《一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系》（數(shù)學(xué)人教九上）

1、?一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系?教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析: 本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程求根公式的根底上 ,對(duì)一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行再探究 ,通過本課的學(xué)習(xí) ,使學(xué)生進(jìn)一步了解一元二次方程兩根之和、兩根之積與一元二次方程中系數(shù)之間的關(guān)系教學(xué)目標(biāo)：【知識(shí)與能力目標(biāo)】1.掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；2.能運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解決具體問題.【過程與方法】經(jīng)歷探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的過程,體驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)猜測(cè)驗(yàn)證的思維轉(zhuǎn)化過程 ,培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過觀察、歸納獲得數(shù)學(xué)猜測(cè) ,體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索性和創(chuàng)造性 ,理解事物間相互聯(lián)系、相互制約的辯證唯物

2、主義觀點(diǎn) ,掌握由“特殊一般特殊的數(shù)學(xué)思想方法 ,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神.教學(xué)重難點(diǎn)：【教學(xué)重點(diǎn)】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】探索一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.課前準(zhǔn)備：多媒體教學(xué)過程：問題1：1一元二次方程的一般形式是什么？2一元二次方程有實(shí)數(shù)根的條件是什么？3當(dāng)>0 ,0 ,<0時(shí) ,一元二次方程根的情況如何？4一元二次方程的求根公式是什么？師生活動(dòng)教師指導(dǎo)學(xué)生回憶知識(shí) ,學(xué)生進(jìn)行口答 ,教師指出重點(diǎn)答1一元二次方程一般形式為ax2+bx+c=0(a0)；（2） 當(dāng)0時(shí) ,一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（3） 當(dāng)0時(shí) ,一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)=0時(shí) ,一元

3、二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根；當(dāng)0時(shí) ,一元二次方程沒有實(shí)根；（4） 方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式為0. 【設(shè)計(jì)意圖】通過對(duì)一元二次方程相關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)穩(wěn)固舊知識(shí) ,并為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做鋪墊。問題2：請(qǐng)完成下面的表格觀察、思考表格中方程兩根之和與兩根之積與系數(shù)有何關(guān)系 ,你能從中發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你有什么發(fā)現(xiàn)？【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過計(jì)算、觀察、分析 ,發(fā)現(xiàn)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系 ,開展學(xué)生的感性認(rèn)識(shí) ,體會(huì)由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程。問題3：1填寫上表后思考：運(yùn)用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律 ,你能解答以下問題嗎？方程x2-4x-7=0的根為x1,x2 ,那么x1+x2= , x1·x2= ;方程

4、x2+3x-5=0的兩根為x1,x2 ,那么x1+x2= , x1·x2= .方程2x23x20的兩根分別是x1和x2 ,那么x1+x2= , x1·x2= .答案4 ,-7；-3 ,-5； ,-1.如果方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2,你知道x1+x2和x1·x2與方程系數(shù)之間的關(guān)系嗎？答復(fù)假設(shè)方程ax2bxc0(a0)的兩個(gè)根分別為x1和x2 ,那么x1x2 ,x1x2.如何證明以上發(fā)現(xiàn)的規(guī)律呢？ 論證結(jié)論教師與學(xué)生共同整理證明過程：證明：當(dāng)>0時(shí) ,由求根公式得x1 ,x2 ,所以x1x2 , x1x2·；當(dāng)0時(shí) ,x1x2.所以x

5、1x2 ,x1x2.歸納并板書根與系數(shù)關(guān)系：假設(shè)方程ax2bxc0(a0)的兩個(gè)根分別為x1和x2 ,那么x1x2 ,x1x2.文字表達(dá)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為：兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù) ,兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步分析、驗(yàn)證所發(fā)現(xiàn)的根與系數(shù)的關(guān)系 ,為從感性到理性打好根底通過設(shè)置問題2使學(xué)生明確利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算需要滿足0.探究根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論 ,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。問題4：例1根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 ,求以下方程的兩個(gè)根x1 ,x2的和與積(1)x26x150；(2)3x27x90；(3)5x1

