大學(xué)物理第5章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)ppt課件

1、第第5 5章章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 剛體剛體回顧與對(duì)比回顧與對(duì)比質(zhì)量質(zhì)量m轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量zJ速度速度v角速度角速度加速度加速度a角加速度角加速度力矩力矩力力FM牛頓運(yùn)牛頓運(yùn)動(dòng)定律動(dòng)定律amdtvmdF)(轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律zzzJdtJdM)(動(dòng)能動(dòng)能221mvEK動(dòng)能動(dòng)能221zKJE 動(dòng)能定理動(dòng)能定理KbaEsdFA動(dòng)能定理動(dòng)能定理KbaEdMA動(dòng)量定理動(dòng)量定理PdtFtt0動(dòng)量動(dòng)量vmP動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒0, 0PF角動(dòng)量角動(dòng)量角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理質(zhì)量質(zhì)量m轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量zJzJL zttzLdtM0角動(dòng)量角動(dòng)量守恒守恒0, 0LM牛頓運(yùn)牛頓運(yùn)動(dòng)定律動(dòng)定律amdtvm

2、dF)(轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律zzzJdtJdM)(動(dòng)能動(dòng)能221mvEK動(dòng)能動(dòng)能221zKJE 動(dòng)能定理動(dòng)能定理KbaEsdFA動(dòng)能定理動(dòng)能定理KbaEdMA 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 剛體剛體回顧與對(duì)比回顧與對(duì)比可以解決剛體的一般運(yùn)動(dòng)平動(dòng)加轉(zhuǎn)動(dòng)）可以解決剛體的一般運(yùn)動(dòng)平動(dòng)加轉(zhuǎn)動(dòng)）基本方法：基本方法： 質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)定理 加加 剛體特性剛體特性剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理平動(dòng)：動(dòng)量定理平動(dòng)：動(dòng)量定理cFma 一、一般運(yùn)動(dòng)一、一般運(yùn)動(dòng) 二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 三、解決剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法三、解決剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法1. 1. 剛體剛體特殊的質(zhì)點(diǎn)

3、系，特殊的質(zhì)點(diǎn)系， 理想化模型理想化模型形狀和體積不變化形狀和體積不變化在力作用下，組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變?cè)诹ψ饔孟?，組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變2. 2. 自由度自由度確定物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)確定物體的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù) 物體的自由度數(shù)物體的自由度數(shù)sOi = 1xyzO( x , y , z )i = 3i = 2xyzOi = 3+2+1= 6 當(dāng)剛體受到某些限制當(dāng)剛體受到某些限制 自由度減少自由度減少一、一般運(yùn)動(dòng)一、一般運(yùn)動(dòng)3. 一般運(yùn)動(dòng)一般運(yùn)動(dòng) = (平動(dòng)平動(dòng))+(轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng))準(zhǔn)繩準(zhǔn)繩: 隨某點(diǎn)隨某點(diǎn)(基點(diǎn)基點(diǎn))的平動(dòng)的平動(dòng) + 過(guò)該點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)

4、該點(diǎn)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 基點(diǎn)任選?；c(diǎn)任選。ABDABD實(shí)踐實(shí)踐: 因?yàn)閷?duì)質(zhì)心存在因?yàn)閷?duì)質(zhì)心存在“質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理”所以：所以： 基點(diǎn)就選質(zhì)心基點(diǎn)就選質(zhì)心圖示基點(diǎn)任選圖示基點(diǎn)任選剛體的平動(dòng)剛體的平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若在剛體內(nèi)所作的任剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若在剛體內(nèi)所作的任一條直線都始終保持和自身平行一條直線都始終保持和自身平行 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng)平動(dòng)的特點(diǎn)平動(dòng)的特點(diǎn)ABABA B ABrrAB ABrr (1) (1) 剛體中各質(zhì)點(diǎn)剛體中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況相同的運(yùn)動(dòng)情況相同AB 常常矢矢量量0d ABdt (2) (2) 剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)BAvvBAaa剛體的平動(dòng)剛體的平動(dòng)剛

5、體運(yùn)動(dòng)時(shí)，在剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)連線長(zhǎng)度不變，方向不剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，在剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)連線長(zhǎng)度不變，方向不變，始終保持和自身平行變，始終保持和自身平行.ABABA B ABrrABBArrBAvvBAaa剛體中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況相同剛體中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況相同, ,剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的平動(dòng)可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng). .xyzOABArBr1BM2B3BnB1A2A3AnA平動(dòng)的特點(diǎn)：平動(dòng)的特點(diǎn)： 描述剛體的平動(dòng)的自由度：描述剛體的平動(dòng)的自由度：3 3個(gè)個(gè)二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1. 各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn) 在自己的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)在自己的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)2. 描述的物理量描述的物

6、理量任一質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的線量和角量的關(guān)系任一質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的線量和角量的關(guān)系轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面zrz1m2m12xx1O2O剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一直線剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一直線( (轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸) )作圓周運(yùn)動(dòng)作圓周運(yùn)動(dòng) _ _ 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng))(tf角坐標(biāo)角坐標(biāo)zIIIIIP 描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量：描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量： rad運(yùn)動(dòng)學(xué)方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)雖然剛體中任意一點(diǎn)的到轉(zhuǎn)軸的距離不同，但剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)雖然剛體中任意一點(diǎn)的到轉(zhuǎn)軸的距離不同，但在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度相同。在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度相同。描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

