第18章曲線積分和曲面積分

1、第十八章 曲線積分和曲面積分§1 第一類曲線積分一、定義背景：在計算曲線段上的質(zhì)量分布問題時，我們曾把曲線段上的質(zhì)量轉(zhuǎn)化為如下一個有限和的極限，這個有限和的極限正是本節(jié)要介紹的第一類曲線積分，先給出數(shù)學定義。給定光滑曲線段，定義在上且連續(xù)，給定的一個分割：T：這里“”表示曲線上從A到B的順序。記（弧長），（分割細度）。定義1、設(shè)存在實數(shù)I，使對任意的，存在，使對任意分割，當時，對任意的，都成立：，稱I為在上的第一類曲線積分，記為。 其中稱為被積函數(shù)，l稱為積分路徑。 注、顯然，定義表明。注、有時用l表示弧長，因而，第一類曲線積分也記為。不論如何記第一類曲線積分，必須注意到第一類曲線積

2、分是對弧長的積分。注、其幾何意義為：時，（的弧長）。注、第一類曲線積分滿足類似的積分性質(zhì)（略）。二、計算從定義式可知，計算的本質(zhì)問題在于對的處理，下面，就以此為出發(fā)點導(dǎo)出其計算公式。先給出參數(shù)方程下的計算公式。設(shè)給定曲線段：是的，即。首先由定積分理論中弧長公式可知，對應(yīng)于某一參數(shù)段如的弧長可由如下定積分計算 事實上，利用定積分思想，弧長公式的推導(dǎo)過程大致如下 利用這一弧長公式可以得到第一類曲線積分的計算公式。定理1、設(shè)在上連續(xù)，則存在且。證明：對做任意分割T：對應(yīng)于形成一個分割記，則由定義， =其中，使得。利用弧長公式和中值定理，則，。故，= 其中： 。由三角不等式，由于，因而一致連續(xù)，故，對

3、當時，又，因而有界M，故：。因而，由定積分定義，=故，。對一般的曲線方程，都可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程形式，因此，定理1解決了第一類曲線積分的計算問題。下面給出幾個特例。注：特例：1、 對平面曲線：，則 ；2、 對平面曲線：，則 從計算公式知，第一類曲線積分的計算，關(guān)鍵是給出曲線的參數(shù)方程。例1：，：解：采用極坐標形式，則，故，。例2：其中l(wèi)由折線段OA、AB、BO組成且O(0,0)、A(1,0)、B(1,1).解：利用積分可加性，則其中各段方程如下：，；（可視為以為參數(shù)），（以為參數(shù)）BO：，（以為參數(shù)）故,。注意各種技巧的運用，如對等性對稱性等。例3：，。解：由于曲線關(guān)于對等，則，。因而，。例4：

4、，（閉曲線上的積分）解、由于關(guān)于軸對稱，且是的奇函數(shù)，故，。事實上，分為：，故：0。§2 第一類曲面積分一、 定義背景：在計算曲面上質(zhì)量分布時，我們曾導(dǎo)出質(zhì)量分布的計算公式為有限和的極，在其它應(yīng)用領(lǐng)域，也經(jīng)常遇到這類有限和的極限，因此，有必要在數(shù)學上建立相應(yīng)的理論，這就是第一類曲面積分。給定有界光滑曲面，定義在上，給定曲面的一個分割T：，對應(yīng)的每一個分割子塊的面積記為，分割細度仍記為。定義1、若存在實數(shù)I，使對任意分割T及任意選取的點，都有稱I為在上的第一類曲面積分，記為其中為被積函數(shù)，稱為積分曲面。注、類似的積分性質(zhì)（略）；注、幾何意義為，時，。二、 計算從第一類曲線積分的公式推導(dǎo)

5、可知，第一類曲面積分公式的建立，關(guān)健仍然是微小曲面的面積的計算。因此，我們首先處理，給出其計算公式；處理的思想為定積分中的近似方法微元法。我們知道，是分割后的小曲面塊，當分割很細時，曲面塊可近似為平面塊，故，我們從分析平面塊面積的計算入手。那么，如何計算平面塊的面積？我們僅知道：當平面塊落在坐標平面內(nèi)時，可以利用二重積分計算其面積，此時，問題解決。而當平面塊不落在坐標平面時，我們利用投影技術(shù)轉(zhuǎn)化為坐標平面內(nèi)平面塊面積的計算。這就是我們處理第一類曲面積分的思想。1、曲面面積的計算： 給定有界曲面 ：，設(shè)是光滑的，即，求的面積。情形1、特殊情形設(shè)落在平面中，又設(shè)與坐標面面的夾角為（銳角），在面的投

