經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)講義 第9章 矩陣

1、第2章 矩陣2.1 矩陣的概念整存整取定期儲蓄存期三個月六個月一年二年年利率(%)2.884.145.675.94北京市居民抄表記錄卡項 目1月份2月份3月份天然氣m3252426電(kwh)135125130水m3889學(xué)生成績表姓 名數(shù) 學(xué)語 文英 語張建中808280林 勇758475王建明858083崔 也869090王 賓919095上面這些長方形表，抽象出來就是我們要講的矩陣. 矩陣一般用大寫英文字母表示：如等橫向稱行，豎向稱列.矩陣,每一個位置上的數(shù)都是的元素， 如1是的第2行第2列的元素，記為：.5是的第1行第4列的元素，記為：矩陣定義請看教材第2章定義2.1.補充內(nèi)容：特別地

2、，當(dāng)時，矩陣只有一行，即稱為行矩陣；當(dāng)時，矩陣只有一列，即稱為列矩陣；當(dāng)時，矩陣的行列數(shù)相同，即稱為階矩陣（或階方陣）在階矩陣中，從左上角到右下角的對角線稱為主對角線，從右上角到左下角的對角線稱為次對角線.行列數(shù)相同的矩陣稱為同型矩陣. 在矩陣中各個元素的前面都添加一個負(fù)號得到的矩陣稱為的負(fù)矩陣，記作，即例如，,這里是的負(fù)矩陣.例1 這是4行2列矩陣.2.2 矩陣的運算 1.矩陣相等例如，一日產(chǎn)量的統(tǒng)計表 一班二班 第一天的產(chǎn)量為, 第二天的產(chǎn)量為, 由此可以得到矩陣相等的定義.若滿足：(1) 同形 (2) 對應(yīng)元素分別相等，即, 則稱. 矩陣加法 ,用記為的和，即規(guī)定如下(1)同形，于是同形

3、.(2) 對應(yīng)元素分別相加.矩陣加法滿足兩條運算規(guī)律： 性質(zhì)1(交換律)性質(zhì)2(結(jié)合律)矩陣，記為，且2.矩陣的數(shù)量乘法 是矩陣，是實數(shù)，則(1) 和同形(2) ，即中每個素都乘以特別地：， 注意：中定義為，等式左邊是數(shù)0與矩陣的乘積，而右邊是零矩陣.矩陣減法定義為：，即矩陣減矩陣等于加的負(fù)矩陣.其中，=， 1僅當(dāng)時，才能做乘法.2若，則3若，則(行乘列法則) (矩陣乘法定義請閱讀教材第2章定義2.5) 矩陣乘法的運算性質(zhì) (數(shù)對矩陣的分配律) (矩陣的左分配律) (矩陣的右分配律)4.矩陣的轉(zhuǎn)置 設(shè)，將第一行元素寫在第一列處，第二行元素寫在第二列處，這樣就可得到的轉(zhuǎn)置矩陣.轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì) =

4、 補充內(nèi)容數(shù)乘矩陣所滿足的算律 設(shè)A，B為任意 k, h為任意實數(shù)，可以驗證數(shù)與矩陣的乘法滿足：（1）k (A+B)=k A+ k B（2）(k+ h)= k A+ h A（3）(k h)A=k(h A)（4）, 例1 設(shè)，因為，所以例2 設(shè)，求.解:例3設(shè)，求.解:因為不同形，所以不能進(jìn)行.例4 設(shè)，求，和.解：=2 =不能相乘.例6 設(shè)，計算.解：= +=例7 均為矩陣，問下列乘法能否進(jìn)行，若能，其乘積矩陣為幾行幾列？解：4階，3階 2.3 幾類特殊矩陣 矩陣 所有元素都為零的矩陣。例如單位矩陣：主對角線上的元素全是1，其余元素全是0的階矩陣稱為單位矩陣，記作或.數(shù)量矩陣主對角線上的元素為

5、同一個數(shù)，其余元素全是0的階矩陣稱為數(shù)量矩陣，記作.對角矩陣主對角線以外的元素全為零的方陣稱為對角矩陣，即有時也記作或三角矩陣主對角線上方的元素全為零的方陣稱為下三角矩陣，它形如主對角線下方的元素全為零的方陣稱為上三角矩陣，它形上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣.對稱矩陣若矩陣滿足，則稱為對稱矩陣.數(shù)量矩陣滿足性質(zhì)：階數(shù)量矩陣與所有的階矩陣可交換.即例1 設(shè)，求. 解：= 例2設(shè)為任意給定的矩陣，證明為對稱矩陣.證: 因為所以為對稱矩陣.（證畢）2.4 n 階矩陣的行列式由于討論矩陣性質(zhì)的需要，引進(jìn)階方陣行列式的概念.定義 與階方陣相應(yīng)的行列式成為方陣的行列式，記作或.關(guān)于方陣的行列式有下面