7、的自由度：描述剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度：1 1個(gè)個(gè) 單位：?jiǎn)挝唬簔 P過(guò)過(guò)P P點(diǎn)點(diǎn) 垂直于軸垂直于軸 取一平面取一平面N N稱為稱為P P點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面NOP x(1) (1) 在過(guò)在過(guò)P P點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)O O點(diǎn)：轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)動(dòng)面的交點(diǎn)點(diǎn)：轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)動(dòng)面的交點(diǎn)過(guò)過(guò)O O點(diǎn)點(diǎn) 引入一坐標(biāo)軸引入一坐標(biāo)軸oxox(2) (2) 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng) P P點(diǎn)隨之轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)隨之轉(zhuǎn)動(dòng)從從O O點(diǎn)點(diǎn) 引向引向P P點(diǎn)一矢徑點(diǎn)一矢徑rr與與oxox軸的夾角為軸的夾角為 : : 稱為角坐稱為角坐標(biāo)標(biāo)(3) t(3) t時(shí)刻時(shí)刻 剛體剛體 P P點(diǎn)點(diǎn) 角坐標(biāo)角坐標(biāo) 1= 1= t+t+ t t時(shí)刻時(shí)

8、刻 角坐標(biāo)角坐標(biāo) 2= 2= + + t t時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi) 轉(zhuǎn)過(guò)的角度轉(zhuǎn)過(guò)的角度 稱為角位移稱為角位移規(guī)定：選一轉(zhuǎn)軸的正方向，規(guī)定：選一轉(zhuǎn)軸的正方向，右手定則：拇指指向轉(zhuǎn)軸方向右手定則：拇指指向轉(zhuǎn)軸方向 為正為正 (4) (4) 剛體角速度剛體角速度ddt 有正負(fù)，有正負(fù)，右手定則右手定則: :所定方向與轉(zhuǎn)軸正向一致為正，反之為負(fù)所定方向與轉(zhuǎn)軸正向一致為正，反之為負(fù)(5) (5) 剛體角加速度剛體角加速度ddt 同向時(shí)，加速轉(zhuǎn)動(dòng)同向時(shí)，加速轉(zhuǎn)動(dòng) 反向時(shí)，減速轉(zhuǎn)動(dòng)反向時(shí)，減速轉(zhuǎn)動(dòng)(6) (6) 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系角量角量 線量線量 at at anan = r at = r an =

9、 2r= r 2注：剛體上任意一點(diǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中注：剛體上任意一點(diǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中角量角量 是相同的是相同的弧弧度度 秒秒剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)均為平面運(yùn)動(dòng)。剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)均為平面運(yùn)動(dòng)。剛體平面平行運(yùn)動(dòng)剛體平面平行運(yùn)動(dòng)例如：車輪的滾動(dòng)可以看成車輪隨輪例如：車輪的滾動(dòng)可以看成車輪隨輪軸的平動(dòng)與繞輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的組合。軸的平動(dòng)與繞輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的組合。剛體平面運(yùn)動(dòng)可看做剛體的平動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。剛體平面運(yùn)動(dòng)可看做剛體的平動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。描述剛體平面運(yùn)動(dòng)的自由度：描述剛體平面運(yùn)動(dòng)的自由度：3個(gè)個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體上的一點(diǎn)固定不動(dòng)，剛體繞過(guò)定點(diǎn)的一剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體上的一點(diǎn)

10、固定不動(dòng)，剛體繞過(guò)定點(diǎn)的一瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，稱作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，稱作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。描述定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度：描述定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的自由度：3個(gè)個(gè)剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+三、解決剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法三、解決剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法 準(zhǔn)繩準(zhǔn)繩:質(zhì)點(diǎn)系的三個(gè)定理質(zhì)點(diǎn)系的三個(gè)定理利用剛體的特征化簡(jiǎn)到方便形式利用剛體的特征化簡(jiǎn)到方便形式( 簡(jiǎn)便簡(jiǎn)便 好記好記)1.剛體的平動(dòng)剛體的平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)模型質(zhì)點(diǎn)模型 運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 2.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 利用剛體的模型利用剛體的模型(無(wú)形變無(wú)形變) 化簡(jiǎn)角動(dòng)量定理化簡(jiǎn)角動(dòng)量定理 功能原理功能原

11、理 方便的形式方便的形式動(dòng)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒、能量守恒、動(dòng)量矩守恒動(dòng)量矩守恒 一飛輪的半徑為一飛輪的半徑為 0.2m, 轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為150rmin, 經(jīng)經(jīng)30s均勻均勻 減速減速后停止后停止. 求：（求：（1角加速度和飛輪轉(zhuǎn)的圈數(shù)角加速度和飛輪轉(zhuǎn)的圈數(shù),（2t = 6s 時(shí)的時(shí)的角速度角速度, 飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度、法向加速度飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度、法向加速度.解：解：10srad5601502 10srad63050- t飛輪在飛輪在30s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為：rad752-202飛輪在飛輪在30s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為：內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)為：r5 .37275

12、2N例例1 （1） )(2 21 02022000ttt(2) t = 6 s 時(shí)的角速度：時(shí)的角速度：rad/s40t邊緣線速度：邊緣線速度：m/s5 .2rv切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：2sm105. 0ra222sm6 .31/rranv 設(shè)圓柱型電機(jī)轉(zhuǎn)子由靜止經(jīng)設(shè)圓柱型電機(jī)轉(zhuǎn)子由靜止經(jīng)300s后達(dá)后達(dá)18000r/min，已知轉(zhuǎn)子，已知轉(zhuǎn)子的角加速度的角加速度與時(shí)間成正比與時(shí)間成正比. 求求: 轉(zhuǎn)子在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)轉(zhuǎn)子在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù).因角加速度因角加速度隨時(shí)間而增大，設(shè)：隨時(shí)間而增大，設(shè)：= ct ddctt由角加速度的定義由角加速度的定義例例2 解：

