（參考）《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》教學(xué)案例

1、案例1在數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣提高學(xué)生提出問(wèn)題的能力教學(xué)案例及分析1 教材分析  “正弦定理”是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)(必修)數(shù)學(xué)第一冊(cè)(下)的第五章第九節(jié)的主要內(nèi)容之一，既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。本次課是“正弦定理”教學(xué)的第一節(jié)課，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)了解、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐操

2、作能力，以及提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力。為什么要解斜三角形?解斜三角形必須要用正弦定理和余弦定理嗎?正弦定理和余弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的?其證明方法是怎樣想到的?還有別的證法嗎?這些都是教材沒(méi)有回答，而確實(shí)又是學(xué)生所關(guān)心的問(wèn)題。2 設(shè)計(jì)思路為了回答上述問(wèn)題我想到了“情境一問(wèn)題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ)，提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境一問(wèn)題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程。根據(jù)上述精神，筆者具體做出了如下設(shè)計(jì):創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景;啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提

3、出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，逐步將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象成過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決過(guò)渡性問(wèn)題時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過(guò)渡性問(wèn)題引伸成一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題:己知三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊.解決這兩個(gè)問(wèn)題需要先回答目標(biāo)問(wèn)題:三角形中兩邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系?為了解決提出的目標(biāo)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問(wèn)題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生使用計(jì)算器對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。證明時(shí)，關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生明確

4、如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，同時(shí)將3項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為只有2項(xiàng)的關(guān)系式，以揭示引入單位向量和使用向量的數(shù)量積運(yùn)算的合理性。由學(xué)生獨(dú)立使用己證明的結(jié)論去解決中所提出的問(wèn)題。3 教學(xué)過(guò)程一、設(shè)置情境利用投影展示:如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d=1km。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來(lái)之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)岸的碼頭B處或其下游1 km的碼頭C處。己知船在靜水中的速度| |=5km/h，水流速度| |=3km/h.     二、提出問(wèn)題 師:為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)身處地地考慮一下有關(guān)的問(wèn)題，將各自的問(wèn)題經(jīng)小組(

5、前后4人為一小組)匯總整理后交給我。待各小組將題紙交給老師后，老師篩選了幾張有代表性的題紙通過(guò)投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的5個(gè)問(wèn)題:(1)船應(yīng)開(kāi)往B處還是C處?(2)船從A開(kāi)到B, C分別需要多少時(shí)間?(3)船從A到B, C的距離分別是多少?(4)船從A到B, C時(shí)的速度大小分別是多少?(5)船應(yīng)向什么方向開(kāi)，才能保證沿直線到達(dá)B, C?師:大家討論一下，應(yīng)該怎樣解決上述問(wèn)題?大家經(jīng)過(guò)討論達(dá)成如下共識(shí):要回答問(wèn)題(1)，需要解決問(wèn)題(2)，要解決問(wèn)題(2)，需要先解決問(wèn)題(3)和(4)，問(wèn)題(3)用直角三角形知識(shí)可解，所以重點(diǎn)是解決問(wèn)題(4)，問(wèn)題(4)與問(wèn)題(5)是2個(gè)相關(guān)問(wèn)題

6、，因此，解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是解決問(wèn)題(4)和(5)。師:請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問(wèn)題對(duì)應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。  生1:船從A開(kāi)往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，可求得船在河水中的速度大小|v|及 與 的夾角 :  生2:船從A開(kāi)往C的情況如圖3, , ,易求得 它們的角度都為 ，還需求及v。我不知道怎樣解這兩個(gè)問(wèn)題，因?yàn)橐郧皬奈唇膺^(guò)類(lèi)似的問(wèn)題。師:請(qǐng)大家想一下，這兩個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么?部分學(xué)生:在三角形中，己知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。   

7、; 師:請(qǐng)大家討論一下，如何解決這兩個(gè)問(wèn)題?    生3:在己知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對(duì)角這4個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系，則可以解決上述問(wèn)題，求出另一邊的對(duì)角。生4:如果另一邊的對(duì)角已經(jīng)求出，那么第三個(gè)角也能夠求出.只要能知道三角形中兩條邊與其對(duì)角這4個(gè)元素的數(shù)量關(guān)系，則第三邊也可求出。生5:在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個(gè)角這4個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系，也能求出第三邊和另一邊的對(duì)角。    師:同學(xué)們的設(shè)想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對(duì)角間的數(shù)量關(guān)系，或者三條邊與一個(gè)角間的數(shù)量關(guān)系，則兩個(gè)問(wèn)題都能夠順利解決。下

