)者平衡形狀在兩種商品消費(fèi)者平衡形狀在兩種商品的邊沿成效之比恰等于它們的邊沿成效之比恰等于它們價(jià)錢之比時(shí)到達(dá)。價(jià)錢之比時(shí)到達(dá)。成效函數(shù)成效函數(shù)U(q1,q2) U(q1,q2) 應(yīng)滿足的條應(yīng)滿足的條件件A. U(q1,q2) =c 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸單調(diào)減、下凸 解釋解釋 B的實(shí)踐意義的實(shí)踐意義AB 0,)(. 1121qqU成效函數(shù)成效函數(shù)U(q1,q2) U(q1,q2) 幾種常用的方幾種常用的方式式2121ppqUqU2122

28、11ppqpqp 消費(fèi)者平衡形狀下購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比消費(fèi)者平衡形狀下購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)錢之比的平方根成正比。與二者價(jià)錢之比的平方根成正比。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示消費(fèi)者對(duì)分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛程度。甲乙兩種商品的偏愛程度。1,0,. 221qqU0,)(. 3221baqbqaU2121ppqUqU2211qpqp 購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)錢無(wú)關(guān)。購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)錢無(wú)關(guān)。 U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示對(duì)甲乙的偏愛程分別表示對(duì)甲乙的偏愛程度。度。思索：如何推行到思索：如何推行到 m ( 2) 種商品的情況種商品的情況成效函

29、數(shù)成效函數(shù)U(q1,q2) U(q1,q2) 幾種常用的方幾種常用的方式式3.7 冰山運(yùn)輸冰山運(yùn)輸背景背景 波斯灣地域水資源貧乏，淡化海水的波斯灣地域水資源貧乏，淡化海水的本錢為每立方米本錢為每立方米0.1英鎊。英鎊。 專家建議從專家建議從9600千米遠(yuǎn)的南極用拖船千米遠(yuǎn)的南極用拖船運(yùn)送冰山，取代淡化海水運(yùn)送冰山，取代淡化海水 從經(jīng)濟(jì)角度研討冰山運(yùn)輸?shù)目尚行?。從?jīng)濟(jì)角度研討冰山運(yùn)輸?shù)目尚行浴＝ｎA(yù)備建模預(yù)備1. 日租金和最大運(yùn)量日租金和最大運(yùn)量船船 型型小小 中中 大大日租金英鎊日租金英鎊 最大運(yùn)量米最大運(yùn)量米34.06.28.051051061072. 燃料耗費(fèi)英鎊燃料耗費(fèi)英鎊/千米千米3.

30、 融化速率米融化速率米/天天與南極間隔與南極間隔 (千米千米)船速船速(千米千米/小時(shí)小時(shí)) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山體積冰山體積(米米3)船速船速(千米千米/小時(shí)小時(shí)) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8建模預(yù)備建模預(yù)備建模建模目的目的選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立選擇船型和船速，使冰山到達(dá)目的地后每立米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較米水的費(fèi)用最低，并與淡化海水的費(fèi)用比較模型模型假設(shè)假設(shè) 航行過程中船速不變，總間隔航行過程中船

31、速不變，總間隔9600千米千米 冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率一樣冰山呈球形，球面各點(diǎn)融化速率一樣到達(dá)目的地后，每立方米冰可融化到達(dá)目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水立方米水建模建模分析分析目的地目的地水體積水體積運(yùn)輸過程運(yùn)輸過程融化規(guī)律融化規(guī)律總費(fèi)用總費(fèi)用目的地目的地冰體積冰體積初始冰初始冰山體積山體積燃料耗費(fèi)燃料耗費(fèi)租金租金船型船型, 船速船速船型船型船型船型, 船速船速船型船型4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模模型型建建立立1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 船速船速u (千米千米/小時(shí)小時(shí))與南極間隔與

32、南極間隔d(千米千米)融化速率融化速率r(米米/天天r是是 u 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)；d4000時(shí)時(shí)u與與d無(wú)關(guān)無(wú)關(guān).utd24航行航行 t 天天utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000,)4 . 01 (1056. 13第第t天融天融化速率化速率 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 tkktrRR10冰山初始半徑冰山初始半徑R0，航行，航行t天時(shí)半徑天時(shí)半徑冰山初始體積冰山初始體積30034RV334ttRVt天時(shí)體積天時(shí)體積總航行天數(shù)總航行天數(shù)313004334)

33、,(tkkrVtVuV選定選定u,V0, 航行航行t天時(shí)冰山體積天時(shí)冰山體積313004334),(TttrVVuV到達(dá)目的地到達(dá)目的地時(shí)冰山體積時(shí)冰山體積uuT4002496001, 6, 3 . 0321ccc14334log)6(2 . 7),()log(24),(3130103010210tkkrVuuctVuVcucutVuq),)(log(310211cVcucq2. 燃料耗費(fèi)燃料耗費(fèi) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料耗費(fèi)燃料耗費(fèi) q1(英鎊英鎊/千米千米)q1對(duì)對(duì)u線性線性, 對(duì)對(duì)lo