13、解：tctdd由給定條件，由給定條件，322rad7530060022stc由角速度的定義，則任意由角速度的定義，則任意時(shí)刻的角速度可寫(xiě)為：時(shí)刻的角速度可寫(xiě)為：2150ddtt d150d020ttt得到：得到：4310330045022N轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)數(shù)：轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)數(shù)：3450 t對(duì)上式兩邊積分得對(duì)上式兩邊積分得 dd00tttc221ct改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)質(zhì)點(diǎn)獲得加速度質(zhì)點(diǎn)獲得加速度改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài) 剛體獲得角加速度剛體獲得角加速度力對(duì)點(diǎn)的力矩力對(duì)點(diǎn)的力矩力力 力矩力矩 O .FrMOFroMsinrFMO大?。捍笮。?方向：指向由右手螺旋法則確定，垂直于方向：指

14、向由右手螺旋法則確定，垂直于r r 和和F F確定的平面確定的平面. .回想 (質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理微分形式的簡(jiǎn)化質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理微分形式的簡(jiǎn)化) 質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理微分形式：質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理微分形式：LMtdd5.2 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1. 力力 對(duì)對(duì) 點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩FOFAxyroxyzMr FM x M y M z 對(duì)于過(guò)對(duì)于過(guò)O點(diǎn)點(diǎn)Z 軸，力矩可分解為兩個(gè)分量軸，力矩可分解為兩個(gè)分量()zzMMrFF OOMzzFFF()OzzMMMrFF ziMrF對(duì)于轉(zhuǎn)軸對(duì)于轉(zhuǎn)軸z，sinziMrFF hzrFAxyrOzzFFFiOirnFFh()()()()iizzzizrrFFFrFr

15、rF/F平行于平行于z z軸軸不產(chǎn)生對(duì)不產(chǎn)生對(duì)z z軸的力矩軸的力矩F在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)產(chǎn)生對(duì)產(chǎn)生對(duì)z z軸的力矩軸的力矩力對(duì)任意點(diǎn)的力矩，在通過(guò)該點(diǎn)的任一軸上的投影力對(duì)任意點(diǎn)的力矩，在通過(guò)該點(diǎn)的任一軸上的投影等于該力對(duì)該軸的力矩等于該力對(duì)該軸的力矩xyzLr Pr mL x L yL z v=質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)o的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩(角動(dòng)量角動(dòng)量)對(duì)對(duì)z軸的軸的動(dòng)量矩動(dòng)量矩iziiiLrm因?yàn)楦髻|(zhì)元角動(dòng)量方向相同，因?yàn)楦髻|(zhì)元角動(dòng)量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加大小的直接相加2. 任一質(zhì)量元的定軸角動(dòng)量大小為任一質(zhì)量元的定軸角動(dòng)量大小為iiLL

16、ii iirmimOLO rPSiir由于由于2()i iiLmr2i iiJmr定義剛體對(duì)定軸定義剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量LJ剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量LJ3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律dLdMJdtdtMJ定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律在轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中的地位相當(dāng)于平動(dòng)的牛頓第二定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律在轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中的地位相當(dāng)于平動(dòng)的牛頓第二定律應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題步驟與牛頓第二定律時(shí)完全相同。應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題步驟與牛頓第二定律時(shí)完全相同。Fma2i iiJmr剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量FOr(1) 飛輪的角加速度飛輪的角加速度(2) 如以重

17、量如以重量P =98 N的物體掛在繩端，的物體掛在繩端，試計(jì)算飛輪的角加速度試計(jì)算飛輪的角加速度解解 (1)JFr 2rad/s 2 .395 . 02 . 098JFrmaTmg(2)JTr ra 兩者區(qū)別兩者區(qū)別4、應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題、應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題mgT例例1 求求一輕繩繞在半徑一輕繩繞在半徑 r =20 cm 的飛輪邊緣，在繩端施以的飛輪邊緣，在繩端施以F=98 N 的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J=0.5 kgm2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)擦不計(jì) (見(jiàn)圖見(jiàn)圖) .2mrJmgr22rad/s 8212010502098.T一定滑輪的質(zhì)量為一定滑輪的質(zhì)量

18、為 m ，半徑為，半徑為 r ，不能伸長(zhǎng)的輕繩兩邊分，不能伸長(zhǎng)的輕繩兩邊分別系別系 m1 和和 m2 的物體掛于滑輪上，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑的物體掛于滑輪上，繩與滑輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)動(dòng). （設(shè)輪軸光滑無(wú)摩擦，滑輪的初角速度為零）（設(shè)輪軸光滑無(wú)摩擦，滑輪的初角速度為零）例例21m2mm求求 滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度隨時(shí)間變化的規(guī)律滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度隨時(shí)間變化的規(guī)律.解解 以以m1 m1 ， m2 m2 ， m m 為研究對(duì)象為研究對(duì)象, , 受力分受力分析析gm11Tgm22Tr1T2T1111amTgm2222amgmT22121mrJrTrTraaa21rmmmgmm212121rmmmgtmmt2121210

