MATLAB 一對(duì)同號(hào)點(diǎn)電荷電場的研究

1、一對(duì)同號(hào)點(diǎn)電荷電場的研究湖南大學(xué) XX院系 XX 專業(yè) XX年級(jí)姓名 學(xué)號(hào)問題(1)兩個(gè)同號(hào)點(diǎn)電荷帶電量分別為Q1和Q2，相距為2a，畫出二維電場線和等勢線。 (2)畫出兩個(gè)等量同號(hào)點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度的兩個(gè)分量Ex和Ey關(guān)于坐標(biāo)x和y的曲面，當(dāng)y或x一定時(shí)，畫出Ex和Ey的隨x或y變化的曲線簇。數(shù)學(xué)模型(1)如圖1所示，等量同號(hào)點(diǎn)電荷在場點(diǎn)P(x,y)產(chǎn)生的電勢為kQkQU=1+2， (1)r1r2其中r1=(2a) r2= (2b)電場強(qiáng)度可根據(jù)電勢梯度計(jì)算E = -U， (3)其中，劈形算符為圖1=在xy平面上，場強(qiáng)只有兩個(gè)分量i+j+k。 (4) xyzU， (5a) xEx=-Ey=-M

2、ATLAB有計(jì)算梯度的指令，可直接計(jì)算梯度。為了便于數(shù)值計(jì)算，電勢可化為U。 (5b) yU=U0*， (1*)其中，x* = x/a，y* = y/a，U0 = kQ1/a，q* = Q2/Q1。U0是Q1在原點(diǎn)產(chǎn)生的電勢，q*是電荷比。場強(qiáng)可表示為U0U*U， Ex=-=-xa(x/a)U*即 Ex=-E0， (5a*) *x其中，E0 = U0/a，U* = U/U0。同理可得U*Ey=-E0*， (5b*) y電場強(qiáng)度可通過約化電勢計(jì)算。電場線可根據(jù)電場強(qiáng)度繪制。電場線從正電荷發(fā)出，當(dāng)電場線的起點(diǎn)離電荷很近時(shí)，可認(rèn)為起點(diǎn)繞電荷是均勻分布的。程序P1.m如下。%同號(hào)點(diǎn)電荷對(duì)的電場線和等勢

3、線clear %清除變量q=1; %電量比xm=2.5; %橫坐標(biāo)范圍ym=2; %橫坐標(biāo)范圍x=linspace(-xm,xm); %橫坐標(biāo)向量y=linspace(-ym,ym); %縱坐標(biāo)向量X,Y=meshgrid(x,y); %設(shè)置坐標(biāo)網(wǎng)點(diǎn)R1=sqrt(X+1).2+Y.2); %第一個(gè)正電荷到場點(diǎn)的距離R2=sqrt(X-1).2+Y.2); %第二個(gè)正電荷到場點(diǎn)的距離U=1./R1+q./R2; %計(jì)算電勢u=1:0.5:4; %等勢線的電勢向量figure %創(chuàng)建圖形窗口contour(X,Y,U,u) %畫等勢線grid on %加網(wǎng)格legend(num2str(u

4、9;) %圖例hold on %保持圖像plot(-xm;xm,0;0) %畫水平線plot(0;0,-ym;ym) %畫豎直線plot(-1,0,'o','MarkerSize',12) %畫第一個(gè)正電荷plot(1,0,'o','MarkerSize',12) %畫第二個(gè)正電荷Ex,Ey=gradient(-U,x(2)-x(1),y(2)-y(1);%用電勢梯度求場強(qiáng)的兩個(gè)分量dth1=20; %左邊電場線角度間隔th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180; %電場線的起始角度r0=0.1; %電場線起點(diǎn)

5、半徑x1=r0*cos(th1)-1; %電場線的起點(diǎn)橫坐標(biāo)y1=r0*sin(th1); %電場線的起點(diǎn)縱坐標(biāo)streamline(X,Y,Ex,Ey,x1,y1) %畫左上電場線streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x1,-y1) %畫左下電場線dth2=dth1/q; %右邊電場線角度間隔th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180; %電場線的起始角度x2=r0*cos(th2)+1; %電場線的起點(diǎn)橫坐標(biāo)y2=r0*sin(th2); %電場線的起點(diǎn)縱坐標(biāo)streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2) %畫右上電場線streamline(X,-Y,

