第5章矩陣的特征值與特征向量

1、第五章 矩陣的特征值與特征向量一、矩陣的特征值與特征向量的概念、性質(zhì)及方法 （一）矩陣的特征值與特征向量及其相關(guān)概念1. 矩陣的特征值與特征向量的概念設(shè)A 是n 階矩陣，若存在數(shù)及非零的n 維列向量，使得A =(0 成立，則稱是矩陣A 的特征值，稱非零向量是矩陣A 屬于特征值的特征向量，特征向量為非零向量2. 矩陣的特征多項式與特征方程的概念行列式f ( =E -A 稱為矩陣A 的特征多項式；E -A =0稱為矩陣A 的特征方程特征方程E -=0是的n 次方程，它的n 個根就是矩陣A 的n 個特征值 若是A 的特征值，則E -A =0，E -A 是不可逆矩陣 Ax =0的基礎(chǔ)解系就是=0的線性

2、無關(guān)的特征向量 若r (A =1，則A 的n 個特征值是1=（二）特征值與特征向量的性質(zhì)1. 如果1，2都是特征值i 所對應(yīng)的特征向量，則1，2的線性組合k 11+k 22（非零時）仍屬于i 的特征向量（i 的特征向量不唯一，但一個特征向量只能屬于一個特征值）2. 屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的，并且當i 時矩陣A 的k 重特征根時，矩陣A 屬于i 的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)不超過k 個；因A 只有n 個特征值，故A 的特征向量雖有無窮多個，但線性無關(guān)的至多只有aii，1=. n =0n 個，并且若1，2是矩陣A 的不同特征值，1，2分別是1，2的特證向量，則1，2的線性組合k 11+k

3、 22不再是A 的特證向量3. 特征值的和等于矩陣主對角線上元素之和，特征值的乘積等于A 行列式的值=ai i =1i =1n niii =1Tni=A4. n 階矩陣A 和它的轉(zhuǎn)置矩陣A 有相同的特征值 用特征方程的轉(zhuǎn)置去證明 5. n 階矩陣可逆的充要條件是它的任一特征值均不等于06. 若是矩陣A 的特征值，則對任何正整數(shù)k ，是A 的特征值（三）特征值與特征向量的求法1對于抽象矩陣，要根據(jù)特征值與特征向量的定義及其性質(zhì)推導出特征值的取值A(chǔ) =(0 2對于具體的數(shù)字矩陣，應(yīng)先有特征方程E -A =0，求出矩陣A 的全部特征值，其中有可能重根，然后對每個不同特征值i ，分別解齊次方程(i E

4、 -A x =0。設(shè)r (i E -A =r i ，如果求出方程組的基礎(chǔ)解系（即矩陣A 關(guān)于特征值i 的線性無關(guān)的特征向量）1, 2,., n -r i ，則矩陣A 屬于特征值i 的全部特征向量kkk 11+k 22+. +k n -r i n -r i ，其中k 1，k 2，. ，k n -r i 是不全為0的任意常數(shù)二、相似矩陣的概念與性質(zhì) （一）相似矩陣的概念-1設(shè)A ，B 是n 階矩陣，如存在可逆矩陣P AP =B ，則稱矩陣A 與B 相似，記為A B(二 相似矩陣的性質(zhì)1. 如A BE -A =E -B ，從而A ，B 有相同的特征值 a ii =b ii （A ，B 有相同的跡）i

5、 =1i =1nnr (A =r (B 秩相同 =Bn n -1-1n n -12. 如A B ，設(shè)P AP =B ，則P (A +kE P =B +kE 、A +kE =B +kE ； P A P =B 、A =B T T3. 如A B ，則A B-1-14. 如A B ，且A ，B 都可逆，則A B5. 如A B ，B C ，則A C三、矩陣可相似對角化的充要條件及解題步驟（特征值與對角矩陣的關(guān)系） (一 矩陣可相似對角化的概念n 階矩陣A 如果和對角矩陣相似，則稱A 可以相似對角化，記成A ，并稱是A 的相似標準型P -1AP =，則對角線上的元素都是A 的全部特征值，P 的每一列是對應(yīng)

6、的特征向量（二）矩陣可相似對角化的充要條件1. A 與對角矩陣相似的充要條件A （1）A 有n 個線性無關(guān)的特征向量（2）對于矩陣A 的每個n i 重特征值i ，其線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)恰好等于該特征值的重根數(shù)n i ，亦即秩r (i E -A =n -n i 如果A ，且0是n i 重特征根，則0應(yīng)有n i 個線性無關(guān)的特征向量，即齊次方程組(0E -A x =0的基礎(chǔ)解系應(yīng)含有n -r (0E -A =n i 個向量，故可通過秩r (i E -A 來判斷A 是否能對角化n 列的數(shù)量（階數(shù)）r 特征矩陣的秩=n i 重根的數(shù)量或n i 重特征值必有n i 個線性無關(guān)的特征向量2. A 與對

