第01講 數列的概念和簡單表示法

1、第第 0101 講講 數列的概念和簡單表示法數列的概念和簡單表示法廣東高考考試大綱說明的具體要求：廣東高考考試大綱說明的具體要求： 了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖象、通項公式）; 了解數列是自變量為正整數的一類函數.（一）基礎知識回顧：（一）基礎知識回顧：1.數列的概念數列的概念:按照一定_排列的一列數叫做數列，數列中的每一個數叫做這個數列的_.數列的第一項1a也稱為_項，na是數列的第 n 項，也叫數列的_項。如果數列an的第 n 項na與項數 n 之間的關系可以用一個公式來表示，即)n(fan，那么這個式子就叫做這個數列的_.數列的通項公式就是相應函數的解析式。數列an中，n

2、21naaaS，叫做數列an的_.2.數列的分類：數列的分類：項數有限的數列稱為_數列，項數無限的數列稱為_數列。遞增數列：遞增數列：對于任意的1n ,Nn，都有n1naa；遞減數列：遞減數列：對于任意的1n ,Nn，都有n1naa；常數列：常數列：對于任意的1n ,Nn，都有n1naa。3.重要關系式：重要關系式：對于任意數列對于任意數列an，都有，都有na與與nS的關系式的關系式)2n( ,_) 1n(_,an成立成立。4.4.常見數列：常見數列：分別寫出以下幾個數列的一個通項公式：（1） 1,2,3,4,5,na=_;（2） 1,3,5,7,9,na=_; （3） 1,4,9,16,25

3、,na=_;(4)1,2,4,8,16,na=_;(5)1,-1,1,-1,na=_;（二）例題分析：（二）例題分析：例例 1 1.寫出下列數列的一個通項公式：（1）0，53，78，35，1124（2）1， 3， 6， 10， 15例例 2 2.（2008 北京理）北京理）已知數列 na對任意的*pqN，滿足p qpqaaa，且26a ，那么10a等于（）A165B33C30D21例例 3.（2004 北京理、文）北京理、文）定義“等和數列” ：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。已知數列an是等和數列，且a1=2， 公和

4、為 5， 那么 a18的值為， 這個數列的前 n 項和 Sn的計算公式為。例例 4. (2008 重慶文、理重慶文、理)設各項均為正數的數列an滿足321122,(N*)nnnaaaan.（）若21,4a 求 a3,a4,并猜想 a2008的值（不需證明）;（三）基礎訓練：（三）基礎訓練：1.若數列的前四項為 1，0，1，0，則下列表達式不能作為該數列的通項公式的是（）A2) 1(1a1nnB2nsina2nC2nsinanD2cosn1an2.（2007 福建理福建理) 數列的前 n 項和為，若) 1n(n1an，則 S5等于（）A.1B.61C.65D.301（思考Sn=?）3.（2005

5、 湖南文）湖南文）已知數列na滿足)(133,0*11Nnaaaannn，則20a=（）A0B3C3D234(2007廣東文廣東文)已知數列an的前n項和Sn=n2-9n，則其通項an=；若它的第k項滿足5ak0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5的值等于 ()(A)5(B)10(C)15(D)202.（2007 陜西理陜西理）各項均為正數的等比數列 na的前n項和為Sn，若S10=2,S30=14,則S40等于（）（A）80（B）30(C)26(D)163(2008(2008 廣東理廣東理) )記等差數列 na的前 n 項和為nS，若211a，204S，則6S()A16B

6、. 24C. 36D. 484.4.（20062006 北京理）北京理）設4710310( )22222()nf nnN，則( )f n等于（）（A）2(81)7n（B）12(81)7n（C）32(81)7n（D）42(81)7n5(2008 四川文四川文) 設數列 na的前n項和為22nnnSa，（）求14,a a（）證明：21nnaa是等比數列；（）求 na的通項公式第第 04 講講等差數列與等比數列的簡單綜合問題選講等差數列與等比數列的簡單綜合問題選講1. (2008 全國全國卷文卷文) 等差數列 na中，410a 且3610aaa， ，成等比數列， 求數列 na前 20 項的和20S2