19、滑輪滑輪 m：物體物體 m1：物體物體 m2： 一根長(zhǎng)為一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為 m 的均勻細(xì)直棒的均勻細(xì)直棒,其一端有一固定的其一端有一固定的光滑水平軸光滑水平軸, 因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).最初棒靜止在豎最初棒靜止在豎直位置直位置,由于微小擾動(dòng)由于微小擾動(dòng),在重力作用下由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)在重力作用下由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng). 求求: 它由此下擺它由此下擺 角時(shí)的角加速度和角速度角時(shí)的角加速度和角速度.解：棒下擺為加速過(guò)程解：棒下擺為加速過(guò)程,外力矩為重力外力矩為重力 對(duì)對(duì)O的力矩的力矩. 重力作用在棒重心重力作用在棒重心 , 當(dāng)棒當(dāng)棒處在下擺處在下擺 角時(shí)，重力矩為：角時(shí)，重力

20、矩為：sin21mglMPl /2Ol重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩與全部重力集中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣中作用在質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣. . 因因此棒繞軸此棒繞軸O O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：后面講）(312mlJ 例例3 JlgmlmglJM2sin331sin212棒處于棒處于角時(shí)：角時(shí)：角加速度：角加速度：t dd dd dd ddddttdsin23d dlg作變換：作變換：00d23dsinlg兩邊積分：兩邊積分：cos13lg角速度：角速度：5.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一、定義一、定義二、二、J與哪些量有關(guān)與哪些量有關(guān)三、計(jì)算三、計(jì)算四、正交軸定理四、正交軸

21、定理對(duì)于固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)于固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量22()i imiJm rJr dm1m2m3m1r2r3rz321ii iiJmr例例 如圖所示質(zhì)點(diǎn)系如圖所示質(zhì)點(diǎn)系2221 12 23 3mrm rm r J J 的物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)中物體慣性的量度。的物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)中物體慣性的量度。一、定義一、定義質(zhì)元的選取和計(jì)算方法：質(zhì)元的選取和計(jì)算方法：lmddsmddVmdd質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布、 分別為剛體質(zhì)量分布的線密度、面密度和體密度.dm為質(zhì)量元,簡(jiǎn)稱質(zhì)元. r如果質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量連續(xù)分布，如果質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量連續(xù)分布，VmrJd2v 二二 討論：確定

22、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素討論：確定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三個(gè)要素v (1) (1)總質(zhì)量總質(zhì)量(2)(2)質(zhì)量分布質(zhì)量分布(3)(3)轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置例：比較等長(zhǎng)的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞過(guò)端點(diǎn)垂直于細(xì)棒的轉(zhuǎn)軸的軸例：比較等長(zhǎng)的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞過(guò)端點(diǎn)垂直于細(xì)棒的轉(zhuǎn)軸的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。LzOxdxM2020231ddMLxLMxxxJLL木木鐵鐵MM 1、J 與剛體的總質(zhì)量有關(guān)與剛體的總質(zhì)量有關(guān) 木鐵JJ例：圓環(huán)繞過(guò)中心垂直于環(huán)面軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例：圓環(huán)繞過(guò)中心垂直于環(huán)面軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例：圓盤(pán)繞過(guò)中心垂直于盤(pán)面軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例：圓盤(pán)繞過(guò)中心垂直于盤(pán)面軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dlORLlRmRJ20202dd2320

23、222dmRRmRlRRmROmrdrsmddRmRmrrRmmrJ0232022d2drRmrrrRmd2d222R2、 J 與質(zhì)量分布有關(guān)與質(zhì)量分布有關(guān) OLxdxMz20231dMLxxJLLOxdxM22/2/2121dMLxxJLLz3、 J 與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān) 因此剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置均影響剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量因此剛體的總質(zhì)量、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置均影響剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。 (2) 質(zhì)量一定，與質(zhì)量分布有關(guān)。質(zhì)量一定，與質(zhì)量分布有關(guān)。J 與那些量有關(guān)與那些量有關(guān)(1)(1)與剛體總質(zhì)量有

24、關(guān)，與剛體總質(zhì)量有關(guān)，J大。大。大，大，Jm(3) J 和轉(zhuǎn)軸有關(guān)和轉(zhuǎn)軸有關(guān)平行軸定理平行軸定理三、計(jì)算三、計(jì)算 1) 對(duì)稱的對(duì)稱的 簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)單的 查表查表 2) 平行軸定理平行軸定理 (parallel axis theorem)2ocJJmdmcdo在一系列的平行軸中，對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小在一系列的平行軸中，對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小.odCmcoJcJdOLxdxMz2231)2(MLLMJJzzLOxdxM2222121dMLxxJLLz/z剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 剛體繞通過(guò)質(zhì)心的軸剛體繞通過(guò)質(zhì)心的軸. 兩軸間垂直距離兩軸間垂直距離. 平行軸定理平行軸定理例子：例子：

25、 2ocJJmdJ 和轉(zhuǎn)軸有關(guān)和轉(zhuǎn)軸有關(guān) :同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的 o o平行軸平行軸2112Jml2221111243Jmlmlml214Jmroooo212Jmro o223JmR225JmR薄板狀剛體對(duì)板面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和等于該剛體薄板狀剛體對(duì)板面內(nèi)兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和等于該剛體對(duì)通過(guò)兩軸交點(diǎn)且垂直于板面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。這個(gè)關(guān)系稱為對(duì)通過(guò)兩軸交點(diǎn)且垂直于板面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。這個(gè)關(guān)系稱為正交軸定理。證明如下：如圖。正交軸定理。證明如下：如圖。2xiiiJm y2yiiiJm x22()xyiiiiJJm xyxyzJJJ此定理

