高考試題的探究（一）鱉臑幾何體的試題賞析與探究文章修改稿(共8頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上鱉臑幾何體的試題賞析與探究岳 峻1 阮艷艷2 安徽省太和縣太和中學 2015年湖北高考數學之后，廣大考生感言：陽馬、鱉臑，想說愛你不容易；中學教師考后反思：陽馬、鱉臑，不說愛你又沒道理；試題評價專家說：湖北高考數學試題注重數學本質，突出數學素養(yǎng)，彰顯數學文化.陽馬、鱉臑是什么呢？1 試題再現圖 11.1 文科試題九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑. 在如圖1所示的陽馬中，側棱底面,且,點是的中點，連接(I)證明：平面. 試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請

2、說明理由；(II)記陽馬的體積為，四面體的體積為，求的值圖21.2 理科試題九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖2，在陽馬中，側棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接 (I)證明：平面試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；(II)若面與面所成二面角的大小為，求的值2 鱉臑的史料2.1 史料九章算術·商功：“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣”劉徽注：“此術臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，

3、其形有似鱉肘，故以名云。中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數，數同而實據半，故云六而一即得”2.2 闡釋陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵.圖3再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個.以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬.余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑.圖43 試題賞析3.1 生僻字問題試題中出現了中國古代數學巨著九章算術中“陽馬”“鱉(be)臑(nào)”的生僻詞，但題目中已經對這兩個詞語的含義進行了現代文解釋，從而高考考生對四棱錐所具備的特點能夠完全理解，并且也能夠

4、知道如何判斷四面體是否是鱉臑，因此本題中的生僻字不會對考生解題帶來困擾鱉臑，并沒鬧！3.2 教材溯源PACB圖5北京師范大學出版社普通高中課程標準實驗教科書數學必修2的“第一章 立體幾何初步”的“第六節(jié) 垂直關系”的例題1（第37頁）：如圖5所示，在中，點為所在平面外一點，平面。問：四面體中有幾個直角三角形？教材借助于這道例題給同學們介紹了鱉臑幾何體，并提出思考問題（第38頁）：PCAB圖6仔細觀察，你可以從圖5中得出幾組互相垂直的平面？讓同學們更進一步認識這一特殊幾何體。教材緊接著在隨后的例題2中就給出了以鱉臑為載體的幾何命題的證明問題（第38頁）：如圖6，為的直徑，所在平面為，于，為上異于

5、，的一點。求證：平面平面。該題借助于鱉臑這一幾何體中豐富的垂直關系，讓學生來熟悉垂直中的判定定理以及性質定理的應用。3.3 設計理念普通高中數學課程標準中指出：數學是人類文化的重要組成部分，數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數學觀。為此，高中數學教學應注重體現數學的文化價值，而2015年湖北卷就很恰當的體現了數學文化價值上的考查。命題者將題目的背景取自于古代數學典籍并不意味著試題的難度增大，匠心獨運地體現了我國古代數學成果的燦爛輝煌，拓寬了知識面，考查考生的閱讀能力、審題能力和應用能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神，注重數學本質，提高數學素養(yǎng)，彰顯命題組的博學與智慧尤其是理

6、科第19題、文科第20題，創(chuàng)新于數學史料的加工，以陽馬和鱉臑為載體進行命題，來源于教材又囿于教材，彰顯數學文化，數學味道正，文化氣息濃，讓“枯燥”的高考試卷多了幾分生氣和靈性，給人耳目一新的感覺4 鱉臑幾何體的性質的探究圖74.1 鱉臑幾何體中的垂直關系如圖7，鱉臑幾何體中，平面，于，于（1）證明：；（2）證明：；（3）證明：；（4）證明：證明 （1）因為平面，平面，所以，又，,所以；（2）因為，平面，所以，又，所以平面，則，又，所以；（3）因為，所以（4）因為，所以平面平面，又，所以平面，則，又，所以，評注 圖形中異面直線與的距離等于線段的長度；異面直線與的距離等于線段的長度；4.2 鱉臑幾