7、 （2007 山東文）山東文）設na是公比大于 1 的等比數列，nS為數列na的前n項和已知37S ，且123334aaa， ，構成等差數列（1）求數列na的通項公式（2）令31ln12nnban， ， ，求數列 nb的前n項和Tn3 (2008 江西文江西文) 等差數列na的各項均為正數，13a ， 前n項和為nS， nb為等比數列,11b ，且2264,b S 33960b S (1)求na與nb；(2)求和：12111nSSS4.（2006 浙江文）浙江文）若 Sn是公差不為 0 的等差數列 na的前 n 項和，且124,S SS成等比數列。()求數列124,S SS的公比。()若24S

8、 ，求 na的通項公式.5.(2007 全國全國文文)設an是等差數列,bn是各項都為正數的等比數列,且 a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13.()求an，bn的通項公式;()求數列nnba的前 n 項和 Sn.6 （2005 湖北文湖北文） 設數列na的前 n 項和為 Sn=2n2，nb為等比數列， 且.)(,112211baabba（）求數列na和nb的通項公式；（）設nnnbac ，求數列nc的前 n 項和 Tn.第第 0101 講講數列的概念數列的概念( (參考答案參考答案) )（一）基礎知識回顧：（一）基礎知識回顧：1.次序， 項， 首， 通；通項公式；前 n 項和。2

9、.有窮， 無窮。3.)2n( ,SS) 1n(,Sa1 -nn1n4.(1)n(2) 2n-1(3) n2(4)2n-1(5) (-1)n+1（二）例題分析：（二）例題分析：例例 1.1.(1)(1)12n1n) 1(a2nn, ,(2)(2)2) 1n(nan. .例例 2 2. C.例例 3.3. 3,3,為奇數為偶數，nnnSn,215n25; ;例例 4.解： （I）因 a1=2,a2=2-2,又.，所以42323222a， 823424222a由此有0)2(12a，1)2(22a，2)2(32a，3)2(42a，從而猜想 an的通項為*)N(21)2(nann,所以 a2008=20

10、07)2(2.（三）基礎訓練：（三）基礎訓練：1. C2. C3. B4 4102n , ,8 8. .5.1,6. _2 2_ .（四）鞏固練習：（四）鞏固練習：1A.2. _4 4_.3. _2n-112n-11_；3 3 _426002600.5 ._2 2n+1n+1-2-2_.6. 解：n1na,56a,45a,34a,23a, 2an54321第第 0202 講講等差數列（參考答案）等差數列（參考答案）（一）基礎知識回顧：（一）基礎知識回顧：1.1.第二第二，前一項前一項，同一個常數同一個常數，公差公差，d d ；2.2. a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d;

11、;3.3.2ba ; ;4.4.d2) 1n(nna2)aa (nS1n1n; ;5.(1)5.(1)(n-m)d(n-m)d, ,(5)(5)mdmd, ,(6)(6)n n2 2d d（二）例題分析：（二）例題分析：例例 1. B.例例 2.2. C.例例 3.3. 解： （）由已知得11213393 2aad，2d，故212(2)nnanSn n ，例例 4.4. 解（1）3,401010.102010ddaa，（2）)0(11010222030ddddaa，432110230da，當), 0()0,(d時，307.5,a .（三）基礎訓練：（三）基礎訓練：1.C2. B3.3. C.4

12、. B5 _7 7_ 6.解：設等差數列na的公差為 d，由dnnnaSn2) 1(1及已知條件得)2(9)33(121dada， ),2(46411dada由得12ad ，代入有12194aa , 解得.94011aa或當, 0,01da時舍去.因此.98,941da故數列na的通項公式98) 1(94nan).12(94n（四）鞏固練習：（四）鞏固練習：1B2. D3A4. 5. . C.6.解： （I）解由11111(1)(2)6aSaa，解得11a 或12a ，由假設111aS，因此12a ，又由111111(1)(2)(1)(2)66nnnnnnnaSSaaaa，得11()(3)0n