6、影區(qū)域為D，相應(yīng)的面積分別記為，則，故。當選取相對應(yīng)的鈍角為夾角時，有。情形2、一般情形 為一般光滑曲面：，顯然：D正是在面的投影區(qū)域。為了利用情形1處理，我們利用分割、近似計算的思想。對曲面進行分割T：，分割細度為；對應(yīng)于分割T，形成D的一個分割： ，分割細度記為。當T很細時，我們希望用某種平面塊代替曲面塊。在曲面上，選擇一個什么樣的平面塊來近似代替曲面塊？我們選擇相關(guān)的切平面塊。任取，由于是光滑的，故任一點都有切平面，過作平面，在上取出一小平面塊，使與具有相同的投影，當T很細時，。下面計算。由情形1，只計算與坐標面的夾角的余弦。這使我們聯(lián)想到切平面法線的方向余弦，記為的法線方向與軸正向的夾

7、角，則。由解析幾何理論知道，若平面方程為，則在（）點的法線方向為，其中，。故 ,又，因而，故，。因而，這就是曲面面積計算公式。注、當落在面的平面區(qū)域時，此時：，故，這與二重積分的幾何意義是一致的。注、從上述推導(dǎo)過程可知，還成立下述另一個計算公式：。其中為曲面上任意點的切平面的法線方向。注：若由參數(shù)方程給出，為計算此時的面積，將其轉(zhuǎn)化為已知的情形，為此，設(shè)由能確定隱函數(shù)，則。利用隱函數(shù)的求導(dǎo)，因而：若記，則，故，。因而又，若記，還有。例1：求球面含在柱面內(nèi)部的面積S。解：由對稱性，只計算其在第一卦限中的部分，此時， 曲面，其中D：。由于，故， 。2、第一類曲面積分的計算 利用曲面面積的計算公式，

8、很容易計算第一類曲面積分。定理1、設(shè)為定義在光滑曲面，上的函數(shù)，則。 事實上，由定義， =。其中。定理2、設(shè)光滑曲面，則，。通過上述定理可知，計算第一類曲面積分需要知道曲面方程和曲面的投影區(qū)域，在此基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為二重積分計算。例2：，：是平面上方的拋物面。解：在平面上的投影是：，故，.例3：，：，。解：在平面上的投影是：，故，注：注意到積分區(qū)域的對稱性和奇偶性： 。例4、計算下列曲面面積。1、z=axy（x>0,y>0）包含在圓柱內(nèi)的部分； 2、錐面與平面x+y+z=2a (a>0)所界部分的表面；解、1、由于曲面z=axy（x>0,y>0）在xoy平面內(nèi)的投影區(qū)域

9、為 ，由公式 2、所界的表面分為兩部分：落在錐面上的部分記為，落在平面上的部分記為，這兩部分在xoy平面有共同的投影，記為D，它是由交線的投影所圍的區(qū)域，即區(qū)域D由曲線所圍。對，由其方程可以計算 ，故 ；對則，故，故由公式 為計算上述二重積分，須對區(qū)域D的邊界曲線進行化簡，為此作變換 ，則D變?yōu)閰^(qū)域: ,即 。故 。 注、上述計算過程的難點在于將二次曲線標準化，轉(zhuǎn)化為橢圓曲線，因此，相應(yīng)的面積的計算轉(zhuǎn)化為橢圓面積的計算。§3第二類曲線積分一：背景變力做功問題：變力作用在質(zhì)點M 上，使質(zhì)點沿曲線從A點移至B點，求所做的功。設(shè)變力為，沿曲線從A點至B點進行分割T：，這里，表示順序。記，可

