第二章 高階導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度. .),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的的變變化化率率對對時時間間是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù)在點在點為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(33d

2、xydyxf 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), .,),(44)4()4(dxydyxf記記作作階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù)階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱稱為為一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為零零階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)地地xfxf 二、二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)求法舉例1.1.直接法直接法: :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).例例1 1).0(),0(,a

3、rctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf; 0 0322)1()13(2)0( xxxf. 2 例例2 2.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x)1(2 xy3)2)(1( x)1()1()1()( nxnynn則則為自然數(shù)為自然數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例3)(1110nnnnnyaxaxaxay求求 解解1221102)1( nnnnaxaxanxnay231202)2)(1()1( nnna

4、xannxannyknknknkakxaknnnxaknnny !)()2)(1()1()1(110)(0)(!anyn 注意注意: : 求求n n階導(dǎo)數(shù)時階導(dǎo)數(shù)時, ,求出求出1-31-3或或4 4階后階后, ,不要急于合不要急于合并并, ,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性, ,寫出寫出n n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(.(數(shù)學(xué)歸納數(shù)學(xué)歸納法證明法證明)逐階求導(dǎo)，尋求規(guī)律，寫出通式逐階求導(dǎo)，尋求規(guī)律，寫出通式例例4 4.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn例例5 5.,s

5、in)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn同理可得同理可得)2cos()(cos)( nxxn例例6 6.),(sin)(naxybabxey求求為為常常數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 2.

6、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)的運算法則:則則階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)具具有有和和設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()()()(nnnvuvu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲公式萊布尼茲公式例例7 7.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21

7、920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex例例8)0(arctan)()(nfxxf，求，求設(shè)設(shè) 解解得得由由211)(xxf 1)()1(2 xfx由由Lebniz公式，兩邊求公式，兩邊求 n 階導(dǎo)數(shù)，有階導(dǎo)數(shù)，有0)()1()(2 nxfx0)1()(! 2)1()1()()1()(2)2(2)1(2)( xxfnnxxfnxxfnnn0)()1()(2)()1()1()()1(2 xfnnxnxfxfxnnn得得令令0 x0)0()1()0()1()1( nnfnnf注意到注意到1)0(, 0)0( ff0)0()2( nf)!2()1()0(

8、)12(nfnn 注注這一解法的特點：找到了這一解法的特點：找到了xyarctan 的連續(xù)三階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用的連續(xù)三階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，利用0 x得到兩相隔導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，解決問題得到兩相隔導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，解決問題 3.3.間接法間接法: : 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則通過四則運算運算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()()2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnnnnxnx )1()1()

9、()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( 1)(!)1()1( nnnxnx例例9 9.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例1010.,cossin)(66nyxxy求求設(shè)設(shè) 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn例例11試從試從ydydx 1導(dǎo)出導(dǎo)

10、出322)(yydyxd 5233)()(3yyyydyxd 解解)()(yxxyy yxy 得得由由ydydx 1)1()(22ydyddydxdyddyxd dydxydxd )1(yyy 1)(123)(yy )(2233dyxddyddyxd )(3yydyd dydxyydxd )(3yyyyyyy 1)()(3)(62352)()(3yyyy 注注關(guān)于抽象函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，必須注意并分清是對哪關(guān)于抽象函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，必須注意并分清是對哪一個變量來求導(dǎo)數(shù)，尤其是求高階導(dǎo)數(shù)。一個變量來求導(dǎo)數(shù)，尤其是求高階導(dǎo)數(shù)。yydxyddxdy ,22都是對都是對 x 求導(dǎo)求導(dǎo))( )(22xfxf 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)對對復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)xxfyxf)( )(22 代代回回求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)再再用用對對即即是是22)()()(2xuuufyufxfxu 三、小結(jié)三、小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;高階導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)的運算法則(萊布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導(dǎo)數(shù)的求法階導(dǎo)數(shù)的求法;1.直接法直接法;2.間接法間接法.思考題思考題設(shè)設(shè) 連續(xù)，且連