26、只適用于平面薄板狀的物體，并限于板內(nèi)此定理只適用于平面薄板狀的物體，并限于板內(nèi)的兩軸相互垂直，的兩軸相互垂直，Z Z 軸與板面正交。軸與板面正交。2i iimrimixiyxyzirO四、正交軸定理四、正交軸定理( 了解了解)竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？三、三、J 的計(jì)算的計(jì)算（1按定義計(jì)算按定義計(jì)算求長(zhǎng)為求長(zhǎng)為L(zhǎng)質(zhì)量為質(zhì)量為m 的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.ABLxdm解：取如圖坐標(biāo)，解：取如圖坐標(biāo)，dm = dx9d23232/mLxxJLLA12/d2222mLx

27、xJLLCBL/2L/2Cxdm2222913611216mLmLmLLmJJCA例例1 1： 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R 的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心環(huán)平面垂直并通過(guò)圓心.解：解：mRJd2對(duì)于薄圓筒不計(jì)厚度），其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以上結(jié)果相同對(duì)于薄圓筒不計(jì)厚度），其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以上結(jié)果相同. .ROdm例例2 2mRRlR202dmRJd22mRRhRhmRhRRh22d2202dh 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R、厚為、厚為l 的均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的均勻圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.軸軸與盤(pán)平面垂直并通過(guò)盤(pán)心與盤(pán)平面垂直并通過(guò)盤(pán)心.Rordrdm解

28、：解：lrrmd2drlrmrJd2dd3224032121d2dmRlRrlrJJRlRm2例子：實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是例子：實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是 mR2/2 .例例3 .圓環(huán)質(zhì)量圓環(huán)質(zhì)量:圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:圓盤(pán)密度圓盤(pán)密度:mRJd212221mRhRhRmRhRRh22202221d21 例例4：棒與圓盤(pán)組成的剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣：棒與圓盤(pán)組成的剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？量如何計(jì)算？ (棒長(zhǎng)為棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、圓盤(pán)半徑為、圓盤(pán)半徑為R）2131LmJLL221RmJoo2002dmJJL222)(2131RLm

29、RmLmJooL這里運(yùn)用了平行軸定理以及迭加法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。這里運(yùn)用了平行軸定理以及迭加法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。棒對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：棒對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：圓盤(pán)對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：圓盤(pán)對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：整個(gè)剛體組對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：整個(gè)剛體組對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：解：解：練習(xí)練習(xí)1 如圖，一質(zhì)量為如圖，一質(zhì)量為 m 半徑為半徑為 R 的實(shí)心球，求繞過(guò)的實(shí)心球，求繞過(guò)球心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。球心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解解：343mRdmdV2dVrdy2dmr dy 212dJdm r取有一定厚度的圓盤(pán)，圓盤(pán)對(duì)取有一定

30、厚度的圓盤(pán)，圓盤(pán)對(duì)O 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ryROdy412rdy222rRy變量代換變量代換2221()2RRJRydy42241(2)2RRRR yydy225JmR得得25GrR回旋半徑回旋半徑練習(xí)練習(xí)2 已知定滑輪已知定滑輪解解:受力圖受力圖RM、輕繩不伸長(zhǎng)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。、輕繩不伸長(zhǎng)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。求：求：1物體加速度物體加速度a；2繩子的張力繩子的張力T；3 ) 滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度 。1T1m g2Ta 213T RT RJ 2222m gTm a1m2m21mm設(shè)設(shè)2T2m ga 1111Tm gm a1TaR212JMR能自行求解嗎？能自行求解嗎？練習(xí)練習(xí)3 知：

31、如圖一質(zhì)量為知：如圖一質(zhì)量為 ，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為 的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過(guò)端點(diǎn)過(guò)端點(diǎn) 與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 桿水平放置，然后桿水平放置，然后釋放。求：桿轉(zhuǎn)到和豎直方向成釋放。求：桿轉(zhuǎn)到和豎直方向成 時(shí)，時(shí)，mlO0t ，030？解：研究對(duì)象解：研究對(duì)象桿。桿。0OGmgM重重力力矩矩受受力力，21cos23ldmgmldt030mgOcos2lMmg；MJ213dmldt轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)：O O點(diǎn)支持力矩點(diǎn)支持力矩cosg23dld23ddlddt003cos2gddl 23sin2gl0033360sin602ggll取取，代代入入，0390gl，。動(dòng)能定理動(dòng)能定理 2

32、21122KiiiEmJ1用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能KAAE內(nèi)外質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理kE 222i iimr2212i iimrkiE212iiimiirJ、2i iJmr對(duì)同一轉(zhuǎn)軸對(duì)同一轉(zhuǎn)軸5.4 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 動(dòng)能定理動(dòng)能定理2） 用角量表示的力做功的形式用角量表示的力做功的形式AFsMddd3） 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理形式剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理形式 0A 內(nèi)rimddSF21zOdA dSrd0coscos(90)sin dA F dScosFdSsinFrdMd內(nèi)力矩內(nèi)力矩不做功不做功力矩的功和動(dòng)能關(guān)系力矩的功和

33、動(dòng)能關(guān)系A(chǔ) 21J d 作用于剛體合外力矩的功等效于剛體動(dòng)能的增量作用于剛體合外力矩的功等效于剛體動(dòng)能的增量剛體動(dòng)能定理。剛體動(dòng)能定理。MdJd dJddt22211122JJ系統(tǒng)系統(tǒng)- - 剛體剛體 + + 地球地球212cEmghJkpEEE機(jī)機(jī)械械能能。剛體勢(shì)能用質(zhì)心勢(shì)能表示。剛體勢(shì)能用質(zhì)心勢(shì)能表示。機(jī)械能守恒的條件仍為機(jī)械能守恒的條件仍為0AA外力非保力，E 恒恒量量4機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒例例1 在阿特武德機(jī)中裝在光滑水平軸承的在阿特武德機(jī)中裝在光滑水平軸承的滑輪半徑為滑輪半徑為 ，一邊掛一，一邊掛一 的物的物體體 ，另一邊掛，另一邊掛 。當(dāng)當(dāng) 由靜止釋放后，在由靜止釋放后，在 內(nèi)下降