6、重要的定理.定理對于任意兩個階方陣，總有即方陣乘積的行列式等于行列式的乘積.這個定理可以推廣到多個階矩陣相乘的情形.推論 若都是階矩陣，則，特別地例1 設(shè)，計算. 解： =例2 設(shè)二階矩陣，驗證. 證: 因為,且,所以.（證畢）2.5 可逆矩陣與逆矩陣 可表為 可逆矩陣 設(shè)矩陣，如果存在一個矩陣，使得（1）則稱是可逆矩陣，稱是的逆矩陣，記為.例1設(shè) ，問：為嗎？解：因為=，=,所以 例2 設(shè)，問：是否可逆？解:A是不可逆的. 什么叫逆陣？ 僅限于討論方陣的逆陣；不是所有方陣都有逆陣；會驗證是否為逆陣；有了逆陣就相當(dāng)于有了除法.問題：究竟什么樣的方陣有逆陣？如何求逆陣？可逆矩陣的性質(zhì) 由定義 ,

7、稱為的逆陣,稱為的逆陣性質(zhì)1 性質(zhì)2 若可逆，則證:因為 ,所以 性質(zhì)3 若可逆，則證: 因為 ,所以 性質(zhì)4 若，均可逆，則亦可逆，且證: 因為 ,所以 性質(zhì)5 若可逆，則是唯一的.證: 設(shè)均為的逆陣，則，有性質(zhì)5 若可逆，則是唯一的.例2設(shè) 問：當(dāng)滿足什么條件時，矩陣可逆？當(dāng)可逆時，求. 解：因為=當(dāng)時，從而可逆，此時當(dāng)時，從而不可逆.2.6 矩陣的初等行變換和初等矩陣矩陣的初等行變換系指 (1) 互換兩行位置(2) 用一非0常數(shù)乘某行(3) 把一行倍數(shù)加至另一行上這三種矩陣行之間的變換，統(tǒng)稱為初等行變換.初等矩陣 將單位矩陣作一次初等行變換得到的矩陣，稱為初等矩陣.對應(yīng)于三種初等行變換有

8、三種類型的初等矩陣.（1）初等對換矩陣是由單位矩陣第行對換而得的.（2）初等倍乘矩陣其中是由單位矩陣第行乘而得的.（3）初等倍加矩陣是由單位矩陣第行乘加到第行而得的.對于矩陣進(jìn)行初等行變換等同于對左乘相應(yīng)的初等矩陣.即的第行與第行對換等同于對矩陣左乘，即；的第行遍乘等同于對矩陣左乘，即；的第行乘加至第行上等同于對矩陣左乘，即.定理設(shè)方陣經(jīng)過若干次初等行變換后得到方陣若同時可逆或同時不可逆.初等行變換法求逆矩陣 初等行變換法求逆矩陣 2.7 矩陣的秩 = 補充內(nèi)容：k階子式的定義在矩陣A中，位于任意選定的k行，k列交叉位置上的k2元素，按原來的次序組成的k階子陣的行列式，稱為的一個k階子式. 如

9、果子式的值不為零，就稱為非零子式.= 矩陣秩的定義 矩陣的非零子式的最高階數(shù)稱為矩陣的秩，記為或秩（）.如上例中，階方陣可逆例1 求矩陣的秩.解：因的一個二階子式是非零子式，而的所有（四個）三階子式均為零，即，所以由矩陣秩的定義知解： 因為，而所有的四階子式均為0，所以補充內(nèi)容： 階梯形矩陣的定義 任意一個矩陣總可以通過初等行變換把化為如下階梯形矩陣其中符號表示首非零元素，符號表示零或非零元素.如果用文字說明，所謂階梯形矩陣是指具有以下兩個特點的矩陣：（1）矩陣的零行在矩陣的最下方；（2）各行首非零元素之前的零元素的個數(shù)隨行的序數(shù)增加而增加.結(jié)論：階梯陣的秩等于非零行的行數(shù)利用初等行變換求秩初等行變換是不改變秩的變換A階梯陣r（A）=階梯陣中非零行的行數(shù) 例3 求矩陣的秩.解： 例4 求矩陣的秩.解：2.8 分塊矩陣 例1 ，其中，分塊矩陣的優(yōu)點：(1)能突出原矩陣結(jié)構(gòu)特點如例1(2)能節(jié)省存儲單元(3)帶來運算上的某些方便分塊矩陣的運算 矩陣分塊后，每一個子塊可視為子陣，即為原矩陣的元素因此，分塊矩陣的運算，就像矩陣運算一樣. (1)若分塊方法相同，如，則(2)若列的分法與行的分法相同，如，則補充內(nèi)容：分塊矩陣的轉(zhuǎn)置若分塊矩陣則不