8、面我們先來(lái)解答問(wèn)題:三角形中，任意兩邊與其對(duì)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系? 三、解決問(wèn)題師:請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí)，是怎樣處理的?眾學(xué)生:先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。   圖4直角三角形    師:如圖4，請(qǐng)各小組研究在 中，任意2邊及其對(duì)個(gè)元素間有什么關(guān)系?多數(shù)小組很快得出結(jié)論:師: ,在非   中是否成立?眾學(xué)生:不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)。若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論;若都成立，則說(shuō)明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。&

9、#160;   師:這是個(gè)好主意。請(qǐng)每個(gè)小組任意做出一個(gè)非，用量角器和刻度尺量出各邊的長(zhǎng)和各角的大小，用計(jì)算器作為計(jì)算工具，具體檢驗(yàn)一下，然后報(bào)告檢驗(yàn)結(jié)果。幾分鐘后，多數(shù)小組報(bào)告結(jié)論成立，只有個(gè)別小組因測(cè)量和計(jì)算誤差，得出否定的結(jié)論。教師在引導(dǎo)學(xué)生找出失誤的原因后指出:此關(guān)系式在任意ABC中都能成立，請(qǐng)大家先考慮一下證明思路。生6:想法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問(wèn)題進(jìn)行解決。生7:因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)先找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系。師:在三角形中有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢?學(xué)生七嘴八舌地說(shuō)出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系

10、可能有利用價(jià)值:三角形的面積不變;三角形同一邊上的高不變;三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學(xué)生分別利用這3種關(guān)系作為基礎(chǔ)得出了如下3種證法:      圖5 非直角三角形圖6 直角三角形證法一:  證法二:  證法三:  師:據(jù)我所知， 從出發(fā)，也能證得結(jié)論，請(qǐng)大家討論一下。  生8:要想辦法將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。生9:利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。生10:還要想辦法將有三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。生11:因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮選一個(gè)與

11、三個(gè)向量中的一個(gè)向量(如向量AC)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數(shù)量積。師:請(qǐng)大家具體試一下，看還有什么問(wèn)題?眾學(xué)生:向量 與AB, CB的夾角與ABC是銳角三角形還是鈍角三角形有關(guān)，所以應(yīng)分兩類(lèi)情況分別證明。教師讓學(xué)生通過(guò)小組合作完成了如下證明。   證法四: 四、反思應(yīng)用師:同學(xué)們通過(guò)自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對(duì)角的關(guān)系，請(qǐng)大家考慮一下，正弦定理能夠解決哪些問(wèn)題?眾生:知三求一，即已知三角形的兩邊與一邊的對(duì)角，可求另一邊的對(duì)角;已知三角形的兩角與一角的對(duì)邊，可求另一角的對(duì)邊;已知三角形中兩邊與它們的對(duì)角4個(gè)

12、元素中的兩個(gè)元素，可研究另外兩個(gè)元素的關(guān)系。師:請(qǐng)同學(xué)們用正弦定理解決本節(jié)課開(kāi)始時(shí)大家提出的問(wèn)題。4 教學(xué)反思本課中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、應(yīng)用反思的過(guò)程，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè)，知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)。為今后的“定理教學(xué)”提供了一些有用的借鑒。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是“情境一問(wèn)題”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對(duì)學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識(shí)水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮，對(duì)可用的情境進(jìn)行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。從應(yīng)用需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突型數(shù)學(xué)情境，是創(chuàng)設(shè)情境的常用方法

13、之一?！罢叶ɡ怼本哂袕V泛的應(yīng)用價(jià)值，故本課中從應(yīng)用需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)了教學(xué)中所使用的數(shù)學(xué)情境。在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，筆者曾考慮以“直角三角形”作為情境，考慮到學(xué)生據(jù)此不易形成目標(biāo)問(wèn)題，而且問(wèn)題缺乏向量背景，不容易想到用向量方法解決問(wèn)題，故未采用這個(gè)方案。“情境一問(wèn)題”教學(xué)模式主張以問(wèn)題為“紅線”組織教學(xué)活動(dòng)，以學(xué)生作為提出問(wèn)題的主體。如何引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對(duì)提問(wèn)的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境，而且要真正轉(zhuǎn)變對(duì)學(xué)生提問(wèn)的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面