13、nnnaaaa，即130nnaa或1nnaa ，因0na ，故1nnaa 不成立，舍去因此13nnaa，從而 na是公差為3，首項為2的等差數列，故 na的通項為31nan第第 0303講講等比數列（參考答案）等比數列（參考答案）（一）基礎知識回顧：（一）基礎知識回顧：1.1.第二第二，前一項前一項，同一個常數同一個常數，公比公比，q q ；2.2. a an n=a=a1 1q qn-1n-1; ;3.3.ab; ;4.4.q-1qaaq-1)q1 (aSn1n1n; ;5.(1)5.(1) q q(n-m)(n-m), ,(5)(5) q qm m, ,(6)(6) q qn n（二）例題

14、分析：（二）例題分析：例例 1. B.例例 2 2. C例例 3.解： （1）由已知條件得112113nnnaaa，因為67320073，所以，使2007na 成立的最小自然數8n （2）因為223211234213333nnnT，2234212112342123333333nnnnnT，得：2232124111121333333nnnnT 2211231313nnnnnn22348333所以nnnnT22223162493（三）基礎訓練：（三）基礎訓練：1D.2.A3.A.4.31. .5.5.解：解： 設數列 na的公比為q，依題意，得) 1,.(24123146qqaaa6423153q

15、aaa，831qa. 2, 31,) 1 (8, 2, 31) 1 (82312231qqqaqqqa得式代入到將舍去。式，得代入到將.8511, 1, 2,25511, 1, 281818181qqaSaqqqaSaq當當（四）鞏固練習：（四）鞏固練習：1. . A.2.B.3D.4.4.D.5 【解】 ： （）因為1111,22aSaS，所以112,2aS由22nnnaS知11122nnnaS112nnnaS,得112nnnSa所以222122226,8aSS,3332228216,24aSS,443240aS（）由題設和式知 11222nnnnnnaaSS122nn2n所以12nnaa是

16、首項為 2，公比為 2 的等比數列。（）21112211222222nnnnnnnaaaaaaaa112nn第第 0404 講講等差數列與等比數列的簡單綜合問題選講（參考答案）等差數列與等比數列的簡單綜合問題選講（參考答案）1解：設數列 na的公差為d，則3410aadd，642102aadd，1046106aadd由3610aaa， ，成等比數列得23106a aa，即2(10)(106 )(102 )ddd，整理得210100dd， 解得0d 或1d 當0d 時，20420200Sa當1d 時，143103 17aad ，于是20120 19202Sad20 71903302. 解： （1

17、）由已知得1231327:(3)(4)3.2aaaaaa，解得22a 設數列na的公比為q，由22a ，可得1322aaqq，又37S ，可知2227qq，即22520qq，解得12122qq，由題意得12qq，11a故數列na的通項為12nna（2）由（1）得3312nna3ln23 ln2nnbn又13ln2nnnbb nb是等差數列12nnTbbb2ln2) 1(32)2ln32ln3(2)(1nnnnbbnn。3 （1）設na的公差為d， nb的公比為q，則d為正整數，3(1)nand，1nnbq.依題意有23 322(93 )960(6)64S bd qS bd q解得2,8dq或6

18、5403dq (舍去)故132(1)21,8nnnannb（2）35(21)(2)nSnn n 1211111111 32 43 5(2)nSSSn n11111111(1)2324352nn1111(1)2212nn32342(1)(2)nnn4解： （）設數列 na的公差為d,由題意，得2214SSS，所以2111(2)(46 )adaad因為0d ，所以12da，故公比214SqS（）因為2121114,2 ,224 ,Sda Saaa所以11,2ad因此21(1)21.aandn5解： （）設 na的公差為d， nb的公比為q，則依題意有0q 且4212211413dqdq ，解得2d ，2q 所以1 (1)21nandn ，112nnnbq（）1212nnnanb122135232112222nnnnnS ，3252321223222nnnnnS ，得22122221222222nnnnS221111212212222nnn 111121222