10、正可負，利用微元法，切在微元上將其近似為常力做功，則，變量做功為可以表示為下述有限和的極限，更多的應(yīng)用問題都可以表示為這類有限和的極限，數(shù)學上，這類有限和的極限就是第二類曲線積分。二：定義給定光滑曲線段：（始點為A，終點為B），為定義在上的有界函數(shù)，將沿從l始點A至終點B的方向分割：T：。記。定義1、若存在實數(shù)I，使對任意T及任意，使，稱I為沿曲線從A點至B點的對變量x第二類曲線積分，記為或者。注、從定義可知：第二類曲線積分與的方向有關(guān)。事實上，利用定義，易證：。注、幾何意義：時，。注、類似可定義：，。注、上述三個第二類曲線積分通常同時出現(xiàn)，合寫為：。注、當為平面曲線時，可定義第二類曲線積分。

11、注、當是平面上的封閉曲線時，上的任一點可視為始點，同時也是終點，規(guī)定l的方向為：沿行走時，所圍的區(qū)域總在左側(cè)-即常說的逆時針方向。三：第二類曲線積分的計算。給定曲線，設(shè)（1）是光滑的：；（2）不自交：和曲線上的點一一對應(yīng)；（3），且當由時，對應(yīng)點沿從A移至B。又設(shè)連續(xù)。定理1、在上述條件下成立。證明：對任意的沿從A移至B方向的分割T：，其中，表示順序。仍記，則由點與參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系：，使，即，因而得分割此處表示大小。 同樣，對任意，使。故，記，則 。注、上述公式仍是代入法，但注意對應(yīng)成立：的始點A對應(yīng)參數(shù)定積分下限；的終點B對應(yīng)參數(shù)定積分上限。注、其它情形類似；注、對自交的曲線可分段處理；注、從

12、公式可看出：第二類線積分的計算關(guān)鍵在于確定曲線的方向、參數(shù)方程，并注意對應(yīng)關(guān)系（包含曲線上點與參數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，參數(shù)與積分限的對應(yīng)關(guān)系）。注、相應(yīng)的積分性質(zhì)仍成立。例1、（1）為折線，方向由O(0,0)到P(1,1)，再由P(1,1)到B(2,0).如圖： （2）沿軸O到B：。解：（1）分段考慮：記，（以為參數(shù)） 。故， =+ =（2）：， 故：。例2：，：閉曲線如圖解：分段處理。記；從1變到-1；從1變到-1；。 故，；，故 ，I=0。例3、，為圓周曲線。解：如圖取A(a,0)為始點，則A同時也為終點，方向為逆時針方向，與此對應(yīng)，曲線的參數(shù)方程為，故， 。例4、，其中為在第一卦限中的邊界，

13、其方向為如圖的順時鐘方向，即從A(0,0,1)到B(0,1,0)再到C(1,0,0)。解、記為曲線上從A到B的這一段，按給定的方向和始點和終點的位置，參數(shù)方程為 ，從變到0，故。利用輪換對稱性。注、討論空間曲線與其投影曲線上第二類曲線積分的聯(lián)系。設(shè)空間曲線l落在曲面，為其在xoy平面上的投影曲線，則 （可由一般參數(shù)方程形式下轉(zhuǎn)化為定積分形式來證明。）四、二類曲線積分間的聯(lián)系給定曲線段和定義在l上的函數(shù)P(x,y,z)，則有如下兩類曲線積分：第一類曲線積分 ；第二類曲線積分如 。首先指出的是：兩類曲線積分是在上定義的兩類不同的積分，二者有明顯的區(qū)別，這些區(qū)別從定義和計算公式中都可以反映出來；但如

14、上所示的兩類曲線積分又是同一函數(shù)在同一曲線上的積分，應(yīng)該有聯(lián)系；下面，我們來尋找二者的聯(lián)系。對二者作簡單分析：從計算公式可知，二者都可以轉(zhuǎn)化為定積分計算，由此，確定解決問題的一個思路：二者能否轉(zhuǎn)化為同一種形式的定積分，由此建立其聯(lián)系。進一步分析計算公式可知，二者都將轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的定積分，能否轉(zhuǎn)化為同一個參數(shù)的定積分？因此，必須選擇一個合適的參數(shù)將二者聯(lián)系起來，這個合適的參數(shù)就是弧長。設(shè)，對點，取弧長為參數(shù)，則參數(shù)方程可寫為：（l還表示曲線l 的長度）。顯然 ，當從0單增至時，M從始點A沿移至B，取曲線上每一點的切線方向與曲線的方向一致，并以表示選定的切線方向與三個坐標軸正向的夾角，則 ,故，