7、何體中的空間角圖8如圖8，設為與斜線的夾角，為與斜線在底面的射影的夾角，為與底面所成的角，為二面角的平面角，為直線與平面所成的角，為直線與底面所成的角， 為直線與平面所成的角，則（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.證明 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）過作于，連接，則平面，.評注 圖形中二面角的平面角的大小等于，二面角的平面角的大小等于，二面角的平面角的大小等于；直線與平面所成的角為，直線與平面所成的角為，直線與平面所成的角為，直線與平面所成的角為，直線與平面所成的角為.5 鱉臑幾何體模型的應用5.1 2015湖北真題評析圖 9例1 （同1.1 文科試題）解析 （I）因為底面，所以，

8、由底面為長方形，有，而，所以. 而平面，所以. 又因為，點是的中點，所以. 而，所以平面.由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別是,.（II）因為底面，是陽馬的高，又點是的中點，則點到底面的距離為的，圖10由于，所以例2 （同1.2 理科試題）解析 （I）同例1 證明平面.而平面，所以平面平面.而平面平面，所以平面.由平面，平面，可知四面體的四個面都是直角三角形，即四面體是一個鱉臑，其四個面的直角分別為.（II）因為平面，底面，則平面與平面所成二面角的平面角即為與所成的角，不妨設，則，在中, ，故5.2 鱉臑在手，橫掃立體幾何試題鱉臑幾何體不僅覆

9、蓋了立體幾何中點、線、面的各種位置關系，以及各種空間角的計算，又突出了“垂直”這個橫貫立體幾何知識的“紅線”，因此，鱉臑幾何體是探求空間中線線、線面、面面垂直關系的十分重要的基本圖形，也是研究棱錐、棱臺的基本模型。圖11例3 已知在內，于，于，求證：在的平分線上（即）解析 因為，由三垂線定理逆定理知：，因為，所以，則，又因為，所以，故圖12評注 經過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線與這個角兩邊夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個角的平分線所在直線本題圖形中的三棱錐就是鱉臑幾何體，顯然，這個三棱錐中蘊含著棱錐、棱臺的所有要素。例4 （2015新課標I）如圖12，四邊形為菱形，為與交

10、點，平面.(1)證明：平面平面；(2)若，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側面積.解析 (1)因為四邊形為菱形，所以，又平面，所以幾何體是鱉臑，由鱉臑幾何體的垂直關系性質1可知平面,又平面，所以平面平面.(2) 因為，所以，因為三棱錐的體積為，所以鱉臑幾何體的體積為.設,則,，圖13所以的體積為，所以，所以的面積為，的面積與的面積均為.故三棱錐的側面積為.例5 （2015新課標）如圖13，長方體中， ， ，點，分別在上，過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形圖14Q(I)在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；(II)求直線與平面所成角的正弦值.解析 (I)交線圍成的正方形如圖14

11、. (II)如圖14，作于,則，；因為四邊形為正方形,所以，于是，所以.作于，連接，則三棱錐就是鱉臑幾何體，其中就是與平面所成角，設由鱉臑幾何體的性質，則，圖15又，則，故與平面所成角的正弦值為.例6 （2015山東）如圖15，在三棱臺中，分別為，的中點(1)求證：平面；(2)若平面， ，求平面與平面所成的角（銳角）的大小 解析 (1)略.(2)由，分別為，的中點，所以，因為，所以，又平面，所以幾何體是鱉臑幾何體；假設平面與平面所成的角為，則由鱉臑幾何體的性質可知：，又，所以，故平面與平面所成的角（銳角）為6 結束語除此之外，在2015年的高考題中還有很多以鱉臑這一幾何體為背景的立體幾何問題，限于篇幅，忍痛割愛，不再贅述。命題者之所以對鱉臑這一幾何體如此青