14、要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出問(wèn)題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問(wèn)題。要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提的問(wèn)題進(jìn)行分析、整理，篩選出有價(jià)值的問(wèn)題，注意啟發(fā)學(xué)生揭示問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將提問(wèn)引向深入。本課中，在教師的啟導(dǎo)下，學(xué)生首先提出的問(wèn)題是:船應(yīng)開(kāi)往B處還是C處?答案取決于船從A到達(dá)B, C的時(shí)間;船從A到達(dá)B, C的時(shí)間，又取決于船從A到達(dá)B, C的距離和船的速度的大小;而船能否到達(dá)B, C，又取決于船的航向.這些都是具有實(shí)際意義的問(wèn)題，去掉問(wèn)題的實(shí)際意義得出過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題，抓住過(guò)渡性問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將其上升為一般性數(shù)學(xué)問(wèn)題，即目標(biāo)問(wèn)題。學(xué)生還提出了一個(gè)超前性問(wèn)題:三角形中3條邊與一個(gè)角之間有什么關(guān)系?這是筆者在設(shè)計(jì)教案

15、時(shí)未想到的，筆者除了對(duì)提出此問(wèn)題的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)和肯定外，還要求同學(xué)們課后認(rèn)真研究這個(gè)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題己經(jīng)自然地成為教學(xué)“余弦定理”的情境。使用計(jì)算器處理復(fù)雜、煩瑣的數(shù)字運(yùn)算是新教材的一個(gè)重要特點(diǎn)。本課中通過(guò)使用計(jì)算器，使“正弦定理在非直角三角形中是否成立”的探究性試驗(yàn)成為可能。這說(shuō)明計(jì)算器在探索、檢驗(yàn)規(guī)律方面也能發(fā)揮重要作用。在啟導(dǎo)學(xué)生證明正弦定理時(shí)，筆者沒(méi)有限制學(xué)生的思路，使學(xué)生通過(guò)自己的努力發(fā)現(xiàn)了多種證法，其中每一種證法都比教材上給出的證法要簡(jiǎn)單。但沒(méi)有能夠自然地啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和選擇向量方法，是一個(gè)遺憾。案例一 三角函數(shù)中的結(jié)構(gòu)思想§ 定義：任意角a與單位圓的交點(diǎn)為P(x，y)

16、，則x=cosa ，y=sin a，對(duì)應(yīng)關(guān)系明確，函數(shù)的意義直觀而具體；§ 三角函數(shù)性質(zhì)：正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)（主要是對(duì)稱(chēng)性）的解析表述，例如（1）P(x，y)在單位圓上|x|1，|y|1，即正弦、余弦函數(shù)的值域?yàn)?，1；（2）|OP|2=sin2a+cos2a=1；（3）對(duì)于圓心的中心對(duì)稱(chēng)性 sin(+a)=sina，cos(+a)=cosa；（4）對(duì)于x軸的軸對(duì)稱(chēng)性 sin(a)=sina，cos(a)=cosa；（5）對(duì)于y軸的軸對(duì)稱(chēng)性 sin(a)=sina，cos(a)=cosa；（6）對(duì)于直線y=x的軸對(duì)稱(chēng)性 sin( a)=cosa，cos( a)=

17、sina；7）sina的單調(diào)性 a： 0 y： 1 0 1 0 1（8）圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性：和（差）角公式 圓的反射對(duì)稱(chēng)性：和（差）化積公式案例五 教學(xué)目標(biāo)的陳述例1 掌握一元二次方程根的判別式。 對(duì)“掌握”的內(nèi)涵作具體界定。重要概念要考慮作適當(dāng)分解： （1）在用配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式的過(guò)程中，掌握判別式的結(jié)構(gòu)和作用； （2）能用判別式判斷一個(gè)一元二次方程是否有解； （3）能用判別式討論一個(gè)含字母系數(shù)的一元二次方程的解； （4）能靈活應(yīng)用判別式解決其他情境中的問(wèn)題。例2 理解函數(shù)單調(diào)性概念。 這一陳述中，需要對(duì)“理解”的含義作具體界定，以使我們能準(zhǔn)確把握學(xué)生是否已經(jīng)達(dá)到“理解”。實(shí)際上，“