15、 另外，根據(jù)第一類線積分的計算公式則， 故，；類似，；。因而也有。這就是兩類曲線積分關(guān)系式。§4 第二類曲面積分一、曲面的側(cè)曲面是日常生活中常見的幾何圖形，就我們對曲面的直接的認識看，曲面應(yīng)有兩個側(cè)面，常說的正面和背面，這類曲面為雙側(cè)曲面。如一張白紙就是一個簡單的雙側(cè)平面，這種曲面具有這樣的性質(zhì)：假設(shè)小蟲子在曲面上沿閉路爬行，不經(jīng)過邊界，回到原位仍在同一側(cè)。但是，確實存在只有一個側(cè)的曲面單側(cè)曲面，如Mobius帶，它具有這樣的性質(zhì)：從曲面上任一點不經(jīng)過邊界可達到曲面上任一點；或者曲面上任意兩點都可以用不經(jīng)過邊界的曲線連接。我們本節(jié)要介紹的積分，就與曲面的側(cè)有關(guān)。那么，如何從數(shù)學上給出

16、這些曲面嚴格的定義？設(shè)是非閉的光滑曲面，因而每一點都有切平面和有兩個相反的法線方向，動點M從定點出發(fā)，沿上一個不過的邊界的閉路從出發(fā)再回到點，取定的一個法線方向為出發(fā)時的方向，當M從點連續(xù)運動時，法線方向也是連續(xù)變化。定義1、若動點M沿任意的閉路從出發(fā)又回到時，指定的法線方向不變，則稱為雙側(cè)曲面；若存在一個閉路，使得動點M沿從出發(fā)又回到時，指定的法線方向與原指定的法線方向相反，稱為單側(cè)曲面。注、常見的都是雙側(cè)曲面，因而，今后我們只討論雙側(cè)曲面。既然是雙側(cè)曲面，其必有兩個側(cè)，因而須指明曲面的側(cè)，用于表明曲面的方向。二：雙側(cè)曲面的方向這里，我們給出雙側(cè)曲面的兩個側(cè)的描述，用于規(guī)定側(cè)的方向。設(shè)是雙側(cè)

17、曲面，任取，選定的切平面法線的其中的一個方向，則上其它任何一點的法向也確定：當不越過邊界移至此點時對應(yīng)的法向，由此就確定了曲面的一個側(cè)，改變選定的法向，即得另一側(cè)。側(cè)的定量描述：給定光滑曲面：，具連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，因而上任一點都存在切平面，點處的法線的方向余弦為 ，其中對應(yīng)于兩個相反的法向。因而，選定一個符號，確定一個對應(yīng)的法向，進而確定曲面的一個側(cè)。各種側(cè)的規(guī)定：下面對經(jīng)常遇到的幾種側(cè)預(yù)以約定：相對于軸方向：為銳角，對應(yīng)的側(cè)為上側(cè)； 為鈍角，對應(yīng)的側(cè)為下側(cè)。注、時，軸落在曲面內(nèi)，相對軸沒有側(cè)，但可有如下的約定：相對于軸方向：為銳角，稱對應(yīng)的側(cè)為右側(cè)； 為鈍角，對應(yīng)的側(cè)為左側(cè)。相對于軸方向：為銳角，

18、稱對應(yīng)的側(cè)為前側(cè)； 為鈍角，稱對應(yīng)的側(cè)為后側(cè)。注、有時即可看成具上、下側(cè)的曲面，又可視為具右左式或前后側(cè)的曲面；（可根據(jù)觀察者的視角和要求來規(guī)定）我們規(guī)定封閉曲面的側(cè)：向著所圍立體的一側(cè)為內(nèi)側(cè)； 背著所圍立體的一側(cè)為外側(cè)。注、為討論上的簡便，我們引入無重點曲面。設(shè)，若D中點和上的點是一一對應(yīng)的，即一對參數(shù)只能確定唯一的點，稱為無重點曲面。注、存在有重點曲面如閉球面。 對有重點曲面可通過分割化為無重點曲面，因而今后涉及的非封閉曲面都視為無重點曲面。三、第二類曲面積分的定義1背景不可壓縮流體的流量問題。設(shè)不可壓縮流體（密度為1）的流速為，計算單位時間內(nèi)通過定向曲面的流量。1）、特殊情形假設(shè)流速為常