7、角矩陣相似的充分條件（1）A 有n 個不同的特征值； （2）A 是實對稱矩陣（一定能對角化）A (三 相似對角化A 為對角矩陣的解題步驟先求出A 的特征值1，2，. ，n 再求所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量1，2，. ，n12-1 構(gòu)造可逆矩陣P =(1，2，. ，n ，則P AP =. n （四）實對稱矩陣的特性及用正交矩陣化A 為相似矩陣標準形的解題步驟（要求P 是正交矩陣）1. 實對稱矩陣的特性P =P（1）實對稱矩陣必可對角化（2）特征值全是實數(shù)，特征向量都是實向量 （3）不同特征值的特征向量相互正交（4）n i 重特征值必有n i 個線性無關(guān)的特征向量，或者說必有秩r (i E -A =

8、n -n i2. 用正交矩陣化實對稱矩陣A 的解題步驟可用正交化變換化實對稱矩陣A 為相似標準形，解題步驟類同（三），只是要保證P 是正交矩陣，為此求出特征向量后因改造特征向量（1）當實對稱矩陣A 的特征值相互不同時，僅需要把特征向量單位化就可用來構(gòu)造矩陣P（2）當特征值有重根i 時，要檢查特征向量是否正交，否則必須對i 的特征向量用施密特正交法處理，才能構(gòu)造正交矩陣P （第三章，前提是線性無關(guān)，因為不同特征值的特征向量線性無關(guān)，記得單位化）（注）掌握用正交變換化實對稱矩陣為對角形的方法，經(jīng)常與二次型聯(lián)系在一起，僅實對稱矩陣才能用正交變換化為對角形-1T題型總結(jié)1. 求矩陣的特征值和特征向量；

9、2. n 階矩陣A 能否相似對角化的判定；3求相似時可逆矩陣P ；4；求矩陣A 中的參數(shù)；5. 用特征值和特征向量反求A ；6. 相似對角化的應(yīng)用求A ；7，有關(guān)實對稱矩陣的問題；，都是n 維列向量，A =的秩為1；線性相關(guān)；行向量相關(guān)，秩向量線性相關(guān)；有特征值0（n-1重） 求A B 的逆矩陣，要運用來過渡，求兩次的可逆矩陣，再運算設(shè)矩陣A 的特征值為a ，b ，c ；則A +kE 的特征值為a +k ，b +k ，c +kn nA =A =nT設(shè)A 是3階矩陣，1，2，3是3維線性無關(guān)的列向量，且（應(yīng)聯(lián)想到矩陣P 的特點）A 1=41-42+33 A 2=-61-2+3 A 3=04-60

10、湊形式-4-10則A (1, 2, 3 =(41-42+31，-61-2+1，0 =(1, 2, 3 310設(shè)A 是n 階矩陣，A =E +xy ，x 、y 都是n 維列向量，且y x =2，求A 的特征值、特征向量2T令B =xy ，B =2B A 的特征值為1(n -1重和3；B =(1, 2,. n ；B i =2i 特征向量為1列向T T量（B =xy =(1, 2,. n ）秩為1，行向量相關(guān)，秩向量線性相關(guān)；有特征值為0；特征值0對應(yīng)的特征向量為(n -1重TA -A =0A (A -E =0 r (A +r (A -E n r (A +r (A -E =r (A +r (E -A

11、 r (E =n 這一章考逆矩陣的運算，要十分細心 實對稱矩陣的特征向量正交當已經(jīng)知道矩陣特征向量的時候，運用定義代入求得特征值，求逆矩陣，運算 求正交矩陣P ，使得P AP =記得單位化A 的特征值、特征向量與A 、A 的特征值、特征向量的關(guān)系 Q 是正交矩陣；QQ T =E ；Q T =Q -1 ；Q -1AQ =Q T AQ 施密特正交化（前提條件是線性無關(guān)）若1, 2,., s 線性無關(guān)，則可構(gòu)造1, 2,., s 使其兩兩正交，且i 是1, 2,., s 的線性組合，再把i 單位化。記i =*T-12i，則1, 2,., s 是規(guī)范正交向量組 i(, (, (2, 11；3=3-31

12、1-322(1, 1 (1, 1 (2, 2其中1=1；2=2-實對稱矩陣B ，已知特征值為-2，1,1；特征值-2對應(yīng)的特征向量為(1，-1, 1 T ；可以設(shè)特征值1的特征向量為(x 1，x 2, x 3 T x 1-x 2, +x 3=0不同特征值的特征向量正交；知道一個特征向量求其他特征向量設(shè)A 是n 階正交矩陣，是A 的實特征值，則T =T A T A =(A A =2T 是相應(yīng)的特征向量，T因此=±1設(shè)A 、B 均是n 階矩陣，則AB 與AB 具有相同的特征值 AB 0=00 B A B 0=0B 0 B 0不等于0設(shè)A 、B 均是n 階矩陣，且秩r (A +r (B n ，則A 、B 有公共的特征向量（第四章公共解相似） r (A =r r (A =s A 的基礎(chǔ)解系n -r B 的基礎(chǔ)解系n -s ；n -r +n -s 大于n ；因此基礎(chǔ)解系線性相關(guān)若任一n 維非零向量都是n 階矩陣A 的特征向量，所以A 有n 個線性無關(guān)的特征向量，從而A 可以對角化，1=2=. =n ；A 是數(shù)量矩陣；線性表示；A (1+2+3 =(1+2+3 =11+22+33因為1、2、3線性無關(guān)，因此1=2=3設(shè)A 是3階矩陣，且有3個互相正交的特征向量，則P 是正交向量，A T =P P