18、理解”的基本含義是學(xué)生能用概念作出判斷。因此可以改述為： 能給出增函數(shù)、減函數(shù)的具體例證和圖象特征；能用函數(shù)單調(diào)性定義判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性。 案例六 “不等式基本性質(zhì)”中的提問(wèn)§ 不等式基本性質(zhì)的研究可以通過(guò)類(lèi)比等式的基本性質(zhì)而得到啟發(fā)。§ 你能回憶一下等式的基本性質(zhì)嗎？§ 考察等式的基本性質(zhì)的基本思想是什么？（“運(yùn)算中的不變性”）§ 類(lèi)似的，不等式有哪些基本性質(zhì)呢？案例七 正、余弦定理的推導(dǎo)§ 三角形有各種幾何量，如三邊長(zhǎng)、三個(gè)內(nèi)角的角度、面積、外經(jīng)、內(nèi)徑等。“解三角形”就是給定三角形的若干幾何量，求其余幾何量。你認(rèn)為至少給定幾個(gè)量就可以求出

19、其余量？（從定性到定量）§ 特殊化：解直角三角形（利用勾股定理、兩個(gè)銳角互余、銳角三角函數(shù)等）。§ 推廣：能否將上述結(jié)論推廣到一般三角形？§ 在已有結(jié)果的基礎(chǔ)上，探索新的證明方法，如：§ 三角形面積與正弦定理§ 垂直投影與余弦定理§ 用余弦定理推導(dǎo)正弦定理§ 借助于外接圓證明正弦定理§ 案例八 平行線分線段成比例定理的概括§ 先行組織者：研究平行線的性質(zhì)，就是探究在一組直線平行的條件下可以得出哪些結(jié)論。§ 特例1 一組等距平行線截另一組平行直線，結(jié)果如何？§ 特例2 一組等距平行線截另

20、一組任意直線，結(jié)果如何？平行線等分線段定理、三角形和梯形的中位線定理。§ 特例3 已知距離的不等距平行線截另一組直線，結(jié)果如何？§ 平行線分線段成比例定理。高中數(shù)學(xué)情境教學(xué)案例簡(jiǎn)析情境教學(xué)，即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程?！罢叶ɡ怼笔侨罩破胀ǜ呒?jí)中學(xué)教科書(shū)(試驗(yàn)修訂本)數(shù)學(xué)第一冊(cè)(下)的教學(xué)內(nèi)容之一，既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延伸，也是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，因此具有廣泛的

21、應(yīng)用價(jià)值。 本次課的主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，我們希望通過(guò)本課題探索情境教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用方法和效果。一、教學(xué)設(shè)計(jì)1、創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景；2、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，逐步將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象成過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決過(guò)渡性問(wèn)題時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過(guò)渡性問(wèn)題引伸成一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊。解決這兩個(gè)問(wèn)題需要先回答目標(biāo)問(wèn)題：在三角形中，兩邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系？3、為了解決提出的目標(biāo)問(wèn)

22、題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問(wèn)題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證。二、教學(xué)過(guò)程1、設(shè)置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬d=1km，因上游突發(fā)洪水，在洪峰到來(lái)之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及人員用船轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)岸的碼頭B處或其下游1 km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度vl= 5 kmh，水流速度v2=3 kmh。 B C A 圖12、提出問(wèn)題師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)身處地地考慮一下有關(guān)的問(wèn)題，將各自的問(wèn)題經(jīng)小組(前后4人為一小組)匯總整理后交給我。待各小組將題紙交給老師后，老師篩選幾張有代表性的題紙通過(guò)投影向全班展示，

23、經(jīng)大家歸納整理后得到如下的5個(gè)問(wèn)題： (l)船應(yīng)開(kāi)往B處還是C處？ (2)船從A開(kāi)到B、C分別需要多少時(shí)間？ (3)船從A到B、C的距離分別是多少？ (4)船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？ (5)船應(yīng)向什么方向開(kāi)，才能保證沿直線到達(dá)B、C？師：大家討論一下，應(yīng)該怎樣解決上述問(wèn)題？大家經(jīng)過(guò)討論達(dá)成如下共識(shí)：要回答問(wèn)題(l)，需要解決問(wèn)題(2)，要解決問(wèn)題(2)，需要先解決問(wèn)題(3)和(4)，問(wèn)題(3)用直角三角形知識(shí)可解，所以重點(diǎn)是解決問(wèn)題(4)，問(wèn)題(4)與問(wèn)題(5)是兩個(gè)相關(guān)問(wèn)題，因此，解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是解決問(wèn)題(4)和(5)。師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問(wèn)題對(duì)