19、數(shù)，流經(jīng)的曲面為平面，其正向?qū)?yīng)的流向為常數(shù)向量（即平面的法線方向），平面的面積為S，則流量為。2）、一般情形我們利用微元法將其轉(zhuǎn)化為特殊情形來處理，即通過對曲面的分割，將其分割成n個小曲面塊，在每一個小曲面塊（微元）上，將其近似視為情形1，即小曲面塊近似為平面，曲面塊上任一點對應(yīng)的流速和法向視為整個小曲面塊近似平面上的常數(shù)流速和法向，通過求和，取極限，將流量計算轉(zhuǎn)化為下述和式的極限：而為曲面塊上選定點的對應(yīng)的法向，利用面積計算公式，正是第i個小曲面塊在面上投影區(qū)域的面積，類似，、是在、面上投影區(qū)域的面積。上述微元法解決流量問題的過程中產(chǎn)生的有限和的極限，很自然地產(chǎn)生某種積分，顯然，這種積分就

20、是本節(jié)將要介紹的第二類曲面積分。當然，第二類曲面積分的背景不僅是流量的計算問題，工程技術(shù)中，很多問題的解決都會產(chǎn)生上述有限和的極限，因此，第二類曲面積分具有廣泛的應(yīng)用背景。在上述有限和的最后3個形式中，采用不同的形式，會從不同的角度引入不同形式的第二類曲面積分。我們將從第三個形式出發(fā)引入第二類曲面積分，為此先引入?yún)^(qū)域的有向投影及其相關(guān)概念。2、雙側(cè)曲面的有側(cè)（向）投影和有側(cè)面積情形1、為具有上、下側(cè)的雙側(cè)曲面定義2、設(shè)D是平面內(nèi)具有上、下側(cè)的雙側(cè)平面區(qū)域，如果實數(shù)滿足：，其中為區(qū)域D的面積，稱為雙側(cè)平面區(qū)域D的有側(cè)（向）面積。設(shè)是具上、下側(cè)的雙側(cè)曲面，D是在平面內(nèi)的投影區(qū)域，則D是具上、下側(cè)的

21、雙側(cè)平面區(qū)域。定義3、稱雙側(cè)平面區(qū)域D為雙側(cè)曲面在平面內(nèi)的有側(cè)（向）投影（區(qū)域）。其中，D的上側(cè)對應(yīng)于的上側(cè)，下側(cè)亦對應(yīng)。注、當D為雙側(cè)曲面的有側(cè)投影時，就可定義D的有側(cè)面積。注、有側(cè)面積是相對幾何量，可正也可以負。情形2、為具有左、右側(cè)的兩側(cè)曲面時，可類似定義其在平面內(nèi)的有側(cè)投影區(qū)域及相應(yīng)的有側(cè)面積。情形3、為具有前后兩側(cè)的曲面時，亦然。3、第二類曲面積分的定義我們將從不同角度引入雙側(cè)曲面的各種第二類曲面積分的定義。設(shè)是非閉的具有上、下側(cè)的光滑曲面，作的分割,則對應(yīng)于平面內(nèi)的有側(cè)投影區(qū)域D，形成對應(yīng)的分割，設(shè)定義在上，仍記。定義4、若存在實數(shù)I，使對任意分割T及任意點，都成立：其中為有側(cè)投影

