高考試題的探究（一）鱉臑幾何體的試題賞析與探究文章修改稿(共8頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上鱉臑幾何體的試題賞析與探究岳 峻1 阮艷艷2 安徽省太和縣太和中學(xué) 2015年湖北高考數(shù)學(xué)之后，廣大考生感言：陽(yáng)馬、鱉臑，想說(shuō)愛(ài)你不容易；中學(xué)教師考后反思：陽(yáng)馬、鱉臑，不說(shuō)愛(ài)你又沒(méi)道理；試題評(píng)價(jià)專(zhuān)家說(shuō)：湖北高考數(shù)學(xué)試題注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，突出數(shù)學(xué)素養(yǎng)，彰顯數(shù)學(xué)文化.陽(yáng)馬、鱉臑是什么呢？1 試題再現(xiàn)圖 11.1 文科試題九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑. 在如圖1所示的陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面,且,點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接(I)證明：平面. 試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)

2、說(shuō)明理由；(II)記陽(yáng)馬的體積為，四面體的體積為，求的值圖21.2 理科試題九章算術(shù)中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑如圖2，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接 (I)證明：平面試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由；(II)若面與面所成二面角的大小為，求的值2 鱉臑的史料2.1 史料九章算術(shù)·商功：“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑。陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣”劉徽注：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽(yáng)馬，

3、其形有似鱉肘，故以名云。中破陽(yáng)馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得”2.2 闡釋陽(yáng)馬和鱉臑是我國(guó)古代對(duì)一些特殊錐體的稱(chēng)謂，取一長(zhǎng)方體，按下圖斜割一分為二，得兩個(gè)一模一樣的三棱柱，稱(chēng)為塹堵.圖3再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè).以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱(chēng)為陽(yáng)馬.余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱(chēng)為鱉臑.圖43 試題賞析3.1 生僻字問(wèn)題試題中出現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著九章算術(shù)中“陽(yáng)馬”“鱉(be)臑(nào)”的生僻詞，但題目中已經(jīng)對(duì)這兩個(gè)詞語(yǔ)的含義進(jìn)行了現(xiàn)代文解釋?zhuān)瑥亩呖伎忌鷮?duì)四棱錐所具備的特點(diǎn)能夠完全理解，并且也能夠

4、知道如何判斷四面體是否是鱉臑，因此本題中的生僻字不會(huì)對(duì)考生解題帶來(lái)困擾鱉臑，并沒(méi)鬧！3.2 教材溯源PACB圖5北京師范大學(xué)出版社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修2的“第一章 立體幾何初步”的“第六節(jié) 垂直關(guān)系”的例題1（第37頁(yè)）：如圖5所示，在中，點(diǎn)為所在平面外一點(diǎn)，平面。問(wèn)：四面體中有幾個(gè)直角三角形？教材借助于這道例題給同學(xué)們介紹了鱉臑幾何體，并提出思考問(wèn)題（第38頁(yè)）：PCAB圖6仔細(xì)觀(guān)察，你可以從圖5中得出幾組互相垂直的平面？讓同學(xué)們更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這一特殊幾何體。教材緊接著在隨后的例題2中就給出了以鱉臑為載體的幾何命題的證明問(wèn)題（第38頁(yè)）：如圖6，為的直徑，所在平面為，于，為上異于

5、，的一點(diǎn)。求證：平面平面。該題借助于鱉臑這一幾何體中豐富的垂直關(guān)系，讓學(xué)生來(lái)熟悉垂直中的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用。3.3 設(shè)計(jì)理念普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀(guān)。為此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，而2015年湖北卷就很恰當(dāng)?shù)捏w現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化價(jià)值上的考查。命題者將題目的背景取自于古代數(shù)學(xué)典籍并不意味著試題的難度增大，匠心獨(dú)運(yùn)地體現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)成果的燦爛輝煌，拓寬了知識(shí)面，考查考生的閱讀能力、審題能力和應(yīng)用能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神，注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，彰顯命題組的博學(xué)與智慧尤其是理

6、科第19題、文科第20題，創(chuàng)新于數(shù)學(xué)史料的加工，以陽(yáng)馬和鱉臑為載體進(jìn)行命題，來(lái)源于教材又囿于教材，彰顯數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)味道正，文化氣息濃，讓“枯燥”的高考試卷多了幾分生氣和靈性，給人耳目一新的感覺(jué)4 鱉臑幾何體的性質(zhì)的探究圖74.1 鱉臑幾何體中的垂直關(guān)系如圖7，鱉臑幾何體中，平面，于，于（1）證明：；（2）證明：；（3）證明：；（4）證明：證明 （1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又?所以；（2）因?yàn)?，平面，所以，又，所以平面，則，又，所以；（3）因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以平面平面，又，所以平面，則，又，所以，評(píng)注 圖形中異面直線(xiàn)與的距離等于線(xiàn)段的長(zhǎng)度；異面直線(xiàn)與的距離等于線(xiàn)段的長(zhǎng)度；4.2 鱉臑幾