6、Ex,-Ey,x2,-y2) %畫右下電場線axis equal tight %使坐標(biāo)刻度相等title('同號(hào)點(diǎn)電荷的電場線和等勢線','fontsize',20)%顯示標(biāo)題xlabel('itx/a','fontsize',16) %顯示橫坐標(biāo)ylabel('ity/a','fontsize',16) %顯示縱坐標(biāo)text(-xm,ym-0.5,'電勢單位:itkQrm_1/ita','fontsize',16)%顯示電勢單位txt='電荷比:itQrm_

7、2/itQrm_1=' num2str(q);%電荷比文本text(-xm,-ym+0.5,txt,'fontsize',16) %顯示電荷比圖解(1)如圖2所示，電場線從正電荷出發(fā)，終止在無窮遠(yuǎn)處。電場線與等勢線垂直，任何兩條電場線都不相交。(2)電勢較高的等勢線分別包圍著電荷，電勢較低等勢線包圍著兩個(gè)電荷。電場強(qiáng)度大的地方，電場線較密，等勢線也較密。(3)當(dāng)兩個(gè)電荷的電量相等時(shí)，電場線和等勢線對(duì)中垂線是對(duì)稱的。當(dāng)兩個(gè)電荷的電量不相等時(shí)，電場線和等勢線對(duì)中垂線都不對(duì)稱，如圖3所示，但是電場線與等勢線仍然垂直。圖2 圖3數(shù)學(xué)模型(2)設(shè)兩個(gè)點(diǎn)電荷的電量為Q，場點(diǎn)P(x,

8、y)的場強(qiáng)的x分量為Ex=場強(qiáng)的y分量為 kQkQcos+cos2， 122r1r2Ey=利用三角關(guān)系得 kQkQsin+sin2。 122r1r2Ex=kQ(x+a)kQ(x-a)+， (6a) 223/2223/2(x+a)+y(x-a)+yEy=kQykQy。 (6b) +223/2223/2(x+a)+y(x-a)+y可見：Ex是x的奇函數(shù)，是y的偶函數(shù)；Ey是x的偶函數(shù)，是y的奇函數(shù)。Ex和Ey的空間分布比較復(fù)雜，需要通過曲面和曲線顯示其分布規(guī)律。取E0 = kQ/a2為電場強(qiáng)度單位，則電場強(qiáng)度的分量可表示為x*+1x*-1Ex=E0+， (6a*) (x*+1)2+y*23/2(x

9、*-1)2+y*23/2Ey*y*y=E0(x*+1)2+y*23/2+(x*-1)2+y*23/2。程序P2.m如下。%等量同號(hào)點(diǎn)電荷對(duì)的電場強(qiáng)度分量的曲面和電場強(qiáng)度分量的曲線簇clear %清除變量r13='(x+1).2+y.2).(3/2)' %場點(diǎn)到左邊端點(diǎn)的距離的三次方字符串 r23='(x-1).2+y.2).(3/2)' %場點(diǎn)到右邊端點(diǎn)的距離的三次方字符串 Ex=inline('(x+1)./' r13 '+(x-1)./' r23);%場強(qiáng)的x分量內(nèi)線函數(shù) Ey=inline('y./' r13

10、 '+y./' r23); %場強(qiáng)的y分量內(nèi)線函數(shù)fs=16; %字體大小xm=3; %橫坐標(biāo)范圍ym=2.5; %縱坐標(biāo)范圍x=linspace(-xm,xm,50); %橫坐標(biāo)向量y=linspace(-ym,ym,40); %縱坐標(biāo)向量(繞過奇點(diǎn))X,Y=meshgrid(x,y); %設(shè)置坐標(biāo)網(wǎng)點(diǎn)figure %創(chuàng)建圖形窗口surf(x,y,Ex(X,Y) %畫曲面box on %加框title('等量同號(hào)點(diǎn)電荷場強(qiáng)itxrm分量曲面','fontsize',fs)%顯示標(biāo)題 xlabel('itx/a','fon