6、4x2.師生活動(dòng)學(xué)生自主進(jìn)行解答 ,教師做好評(píng)價(jià)和總結(jié)注意把一元二次方程整理為一般形式 ,確定a ,b ,c的值 ,比擬b24ac與0的大小 ,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求值解1x1+x2=6 ,x1·x2=-15；（2） x1+x2= ,x1·x2=；（3） 方程化為4x2-5x+1=0 ,x1+x2= ,x1·x2=.變式練習(xí)1x1 ,x2是一元二次方程x24x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ,那么x1x2等于(C)A 4B1C1D4變式練習(xí)2假設(shè)x1 ,x2為方程x22x10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ,求x1x2x1x2的值解由根與系數(shù)關(guān)系得 ,x1+x2=2 ,x1·x2

7、=-1 ,x1x2x1x2=2-1=3.【設(shè)計(jì)意圖】問題的設(shè)置是針對(duì)本課時(shí)的重點(diǎn)所學(xué)進(jìn)行及時(shí)穩(wěn)固 ,也是培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力和熟記公式的關(guān)鍵。問題5：例2 方程x2-x+c=0的一根為3,求方程的另一根及c的值.分析設(shè)方程的另一根為x1 ,可通過求兩根之和求出x1的值；再用兩根之積求c ,也可將x=3代入方程求出c值.再利用根與系數(shù)關(guān)系求x1值.解設(shè)方程另一根為x1 ,由x1+3=1,x1=-2.又x1·3=-2×3=c,c=-6.例3方程x2-5x-7=0的兩根分別為x1,x2 ,求以下式子的值：1x12+x22; 2 .分析將所求代數(shù)式分別化為只含有x1+x2和x1

8、3;x2的式子后 ,用根與系數(shù)的關(guān)系 ,可求其值.解方程x2-5x-7=0的兩根為x1,x2,x1+x2=5,x1·x2=-7.(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=52-2×(-7)=25+14=39;(2) = 【設(shè)計(jì)意圖】例2側(cè)重于逆用根與系數(shù)關(guān)系 ,應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確思考；而例3側(cè)重于利用根與系數(shù)的關(guān)系 ,進(jìn)行代數(shù)式求值 ,這里將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有x1+x2及x1·x2的式子是解決問題的關(guān)鍵 ,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這類變形方法.教學(xué)過程中仍應(yīng)讓學(xué)生先自主探究 ,獨(dú)立完成 ,最后教師再予以評(píng)講 ,讓學(xué)生理解并掌握根與系數(shù)的關(guān)系；對(duì)于學(xué)

9、生在探索過程中的成績和問題也給予評(píng)析 ,進(jìn)行反思。問題6：例4x1 ,x2是方程x2-6x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ,且x12·x22-x1-x2=115 ,1求k的取值；2求x12+x22-8的值.分析將x1+x2=6 ,x1·x2=k ,代入x12·x22-x1-x2=115可求出k值.此時(shí)需用=b2-4ac來判斷k的取值 ,這是本例的關(guān)鍵.解1由題意有x1+x2=6,x1·x2=k.x12·x22-x1-x2=(x1·x2)2-(x1+x2)=k2-6=115,k=11或k=-11.又方程x2-6x+k=0有實(shí)數(shù)解 ,=(-6)2-

10、4k0,k9.k=11不合題意應(yīng)舍去 ,故k的值為-11;(2)由(1)知 ,x1+x2=6,x1·x2=-11,x12+x22-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置本例的目的在于引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式之間的不可分割的特征.教學(xué)時(shí)應(yīng)予以強(qiáng)調(diào)。問題6 . 1課堂總結(jié)：(1)本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？學(xué)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)思想和方法？(2)本節(jié)課還有哪些疑惑？說一說！2布置作業(yè)：教材第17頁習(xí)題21.2第7題3.知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：教學(xué)反思：1.從熟知的解法解一元二次方程的過程中探索根與系數(shù)的關(guān)系 ,并發(fā)現(xiàn)可用系數(shù)表示的求根公式來證明這個(gè)關(guān)系 ,再通過問題探討幫助學(xué)生運(yùn)用這個(gè)關(guān)系解決問題 ,注重了知識(shí)產(chǎn)生、開展和出現(xiàn)的過程 ,注重了知識(shí)的應(yīng)用.2.教學(xué)過程貫穿以舊引新 ,從具體到