34、了內(nèi)下降了 試用轉(zhuǎn)動(dòng)定理與能量關(guān)系兩種試用轉(zhuǎn)動(dòng)定理與能量關(guān)系兩種方法確定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。方法確定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。25 10Rm 10.46mkg20.5mkg2m0.5s0.75hm1m2mhJ12,R又又212hatat而而2,ht21()mm gh212222()JhmmRt222211 122111()0222mm ghJmm2212211()22JmmR解解 用能量守恒：以初始時(shí)位置的勢(shì)能為零用能量守恒：以初始時(shí)位置的勢(shì)能為零2221212()()(2 /)(2 /)Rmm gmmh tJh t1m2mhhJ解解 分析棒受力：分析棒受力： ， 點(diǎn)的支撐點(diǎn)的支撐力力 （變力，大小方向均變

35、），軸（變力，大小方向均變），軸與棒摩擦力略。與棒摩擦力略。mgON例例2 已知質(zhì)量為已知質(zhì)量為 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 細(xì)棒，繞過(guò)細(xì)棒，繞過(guò) 點(diǎn)的水平光滑軸在豎點(diǎn)的水平光滑軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)， 點(diǎn)距點(diǎn)距 點(diǎn)點(diǎn) ，棒由靜止位置開(kāi)始釋放，求：，棒由靜止位置開(kāi)始釋放，求：（1棒在水平位置剛釋放時(shí)的角加速度。棒在水平位置剛釋放時(shí)的角加速度。（2桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)的角速度和角加速度。桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)的角速度和角加速度。（3棒在豎直位置時(shí)，棒的兩端和中點(diǎn)的速度和加速度。棒在豎直位置時(shí)，棒的兩端和中點(diǎn)的速度和加速度。mlO3lOA/ 3lACCmgOB0PE 對(duì)對(duì) 點(diǎn)軸產(chǎn)生力矩的只有點(diǎn)軸產(chǎn)生力矩的只有 ， 對(duì)棒

36、轉(zhuǎn)動(dòng)不做功（對(duì)棒轉(zhuǎn)動(dòng)不做功（ 對(duì)棒有作對(duì)棒有作用是變力用是變力,但但 ）。）。0NMOmgNN1MJ（）求求 ，2/6CJJm OCOCl由平行軸定理由平行軸定理221/612Jmlml166lMmgmgl219mlMJ32gl62lmg（）機(jī)機(jī)械械能能守守恒恒，212J22118ml3gl（用重力矩做功也可以）。過(guò)豎直位置瞬間，作用（用重力矩做功也可以）。過(guò)豎直位置瞬間，作用于剛體的力矩為零。此時(shí)于剛體的力矩為零。此時(shí)03CbCbAAaaa（）求求垂垂直直位位置置的的， ，/12COCgl4/3bObgl/3AOAgl此時(shí)加速度為向心加速度。此時(shí)加速度為向心加速度。00ta，tnara 2/

37、2CaOCg22 /32Balg2/3Aalg/ 3lACCmgOB0PE 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)剛體剛體剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理OLrmvdLM dt0 ML，常zzLJzzdLMdt外0 zzML，常量5.5 剛體角動(dòng)量剛體角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定理角動(dòng)量守恒定理一、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩一、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩zii iiLmr2()i imrzJ剛體上任一質(zhì)點(diǎn)剛體上任一質(zhì)點(diǎn) ，它對(duì)，它對(duì) 軸的動(dòng)量

38、矩為軸的動(dòng)量矩為 ，方向沿方向沿 軸，整個(gè)剛體對(duì)軸，整個(gè)剛體對(duì) 軸的動(dòng)量矩軸的動(dòng)量矩()ii iiimr rimzzLzzimiriz()()ddrmrmrdtddLMtdm rdtdd JJdtdtrdt v)00()()tztztztJJM dt0tztM dt稱為在時(shí)間稱為在時(shí)間 內(nèi)的沖量矩，它表示了力矩內(nèi)的沖量矩，它表示了力矩在一段時(shí)間間隔內(nèi)的累積效應(yīng)。在一段時(shí)間間隔內(nèi)的累積效應(yīng)。0tt動(dòng)量矩定理不僅適用于剛體，而且動(dòng)量矩定理不僅適用于剛體，而且適用于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的可變形物體。適用于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的可變形物體。微分形式微分形式積分形式積分形式2. 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律0const.v

39、ectorML00iiiiJJ由多個(gè)剛體組由多個(gè)剛體組成的剛體體系成的剛體體系當(dāng)物體所受的合當(dāng)物體所受的合外力矩為零時(shí)，外力矩為零時(shí)，這個(gè)結(jié)論是普遍適用的，也可以不是剛體而是其他質(zhì)點(diǎn)系。這個(gè)結(jié)論是普遍適用的，也可以不是剛體而是其他質(zhì)點(diǎn)系。分以下幾種情況：分以下幾種情況：（1對(duì)剛體，對(duì)剛體， 不變不變 剛體作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，又叫慣性轉(zhuǎn)動(dòng)。這一結(jié)果與質(zhì)點(diǎn)剛體作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，又叫慣性轉(zhuǎn)動(dòng)。這一結(jié)果與質(zhì)點(diǎn)的慣性運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)。的慣性運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)。zJ，恒恒定定（2在一孤立系統(tǒng)中，如果系統(tǒng)某一部分的角動(dòng)量因內(nèi)在在一孤立系統(tǒng)中，如果系統(tǒng)某一部分的角動(dòng)量因內(nèi)在相互作用而有所改變時(shí)，系統(tǒng)的其余部分必須出現(xiàn)一等量相互作用而