11、tsize',fs) %顯示橫坐標(biāo)ylabel('ity/a','fontsize',fs) %顯示縱坐標(biāo)zlabel('itE_x/kQarm-2','fontsize',fs)%顯示高坐標(biāo)axis tight %緊貼軸figure %創(chuàng)建圖形窗口surf(x,y,Ey(X,Y) %畫曲面box on %加框title('等量同號(hào)點(diǎn)電荷場強(qiáng)ityrm分量曲面','fontsize',fs)%顯示標(biāo)題 xlabel('itx/a','fontsize',fs)

12、 %顯示橫坐標(biāo)ylabel('ity/a','fontsize',fs) %顯示縱坐標(biāo)zlabel('itE_y/kQarm-2','fontsize',fs)%顯示高坐標(biāo)axis tight %緊貼軸x=linspace(0,xm,500); %較密的橫坐標(biāo)向量(繞過奇點(diǎn)) y=linspace(0,ym,400); %較密的縱坐標(biāo)向量4 (6b*)X,Y=meshgrid(x,y); %設(shè)置坐標(biāo)網(wǎng)點(diǎn)Exxmax,iExxmax=max(Ex(X,Y),2); %求橫向(各行)極大值和下標(biāo)(為了畫峰值線)Exxmin,iExxm

13、in=min(Ex(X,Y),2); %求橫向(各行)極小值和下標(biāo)(為了畫峰值線)Eyym,iEyy=max(Ey(X,Y); %求縱向(各列)極大值和下標(biāo)(為了畫峰值線)Eyxm,iEyx=max(Ey(X,Y),2); %求橫向(各行)極大值和下標(biāo)(為了畫峰值線) yy=0:1/3:2; %較稀的縱坐標(biāo)向量作參數(shù)X,Y=meshgrid(x,yy+sqrt(eps); %設(shè)置坐標(biāo)網(wǎng)點(diǎn)n=length(yy); %縱坐標(biāo)的個(gè)數(shù)figure %創(chuàng)建圖形窗口plot(x,Ex(X,Y) %畫曲線簇legend(repmat('ity/arm=',n,1) strtrim(rats

14、(yy')%圖例grid on %加網(wǎng)格title('等量同號(hào)點(diǎn)電荷場強(qiáng)itxrm分量與橫坐標(biāo)的關(guān)系','fontsize',fs)%顯示標(biāo)題 xlabel('itx/a','fontsize',fs) %顯示橫坐標(biāo)ylabel('itE_x/kQarm-2','fontsize',fs)%顯示縱坐標(biāo)axis(0,xm,-4,4) %坐標(biāo)范圍hold on %保持圖像plot(x(iExxmax),Exxmax,'r-.') %畫極大值曲線Exxmax,iExxmax=max

15、(Ex(X,Y),2); %求橫向(各行)極大值和下標(biāo)stem(x(iExxmax),Exxmax,'-') %畫極大值桿圖plot(x(iExxmin),Exxmin,'r-.') %畫極小值曲線Exxmin,iExxmin=min(Ex(X,Y),2); %求橫向(各行)極小值和下標(biāo)stem(x(iExxmin),Exxmin,'-') %畫極小值桿圖figure %創(chuàng)建圖形窗口plot(x,Ey(X,Y) %畫曲線簇legend(repmat('ity/arm=',n,1) strtrim(rats(yy')%圖例g

16、rid on %加網(wǎng)格title('等量同號(hào)點(diǎn)電荷場強(qiáng)ityrm分量與橫坐標(biāo)的關(guān)系','fontsize',fs)%顯示標(biāo)題 xlabel('itx/a','fontsize',fs) %顯示橫坐標(biāo)ylabel('itE_y/kQarm-2','fontsize',fs)%顯示縱坐標(biāo)axis tight %貼軸hold on %保持圖像plot(x(iEyx),Eyxm,'r-.') %畫極大值曲線Eyxm,iEyx=max(Ey(X,Y),2); %求橫向(各行)極大值和下標(biāo)ste

