8備課資料（242平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角）

1、備課資料一、|a·b|a|b|的應用 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)|a·b|a|b|的坐標表示為x1x2+y1y2(x12+y12)(x22+y22). 不等式(x1x2+y1y2)2(x12+y12)(x22+y22)有著非常廣泛的應用,由此還可以推廣到一般(柯西不等式):(a1b1+a2b2+anbn)2(a1+a2+an)(b1+b2+bn).例1 已知實數(shù)x,y滿足x+y-4=0,則x2+y2的最小值是_;(2)已知實數(shù)x,y滿足(x+2)2+y2=1,則2x-y的最大值是_.解析:(1)令m=(x,y),n=(1,1).|m&

2、#183;n|m|n|,|x+y|,即2(x2+y2)(x+y)2=16.x2+y28,故x2+y2的最小值是8.(2)令m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t.由|m·n|m|n|,得|2(x+2)-y|解得.故所求的最大值是-4.答案:(1)8 (2)-4例2 已知a,bR,(0,),試比較與(a+b)2的大小.解:構(gòu)造向量m=(),n=(cos,sin),由|m·n|m|n|得()2()(cos2+sin2),(a+b)2.同類變式:已知a,bR,m,nR,且mn0,m2n2>a2m2+b2n2,令M=,比較M、N的大小.解:構(gòu)造向量p=(),q=(

3、n,m),由|p·q|p|q|得()2()(m2+n2)=(m2+n2)<m2+n2,M>N.例3 設(shè)a,bR,A=(x,y)|x=n,y=na+b,nZ,B=(x,y)|x=m,y=3m2+15,mZ,C=(x,y)|x2+y2144是直角坐標平面xOy內(nèi)的點集,討論是否存在a和b,使得AB=與(a,b)C能同時成立.解:此問題等價于探求a、b是否存在的問題,它滿足設(shè)存在a和b滿足兩式,構(gòu)造向量m=(a,b),n=(n,1).由|m·n|2|m|2|n|2得(na+b)2(n2+1)(a2+b2),(3n2+15)2144(n2+1)n4-6n2+90.解得n

4、=±,這與nZ矛盾,故不存在a和b滿足條件.二、備用習題1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且a·b=,則x等于（ ）A.3 B. C. D.-32.設(shè)a=(1,2),b=(1,m),若a與b的夾角為鈍角,則m的取值范圍是（ ）A.m> B.m< C.m> D.m<3.若a=(cos,sin),b=(cos,sin),則（ ）A.ab B.ab C.(a+b)(a-b) D.(a+b)(a-b)4.與a=(u,v)垂直的單位向量是（ ）A.()B.()C.()D.()或()5.已知向量a=(cos23°,cos67°),b=

5、(cos68°,cos22°),u=a+tb(tR),求u的模的最小值.6.已知a,b都是非零向量,且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,求a與b的夾角.7.已知ABC的三個頂點為A(1,1),B(3,1),C(4,5),求ABC的面積.參考答案:1.C 2.D 3.C 4.D5.|a|=1,同理有|b|=1.又a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=|u|2=(a+tb)2

6、=a2+2ta·b+t2b2=t2+t+1=(t+)2+.當t=時,|u|min=.6.由已知(a+3b)(7a-5b)(a+3b）·(7a-5b)=07a2+16a·b-15b2=0. 又(a-4b)(7a-2b)(a-4b)·(7a-2b)=07a2-30a·b+8b2=0. -得46a·b=23b2,即a·b= 將代入,可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a|2=|b|2,有|a|=|b|,若記a與b的夾角為,則cos=.又0°,180°,=60°,即a與b的夾角為60°.7.分析:SABC=|sinBAC,而|,|易求,要求sinBAC可先求出cosBAC.解:=(2,1),=(3,4),|=2,|=5,cosBAC=.sinBAC=.SABC=|sinBAC=×2×5×=4.三、新教材新教法的二十四個“化”字訣新課導入新穎化,揭示概念美麗化;縱橫相聯(lián)過程化,探索討論熱烈化;探究例題多變化,引導思路發(fā)散化;學生活動主體化,一石激浪點撥化;大膽猜想多樣化,論證應用規(guī)律化;變式訓練探究化,課堂教學藝術(shù)