40、有所改變時(shí)，系統(tǒng)的其余部分必須出現(xiàn)一等量但反向角動(dòng)量改變，使總角動(dòng)量保持守恒。但反向角動(dòng)量改變，使總角動(dòng)量保持守恒。（3） 同時(shí)改變，但乘積保持不變。同時(shí)改變，但乘積保持不變。zJ、11ziizJJ演示演示花樣滑冰花樣滑冰 跳水跳水mm1r2r例例1 人造地球衛(wèi)星繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)，地心在其一焦點(diǎn)人造地球衛(wèi)星繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)，地心在其一焦點(diǎn)O上，如下圖。已知軌道的近地點(diǎn)上，如下圖。已知軌道的近地點(diǎn)P 距地面距地面145km。遠(yuǎn)地點(diǎn)。遠(yuǎn)地點(diǎn)A距地面距地面151km，地球半徑，地球半徑R=6400km。試求衛(wèi)星在近地點(diǎn)。試求衛(wèi)星在近地點(diǎn)P的動(dòng)能與其在遠(yuǎn)地點(diǎn)的動(dòng)能與其在遠(yuǎn)地點(diǎn)A的動(dòng)能的比值。的動(dòng)能的比

41、值。解解 設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 ，人造衛(wèi)星對(duì)，人造衛(wèi)星對(duì) 點(diǎn)的角動(dòng)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。量守恒。mOP PA AmrmrPAAPrr而衛(wèi)星在而衛(wèi)星在P、A兩點(diǎn)兩點(diǎn)的動(dòng)能之比為：的動(dòng)能之比為：22PAKPKAEEPAPrArPAOKPKAEE22APrr2222()(6400 161)1.01()(6400 145)APRhRh例例2 質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量均勻的細(xì)棒相撞質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)量均勻的細(xì)棒相撞(如圖如圖)。解：過(guò)程解：過(guò)程1 質(zhì)點(diǎn)與細(xì)棒相碰撞。質(zhì)點(diǎn)與細(xì)棒相碰撞。 碰撞過(guò)程碰撞過(guò)程中系統(tǒng)對(duì)中系統(tǒng)對(duì)O 點(diǎn)的合力矩為點(diǎn)的合力矩為0M oM lm0設(shè)碰撞完全非彈性。設(shè)碰撞完全非彈性。求：棒擺的最大角

42、度。求：棒擺的最大角度。所以，系統(tǒng)對(duì)所以，系統(tǒng)對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，即點(diǎn)的角動(dòng)量守恒，即12LL 220113mlMlml 2221 111 cos1 cos22 32MlmlMglmgl細(xì)棒勢(shì)能細(xì)棒勢(shì)能過(guò)程過(guò)程2 質(zhì)點(diǎn)、細(xì)棒上擺，系統(tǒng)中包括地球，質(zhì)點(diǎn)、細(xì)棒上擺，系統(tǒng)中包括地球， 只有保守內(nèi)力作功，所以機(jī)械能守恒。只有保守內(nèi)力作功，所以機(jī)械能守恒。 設(shè)末態(tài)為勢(shì)能零點(diǎn)設(shè)末態(tài)為勢(shì)能零點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能例例3 有一細(xì)棒長(zhǎng)為有一細(xì)棒長(zhǎng)為 質(zhì)量為質(zhì)量為 均勻分布，靜止放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為均勻分布，靜止放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 的水的水平桌面上，它可繞通過(guò)其端點(diǎn)平桌面上，它可繞通過(guò)其端點(diǎn) ，且與桌面垂直的固定光滑軸

43、轉(zhuǎn)動(dòng)，另有，且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，另有一水平運(yùn)動(dòng)的小滑塊，質(zhì)量為一水平運(yùn)動(dòng)的小滑塊，質(zhì)量為 ，以水平速度，以水平速度 從左側(cè)垂直與棒的另一端從左側(cè)垂直與棒的另一端 作完全彈性碰撞，碰撞時(shí)間極短可忽略摩擦）。求從細(xì)棒在碰撞后開(kāi)始作完全彈性碰撞，碰撞時(shí)間極短可忽略摩擦）。求從細(xì)棒在碰撞后開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中所經(jīng)歷的時(shí)間。轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中所經(jīng)歷的時(shí)間。lMOm解：合外力矩：解：合外力矩：0M合合外外力力設(shè)動(dòng)量矩向上的方向?yàn)檎?，碰撞瞬間：設(shè)動(dòng)量矩向上的方向?yàn)檎?，碰撞瞬間：m lmulJ 222111222mJmuo0L 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒(3 )3MmuMm63mMm在棒上取質(zhì)量元在

44、棒上取質(zhì)量元 ，離軸，離軸 的距離為的距離為 dmOx0lfMgdm x12Mgl 0lgx dx又由動(dòng)量矩定理又由動(dòng)量矩定理0tfMdt fM t0J2/3JMl4(3 )m ltg Mm 二、基本特征二、基本特征回轉(zhuǎn)儀回轉(zhuǎn)儀 繞對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn)繞對(duì)稱軸高速旋轉(zhuǎn) 陀螺陀螺 1)對(duì)稱軸對(duì)稱軸 高速高速 2)定點(diǎn)定點(diǎn) 外力對(duì)定點(diǎn)求力矩外力對(duì)定點(diǎn)求力矩 對(duì)稱軸繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)L三、解釋三、解釋 1必須具有對(duì)稱軸必須具有對(duì)稱軸 2高速旋轉(zhuǎn)高速旋轉(zhuǎn) 重力對(duì)定點(diǎn)重力對(duì)定點(diǎn)O 的力矩的力矩0cMrmg0ML0LMtdd每瞬時(shí)外力矩只改變角動(dòng)量的方向每瞬時(shí)外力矩只改變角動(dòng)量的方向不改變角動(dòng)量的大小不