24、應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。生：船從A開(kāi)往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，可求得船在河水中的速度大小v及vl與v2的夾角：生：船從A開(kāi)往C的情況如圖3，AD=v1= 5，DE=AF=v2=3，易求得AED = EAF = 450，還需求及v。我不知道怎樣解這兩個(gè)問(wèn)題，因?yàn)橐郧皬奈唇膺^(guò)類(lèi)似的問(wèn)題。 B C B CD E D E v1 v v1 v A v2 F A v2 F 圖2 圖3師：請(qǐng)大家想一下，這兩個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。師：請(qǐng)大家討論一下，如何解決這兩個(gè)問(wèn)題？生：在已知條

25、件下，若能知道三角形中兩條邊與其對(duì)角這4個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系，則可以解決上述問(wèn)題，求出另一邊的對(duì)角。生：如果另一邊的對(duì)角已經(jīng)求出，那么第三個(gè)角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對(duì)角這4個(gè)元素的數(shù)量關(guān)系，則第三邊也可求出。生：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個(gè)角這4個(gè)元素之間的數(shù)量關(guān)系，也能求出第三邊和另一邊的對(duì)角。師：同學(xué)們的設(shè)想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對(duì)角間的數(shù)量關(guān)系，或者三條邊與一個(gè)角間的數(shù)量關(guān)系，則兩個(gè)問(wèn)題都能夠順利解決。下面我們先來(lái)解答問(wèn)題：三角形中，任意兩邊與其對(duì)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？3、解決問(wèn)題師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí)，是怎樣處理

26、的？眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。師：請(qǐng)各小組研究在RtABC中，任意兩邊及其對(duì)角這4個(gè)元素間有什么關(guān)系？多數(shù)小組很快得出結(jié)論：asinA = bsinB = csinC。師：asinA = bsinB = csinC在非RtABc中是否成立？眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)。若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論；若都成立，則說(shuō)明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。師：這是個(gè)好主意。請(qǐng)每個(gè)小組任意做出一個(gè)非RtABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長(zhǎng)和各角的大小，用計(jì)算器作為計(jì)算工具，具體檢驗(yàn)一下，然后報(bào)告檢驗(yàn)結(jié)果。幾分鐘后

27、，多數(shù)小組報(bào)告結(jié)論成立，只有一個(gè)小組因測(cè)量和計(jì)算誤差，得出否定的結(jié)論。教師在引導(dǎo)學(xué)生找出失誤的原因后指出：此關(guān)系式在任意ABC中都能成立，請(qǐng)大家先考慮一下證明思路。生：想法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問(wèn)題進(jìn)行解決。生：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)先找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系。師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？學(xué)生七嘴八舌地說(shuō)出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值：1、三角形的面積不變；2、三角形同一邊上的高不變；3、三角形外接圓直徑不變。師：據(jù)我所知，從AC+CB=AB出發(fā)，也能證得結(jié)論，請(qǐng)大家討論一下。生：要想辦法將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成

28、數(shù)量關(guān)系。生：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。生：還要想辦法將有三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。生：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮選一個(gè)與三個(gè)向量中的一個(gè)向量(如向量AC)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數(shù)量積。師：同學(xué)們通過(guò)自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對(duì)角的關(guān)系，請(qǐng)大家留意身邊的事例，正弦定理能夠解決哪些問(wèn)題。三、教學(xué)總結(jié)在本課的教學(xué)中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、應(yīng)用反思的過(guò)程，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè)，知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)

29、均得到了較好的落實(shí)。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是這種教學(xué)模式的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對(duì)學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識(shí)水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮，對(duì)可用的情境進(jìn)行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學(xué)模式主張以問(wèn)題為連線組織教學(xué)活動(dòng)，以學(xué)生作為提出問(wèn)題的主體，因此，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對(duì)提問(wèn)的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境，而且要真正轉(zhuǎn)變對(duì)學(xué)生提問(wèn)的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地提出問(wèn)題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問(wèn)題。教師還要積

30、極引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所提的問(wèn)題進(jìn)行分析、整理，篩選出有價(jià)值的問(wèn)題，注意啟發(fā)學(xué)生揭示問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將提問(wèn)引向深入。正弦定理教學(xué)案例一、教學(xué)內(nèi)容： 本節(jié)課主要通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)猜想發(fā)現(xiàn)正弦定理，并從理論上加以證明，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。 二、教材分析： 1、教材地位與作用：本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū).數(shù)學(xué)必修5第一章中，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識(shí)之后安排的，顯然是對(duì)三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，而定理本身的應(yīng)用（定理應(yīng)用放在下一節(jié)專(zhuān)門(mén)研究）又十分廣泛，因此做好該節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生通過(guò)對(duì)任意三角形中正弦定理的探

