高中數(shù)學(xué)解題思想方法技巧全集31解幾開門軌跡遙控

1、數(shù)學(xué)破題36計第31計 解幾開門 軌跡遙控計名釋義求動點的軌跡圖形及軌跡方程是解析幾何中的核心，體現(xiàn)了用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)思想.軌跡是解析幾何的靈魂，它就象一個遙控器，指揮著我們行動的方向.由方程研究曲線和已知曲線求其方程是解析幾何的兩大研究方向，在圖形與方程問題遇到困難的人，往往疏忽了“軌跡”二字.正是“軌跡”二字告訴了動點的性質(zhì)，動點的性質(zhì)才是圖形性質(zhì)和方程性質(zhì)的根基. 典例示范【例1】 動橢圓過定點M（1，2），以y軸為準線，離心率e=. (1)求動橢圓左頂點的軌跡方程；（2）求橢圓長軸長的最大值和最小值.【思考】 如M（1，2）為右頂點，則左頂點為P（1-2a,2）.橢圓中心為

2、(1-a,2)，左準線為y軸.-a=0，而e=. =2，有-3a+1=0，a=. 得點P1(,2)；如M（1，2）為左頂點，有P2（1，2），P1P2中點為（，2）.由以上可以預(yù)見,所求軌跡是中心為O(,2)的橢圓.【解答】 （1）設(shè)橢圓左頂點為M(x,y)，則左焦點為F（x0，y0）=F(x+a-c，y)，e=，且左準線為y軸, =0,得a=x，c=，有：F，由橢圓第二定義：= e=. ，化簡得： (2)橢圓的長半軸a=，-x-，得x.原橢圓長半軸為a=x，2a=2x.故原橢圓長軸最大值為2，最小值為.【例2】 已知雙曲線的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，其中F1又是拋物線y2=4x的焦點，點A（

3、-1，2），B（3，2）在雙曲線上，（1）求點F2的軌跡方程；（2）是否存在直線y=x+m與點F2的軌跡有且只有兩個公共點，若存在，求出實數(shù)m的值，不存在，說明理由.【思考】 F1（1，0）為定點，|AF1|=2=|BF1|為定值，設(shè)F2(x，y)，則|F2A|-2=±(F2B-2).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4，知動點F2的軌跡為直線AB的垂直平分線或以A、B為焦點的橢圓.【解答】 （1）點F2的軌跡方程為直線l：x=1或橢圓.(不含短軸兩端，即不含（1，0），（1，4）解法略).（2）如圖，當(dāng)橢圓與直線y=x+m相切時，直線與所求軌跡恰有兩交點（-為切點

4、，另-為切線與直線x=1的交點），其他情況下，若直線y=x+m過橢圓短軸端點時與所求軌跡僅有一個公共點，若不過短軸兩端點而經(jīng)過橢圓內(nèi)部時則有三個公共點，由3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.此方程應(yīng)有相等二實根，=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0.化簡得：m2-2m-11=0,m=1±2.【小結(jié)】 探求軌跡，一要注意其完備性也就是充分性：只要符合條件的點都適合軌跡方程；二要注意其純粹性也就是必要性：只要適合軌跡方程的點都符合軌跡條件. 例3題圖以例2為例：若忽視了直線x=1(不含（1，0），（4，0）)則不完備，若不除去（1，0），（4，0）則又不純粹.對應(yīng)

5、訓(xùn)練1.已知雙曲線過坐標原點O，實軸長為2，其中一個焦點坐標為F1（6,0），另一個焦點F2為動點.(1)求雙曲線中心的軌跡方程;(2)雙曲線離心率最大時，求雙曲線方程.2.已知定直線l和線外一定點O，Q為直線l上一動點，OQP為正三角形（按逆時針方向轉(zhuǎn)），求點P的軌跡方程.3.已知雙曲線過坐標原點O，實軸長為2，其中一個焦點坐標為F1（6，0），另一個焦點F2為動點.(1)求雙曲線中心的軌跡方程；（2）雙曲線離心率最大時，求雙曲線方程.4.已知拋物線C：y2=4x，(1)若橢圓左焦點及相應(yīng)準線與拋物線C的焦點及相應(yīng)準線分別重合.(1)求橢圓短軸端點B與焦點F所連線段的中點P的軌跡方程；（2）