45、改變角動(dòng)量的大小ocrmg一、進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象一、進(jìn)動(dòng)現(xiàn)象已經(jīng)自轉(zhuǎn)的物體在外力矩的作用下，自已經(jīng)自轉(zhuǎn)的物體在外力矩的作用下，自轉(zhuǎn)軸繞另一軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象稱為進(jìn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸繞另一軸轉(zhuǎn)動(dòng)的現(xiàn)象稱為進(jìn)動(dòng)。5.6 剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)(了解了解) OLmgMdL陀螺的自旋角動(dòng)量為陀螺的自旋角動(dòng)量為L(zhǎng)JMdtdL/dL M當(dāng)當(dāng)ML時(shí)時(shí)那那么么只改變方向，不改變大小進(jìn)動(dòng)）只改變方向，不改變大小進(jìn)動(dòng)）L角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理OLsinLd進(jìn)動(dòng)角速度進(jìn)動(dòng)角速度sindLLd 而且而且MdtdLsinM dtdLLd 1sinsinMMddtJL 以上只是近似討論，只適用高速自轉(zhuǎn)，即以上只是近似討論，只適用高速

46、自轉(zhuǎn)，即角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理Ld萬(wàn)萬(wàn)向向支支架架基基 座座回轉(zhuǎn)體回轉(zhuǎn)體 （轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I）AABBOO陀螺儀定向原理陀螺儀定向原理運(yùn)用運(yùn)用不受外力矩作用高速不受外力矩作用高速旋轉(zhuǎn)的陀螺，由于角旋轉(zhuǎn)的陀螺，由于角動(dòng)量守恒，因而其轉(zhuǎn)動(dòng)量守恒，因而其轉(zhuǎn)動(dòng)軸的方向不變。動(dòng)軸的方向不變。自由陀螺的定向特性自由陀螺的定向特性在航天、航空等領(lǐng)域在航天、航空等領(lǐng)域中具有重要的意義。中具有重要的意義。歲差進(jìn)動(dòng)歲差進(jìn)動(dòng)2753027530年周期年周期剛體力學(xué)小結(jié)剛體力學(xué)小結(jié)描寫(xiě)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描寫(xiě)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量1. 角量：角量： 線量：線量： rra微積分關(guān)系微積分關(guān)系2. 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系 sr

47、rar2nar3. 方向：方向： 右手螺旋法右手螺旋法與與的關(guān)系：的關(guān)系：r4. 勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)公式 2012tt0t22002 () 二、動(dòng)力學(xué)二、動(dòng)力學(xué)1. 基本概念：基本概念： 力矩：力矩： Mr F 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 2i iJmr2Jr dm 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能： 212kEJ 轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量：轉(zhuǎn)動(dòng)角動(dòng)量： Lrm 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)： LJ（定點(diǎn)、定軸）（定點(diǎn)、定軸） （定點(diǎn)）（定點(diǎn)） 2. 基本定理：基本定理： 轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律： MJ（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律）（定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律） 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理：轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理： 212201122MdJJ 角動(dòng)量

48、定理：角動(dòng)量定理： 2100ttMdtJJ力矩的持續(xù)力矩的持續(xù)作用規(guī)律作用規(guī)律 功能原理：功能原理： 0AAEE外非 守恒定律：守恒定律： 0M外時(shí)，時(shí)， 守恒守恒 L0AA外非 時(shí)，時(shí)， 守恒守恒 E3. 解題思路：解題思路： 平動(dòng)部分：平動(dòng)部分： 分析外力分析外力Fma 轉(zhuǎn)動(dòng)部分：轉(zhuǎn)動(dòng)部分： 分析力矩分析力矩MJ 平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的聯(lián)系：平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的聯(lián)系： 角量和線量的關(guān)系角量和線量的關(guān)系（隔離分析方法）（隔離分析方法） 如下圖如下圖例例1解析：解析：1M1R2R2M1m2m（平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)）（平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)）隔離分析受力矩）隔離分析受力矩）規(guī)定正方向：逆時(shí)針規(guī)定正方向：逆時(shí)針 平動(dòng)：分析受力平動(dòng)：分析受力1m g1T111m gTm a2m g2T222Tm gm a 轉(zhuǎn)動(dòng)：分析力矩轉(zhuǎn)動(dòng)：分析力矩3T1T2113111112T RT RM R2T2322222212T RT RM R 線量與角量關(guān)系：線量與角量關(guān)系：1122aRR六個(gè)未知數(shù)，六個(gè)方六個(gè)未知數(shù)，六個(gè)方程，可求解程，可求解T1，T2，T3，a， 1， 24. 力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律 力矩的持續(xù)作用規(guī)律力矩的持續(xù)作用規(guī)律 守恒定律守恒定律（分析某一時(shí)刻合外力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的關(guān)系）（分析某一時(shí)刻合外力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)的關(guān)系）（分析過(guò)程特點(diǎn)，選取始末狀態(tài)）（分析過(guò)程特點(diǎn)，選取始末狀態(tài)） （判斷守恒條件）（判斷守恒條