17、m(x(iEyx),Eyxm,'-') %畫極大值桿圖xx=0:1/3:2; %較稀的橫坐標(biāo)向量作參數(shù)X,Y=meshgrid(xx,y+sqrt(eps); %設(shè)置坐標(biāo)網(wǎng)點(diǎn)n=length(xx); %橫坐標(biāo)的個(gè)數(shù)figure %創(chuàng)建圖形窗口plot(y,Ex(X,Y) %畫曲線簇legend(repmat('itx/arm=',n,1) strtrim(rats(xx')%圖例grid on %加網(wǎng)格title('等量同號(hào)點(diǎn)電荷場強(qiáng)itxrm分量與縱坐標(biāo)的關(guān)系','fontsize',fs)%顯示標(biāo)題 5xlabel(

18、'ity/a','fontsize',fs) %顯示橫坐標(biāo)ylabel('itE_x/kQarm-2','fontsize',fs)%顯示縱坐標(biāo)figure %創(chuàng)建圖形窗口plot(y,Ey(X,Y) %畫曲線簇legend(repmat('itx/arm=',n,1) strtrim(rats(xx')%圖例grid on %加網(wǎng)格title('等量同號(hào)點(diǎn)電荷場強(qiáng)ityrm分量與縱坐標(biāo)的關(guān)系','fontsize',fs)%顯示標(biāo)題 xlabel('ity/a

19、9;,'fontsize',fs) %顯示橫坐標(biāo)ylabel('itE_y/kQarm-2','fontsize',fs)%顯示縱坐標(biāo)axis(0,ym,0,4) %坐標(biāo)范圍hold on %保持圖像plot(y(iEyy),Eyym,'r-.') %畫極大值曲線Eyym,iEyy=max(Ey(X,Y); %求縱向(各列)極大值和下標(biāo) stem(y(iEyy),Eyym,'-') %畫極大值桿圖圖解(1)如圖4所示，點(diǎn)電荷場強(qiáng)的分量Ex在電荷附近特別大。在點(diǎn)電荷附近的右側(cè)，Ex的方向沿x軸正向，在點(diǎn)電荷附近的左側(cè)

20、，Ex的方向沿x軸負(fù)向，因此在點(diǎn)電荷的右側(cè)形成高峰，左側(cè)形成深谷。(2)如圖5所示，點(diǎn)電荷場強(qiáng)的分量Ey在電荷附近也特別大。在點(diǎn)電荷附近的前方，Ey的方向沿y軸正向，在點(diǎn)電荷附近的后方，Ey的方向沿y軸負(fù)向，因此在點(diǎn)電荷的前方形成高峰，后方形成深谷。圖4 圖5(3)取縱坐標(biāo)y為參數(shù)，電場強(qiáng)度的分量Ex隨橫坐標(biāo)x的變化如圖6所示。Ex是x的奇函數(shù)，當(dāng)x = 0時(shí)，Ex = 0，因此只需要討論x > 0的情況。當(dāng)y = 0時(shí)，場點(diǎn)在x軸上，如果x < a，則Ex隨x增加而反方向增加，當(dāng)xa 0時(shí)，Ex-；當(dāng)xa + 0時(shí)， Ex+，如果x > a，則Ex隨x增加而單調(diào)減小。當(dāng)y

21、> 0且x < a時(shí)，如果y比較大(例如y = 5a/3)，則Ex隨x增加而正方向增加；如果y比較小(例如y = a/3)，則Ex反方向增加再減小，然后正方向增加。Ex反方向增加有一個(gè)谷值(反方向的峰值)，谷值隨參數(shù)y增加而減小，谷值的橫坐標(biāo)也隨參數(shù)y增加而減小，直至為零。當(dāng)y > 0且x > a時(shí)，Ex隨x增加先增加再減小，其峰值隨參數(shù)y增加而減小，峰值的橫坐標(biāo)則隨參數(shù)y增加。(4)取縱坐標(biāo)y為參數(shù)，電場強(qiáng)度的分量Ey隨橫坐標(biāo)x的變化如圖7所示。Ey是x的偶函數(shù)，當(dāng)x = 0時(shí)，Ey在中垂線上取極值，極值隨參數(shù)y先增加后減小0。當(dāng)y = 0時(shí)，Ey = 0。當(dāng)y > 0時(shí)，如