6、若M（m,0）是x軸上的一個定點，Q是（1）中所求軌跡上任意一點，求|MQ|的最小值.參考答案1.設(shè)F2(x0，y0), O(0,0)在雙曲線上,|OF2| - |OF1| =±2，|OF1|=6,|OF2|=6±2，如|OF2|=8，則x20+y20=64 如|OF2|=4，則x20+y20=16 當(dāng)O、F1、F2共線時，F(xiàn)1、F2應(yīng)在點O兩側(cè)，故上述軌跡中應(yīng)分別不含（8，0），（4，0）設(shè)雙曲線中心為M（x，y）,則 代入：(2x-6)2+(2y)2=64， 即(x-3)2+y2=16(x7)代入：（2x-62+(2y)2=16， 即(x-3)2+y2=4(x5)(2)

7、a=1，e= c，且c=|MF1|=,如M的軌跡為(x-3)2+y2=16， 則c=-4x-3<4，-1x<7當(dāng)x=-1時，cmax=7.如M的軌跡為(x-3)2+y2=4，則-2x-3<2，1x<5，當(dāng)x=1時，cmax=5,于是取c=7，a=1，b2=48，又當(dāng)x=-1時，由（x-3）2+y2=16，得y=0,即雙曲線中心為(-1,0),一個焦點為F1(6,0),故實軸在x軸上，則所求方程為：(x+1)2-=1.2.如圖作OAl于A，以直線OA為x軸，過O且垂直于OA的直線為y軸建立如圖的直角坐標系，設(shè)A（a,0），則有直線l：x=a，設(shè)|OQ|=|OP|=dAOQ

8、=，則AOP=+設(shè)P(x,y)，d=，x= d cos (+)=(cos-sin) 第2題解圖=(1-tan),y=dsin(+)=(sin+cos)= (tan+).于是得點P的參數(shù)方程：（為參數(shù)） 消去參數(shù)得：x+y=2a.3.(1)設(shè)F2(x0，y0)，O (0,0)在雙曲線上，|OF2| - |OF1|=±2，|OF1|=6，|OF2|=6±2，如|OF2|=8，則x20+y20=64 ；如|OF2|=4，則x20+y20=16 ，當(dāng)O，F(xiàn)1，F(xiàn)2共線時，F(xiàn)1，F(xiàn)2應(yīng)在點O兩側(cè)，故上述軌跡中應(yīng)分別不含（8，0），（4，0）.設(shè)雙曲線中心為O(x，y)，則 代入：(2

9、x-6)2+(2y)2=64, 即 (x-3)2+y2=16 (x7).代入：(2x-6)2+(2y)2=16, 即 (x-3)2+y2=4 (x5).(2)a=1，e= c，且c=|MF1|=,如M的軌跡為（x-3）2+y2=16,則c=.-4x-3<4, -1x<7,當(dāng)x= -1時，cmax =7.如M的軌跡為(x-3)2+y2=4，則c=.-2x-3<2，1x<5當(dāng)x=1時，cmax =5.于是取c=7，a=1. b2=48，又當(dāng)x= -1時，由(x-3)2+y2=16，得y=0，即雙曲線中心為（-1，0），一個焦點為F1（6，0），故實軸在x軸上，則所求方程為：

10、(x+1)2=1.4.（1）如圖設(shè)橢圓中心為O(x0,0)，由于左焦點F（1，0），左準線x= -1，x0=c+1，且x0+1=.a2=c(x0-1)=x20-1，b2=a2-c2=(x20-1) - (x0-1)2=2x0-2，得橢圓短軸端點B（x0，）. 第4（1）題解圖設(shè)FB的中點為P(x，y)，則： 消去x0：y2=x-1(x1).(2)曲線y2=x-1(x1)的圖形如圖中虛線所示，其頂點為F（1，0）.顯然當(dāng)m1時，|MQ| min=1-m，即點M（m,0）到拋物線頂點F最近，當(dāng)m>1時，以M（m,0）為圓心，R為半徑的圓的方程為：(x-m)2+y2=R2.(*)由x2+(1-2m)x+m2-1-R2=0.命0，即（1-2m）2-4(m2-1-R2)=0, R2. (1)當(dāng)m時，R min=， 即|MQ|的最小值為.當(dāng)1<m<時，不等式（1）無解，說