22、區(qū)域的有側(cè)面積，稱I為在上沿取定一側(cè)的關(guān)于的第二類曲面積分，記為。注、由定義知：第二類曲面積分和曲面的側(cè)有關(guān)，因此，提到第二類曲面積分時，必須指明曲面的側(cè)。注、取定的側(cè)在定義中的作用是用來確定有側(cè)投影區(qū)域的有側(cè)面積。事實上，由定義，當取定的上側(cè)時，由于，此時=；當取定的下側(cè)時，由于，故=。因而，若用表示指定一側(cè)的雙側(cè)曲面的另一側(cè)，則。注、類似可以定義下述兩類曲面積分。對具有前、后兩側(cè)的光滑曲面，可以定義在曲面上沿給定一側(cè)的關(guān)于y、z的第二類曲面積分。對具有左、右兩側(cè)的光滑曲面，可以定義在曲面上沿給定一側(cè)的關(guān)于z、x的第二類曲面積分。注、特別注意三個第二類曲面積分的積分變量的順序，這是習慣寫法。

23、注、一般地：對曲面，從軸方向看去，它有上、下兩側(cè)，從軸方向看有右、左兩側(cè)，從軸方向看，有前后兩側(cè)。因而，在同一個曲面上，可同時定義三種第二類曲面積分，簡記為： ，其中，積分沿給定的一側(cè)。此時，對給定的一側(cè)：（通常并不以上下、左右、前后側(cè)指明）當從軸方向看時，它或為上側(cè)、或為下側(cè)，故可計算，而當從軸方向看時，它或為右側(cè)、或為左側(cè)，故可計算，而當從軸方向看時，它或為前側(cè)、或為后側(cè)，因而可計算。注、背景中的流量問題正是流速在曲面上關(guān)于流向的第二類曲面積分。注、特殊情形1、若平行于軸，即是母線平行于軸的柱面，則在平面的投影為一條曲線，此時=0，故=0；2、若是母線平行于軸的柱面，則=0；3、若是母線平

24、行于軸的柱面，則。四、第二類曲面積分的計算。首先計算，沿取定的一側(cè)。此時，設(shè)定為具有上、下兩側(cè)的雙側(cè)曲面，因而可表示為顯然：D是在平面內(nèi)的投影區(qū)域，又設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)。由定義，當取上側(cè)時，則，其中：。當取下側(cè)時，則 。其次，計算，沿取定的一側(cè)。此時，設(shè)定為具前、后兩側(cè)的雙側(cè)曲面，故可表示為 ，其中D為在平面內(nèi)的投影，因而，取的前側(cè)時，；取的后側(cè)時，。最后，沿取定的一側(cè)計算。此時，設(shè)定為具右、左兩側(cè)的雙側(cè)曲面，故可表示為 ，其中D為在平面內(nèi)的投影，因而，取的右側(cè)時，；取的左側(cè)時，。特別強調(diào)，沿空間曲面的第二類曲面積分有三種類型，對每一種類型的第二類曲面積分的計算，都需要將曲面視為相應(yīng)的類型才能計

25、算。通過上述分析，第二類曲面積分計算的步驟為：1）、明確要計算的第二類曲面積分的類型；2）、確定相應(yīng)的曲面形式（包括方程形式和投影）；3）、確定曲面的側(cè)；4）、代入公式計算。注、計算過程中，經(jīng)常利用積分可加性，將曲面按計算對象的不同進行分割。五、例子例1、計算，其中是如圖四面體的表面，積分沿處側(cè)進行。解、先計算。由于，顯然。對，由于的外側(cè)從軸方向看為下側(cè)，故，。對：，由于的外側(cè)從軸方向看為上側(cè)，故，故。再計算，由于、在平面的投影為直線段，故，。對：，此時，外側(cè)從軸看為后側(cè)，故。對：，外側(cè)從軸看為前側(cè)，故，故。最后計算，顯然。對于，外側(cè)為左側(cè)，故，；對于，外側(cè)為右側(cè)，故，故。因而，。注、側(cè)的判斷特殊點方法，由雙側(cè)曲面的定義，曲面上任一點的法線方向決定曲面的側(cè)，因而，可以通過曲面上特殊的點法向確定側(cè)的方向。例2：計算，為球面，取外側(cè)。解、由于球面為有重點的封閉曲面，計算時須分割為無重點曲面。 先計算，此時須將球面分割為上半球面和下半球面，在平面的投影區(qū)域為：。顯然，的外側(cè)相對于z軸為上側(cè)；而的外側(cè)相對于z軸為下側(cè)（可以通過z軸上的球面的兩個頂點的法向確定側(cè)的