7、何體中的空間角圖8如圖8，設(shè)為與斜線(xiàn)的夾角，為與斜線(xiàn)在底面的射影的夾角，為與底面所成的角，為二面角的平面角，為直線(xiàn)與平面所成的角，為直線(xiàn)與底面所成的角， 為直線(xiàn)與平面所成的角，則（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.證明 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）過(guò)作于，連接，則平面，.評(píng)注 圖形中二面角的平面角的大小等于，二面角的平面角的大小等于，二面角的平面角的大小等于；直線(xiàn)與平面所成的角為，直線(xiàn)與平面所成的角為，直線(xiàn)與平面所成的角為，直線(xiàn)與平面所成的角為，直線(xiàn)與平面所成的角為.5 鱉臑幾何體模型的應(yīng)用5.1 2015湖北真題評(píng)析圖 9例1 （同1.1 文科試題）解析 （I）因?yàn)榈酌?，所以?/p>

8、由底面為長(zhǎng)方形，有，而，所以. 而平面，所以. 又因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以. 而，所以平面.由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別是,.（II）因?yàn)榈酌?，是?yáng)馬的高，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到底面的距離為的，圖10由于，所以例2 （同1.2 理科試題）解析 （I）同例1 證明平面.而平面，所以平面平面.而平面平面，所以平面.由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為.（II）因?yàn)槠矫?，底面，則平面與平面所成二面角的平面角即為與所成的角，不妨設(shè)，則，在中, ，故5.2 鱉臑在手，橫掃立體幾何試題鱉臑幾何體不僅覆

9、蓋了立體幾何中點(diǎn)、線(xiàn)、面的各種位置關(guān)系，以及各種空間角的計(jì)算，又突出了“垂直”這個(gè)橫貫立體幾何知識(shí)的“紅線(xiàn)”，因此，鱉臑幾何體是探求空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面垂直關(guān)系的十分重要的基本圖形，也是研究棱錐、棱臺(tái)的基本模型。圖11例3 已知在內(nèi)，于，于，求證：在的平分線(xiàn)上（即）解析 因?yàn)?，由三垂線(xiàn)定理逆定理知：，因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，所以，故圖12評(píng)注 經(jīng)過(guò)一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線(xiàn)，如果斜線(xiàn)與這個(gè)角兩邊夾角相等，那么斜線(xiàn)在平面上的射影是這個(gè)角的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)本題圖形中的三棱錐就是鱉臑幾何體，顯然，這個(gè)三棱錐中蘊(yùn)含著棱錐、棱臺(tái)的所有要素。例4 （2015新課標(biāo)I）如圖12，四邊形為菱形，為與交

10、點(diǎn)，平面.(1)證明：平面平面；(2)若，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.解析 (1)因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又平面，所以幾何體是鱉臑，由鱉臑幾何體的垂直關(guān)系性質(zhì)1可知平面,又平面，所以平面平面.(2) 因?yàn)?，所以，因?yàn)槿忮F的體積為，所以鱉臑幾何體的體積為.設(shè),則,，圖13所以的體積為，所以，所以的面積為，的面積與的面積均為.故三棱錐的側(cè)面積為.例5 （2015新課標(biāo)）如圖13，長(zhǎng)方體中， ， ，點(diǎn)，分別在上，過(guò)點(diǎn)，的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線(xiàn)圍成一個(gè)正方形圖14Q(I)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)出畫(huà)法和理由）；(II)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.解析 (I)交線(xiàn)圍成的正方形如圖14

11、. (II)如圖14，作于,則，；因?yàn)樗倪呅螢檎叫?所以，于是，所以.作于，連接，則三棱錐就是鱉臑幾何體，其中就是與平面所成角，設(shè)由鱉臑幾何體的性質(zhì)，則，圖15又，則，故與平面所成角的正弦值為.例6 （2015山東）如圖15，在三棱臺(tái)中，分別為，的中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)若平面， ，求平面與平面所成的角（銳角）的大小 解析 (1)略.(2)由，分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，又平面，所以幾何體是鱉臑幾何體；假設(shè)平面與平面所成的角為，則由鱉臑幾何體的性質(zhì)可知：，又，所以，故平面與平面所成的角（銳角）為6 結(jié)束語(yǔ)除此之外，在2015年的高考題中還有很多以鱉臑這一幾何體為背景的立體幾何問(wèn)題，限于篇幅，忍痛割?lèi)?ài)，不再贅述。命題者之所以對(duì)鱉臑這一幾何體如此青