31、索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“類(lèi)比-猜想-證明”的科學(xué)研究問(wèn)題的思路和方法，體會(huì)由“定性研究到定量研究”這種數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題和研究問(wèn)題的思想，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。 2、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)是正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明；難點(diǎn)是三角形外接圓法證明。 三、教學(xué)目標(biāo)： 1、知識(shí)目標(biāo)： 掌握正弦定理，理解證明過(guò)程。 2、能力目標(biāo)： （1）通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。 （2）增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和數(shù)學(xué)交流能力。 （3）發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀： （1）通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探

32、索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 （2）通過(guò)實(shí)例的社會(huì)意義，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情感和為祖國(guó)努力學(xué)習(xí)的責(zé)任心。 四、教學(xué)設(shè)想： 本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過(guò)程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立自主和合作交流為前提，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”為基本探究?jī)?nèi)容，以周?chē)澜绾蜕顚?shí)際為參照對(duì)象，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，將自己所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于對(duì)任意三角形性質(zhì)的深入探討。讓學(xué)生在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。設(shè)計(jì)思路如下： 五、教學(xué)過(guò)程： （一

33、）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景 課前放映一些有關(guān)軍事題材的圖片，并在課首給出引例：一天，我核潛艇A正在某海域執(zhí)行巡邏任務(wù)，突然發(fā)現(xiàn)其正東處有一敵艇B正以30海里/小時(shí)的速度朝北偏西40°方向航行。經(jīng)研究，決定向其發(fā)射魚(yú)雷給以威懾性打擊。已知魚(yú)雷的速度為60海里/小時(shí)，問(wèn)怎樣確定發(fā)射角度可擊中敵艦？設(shè)計(jì)一個(gè)學(xué)生比較感興趣的實(shí)際問(wèn)題，吸引學(xué)生注意力，使其立刻進(jìn)入到研究者的角色中來(lái)！（二）啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。 用幾何畫(huà)板模擬演示魚(yú)雷及敵艦行蹤,在探討?hù)~(yú)雷發(fā)射角度的過(guò)程中，抽象出一個(gè)解三角形問(wèn)題： 1、考察角A的范圍，回憶“大邊對(duì)大角”的性質(zhì) 2、讓學(xué)生猜測(cè)角A的準(zhǔn)確角度，由AC=2B

34、C,從而B(niǎo)=2A從而抽象出一個(gè)雛形: 3、測(cè)量角A的實(shí)際角度,與猜測(cè)有誤差,從而產(chǎn)生矛盾:定性研究如何轉(zhuǎn)化為定量研究?4、進(jìn)一步修正雛形中的公式,啟發(fā)學(xué)生大膽想象: 以及等 直覺(jué)先行,思辨引路,在矛盾沖突中引發(fā)學(xué)生積極的思維!（三）引導(dǎo)學(xué)生用“特例到一般”的研究方法，猜想數(shù)學(xué)規(guī)律。 提出問(wèn)題:1、如何對(duì)以上等式進(jìn)行檢驗(yàn)?zāi)?激發(fā)學(xué)生思維，從自身熟悉的特例（直角三角形）入手進(jìn)行研究，篩選出能成立的等式（）。 2、那這一結(jié)論對(duì)任意三角形都適用嗎？指導(dǎo)學(xué)生用刻度尺、圓規(guī)、計(jì)算器等工具對(duì)一般三角形進(jìn)行驗(yàn)證。 3、讓學(xué)生總結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得出猜想： 在三角形中，角與所對(duì)的邊滿足關(guān)系“特例類(lèi)比猜想”是一種常用的科學(xué)的研究思路！（四）讓學(xué)生進(jìn)行各種嘗試，探尋理論證明的方法。 提出問(wèn)題:1、如何把猜想變成定理呢？使學(xué)生注意到猜想和定理的區(qū)別，強(qiáng)化學(xué)生思維的嚴(yán)密性。 2、怎樣進(jìn)行理論證明呢？培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為熟悉的直角三角形進(jìn)行證明。 3、你能找出它們的比值嗎？借以檢驗(yàn)學(xué)生是