高中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)13 第十三編 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù)(共51頁)

1、第十三編 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù)§13.1 算法與流程圖基礎(chǔ)自測1.以下對算法的描述正確的有 個.對一類問題都有效；算法可執(zhí)行的步驟必須是有限的；計算可以一步步地進(jìn)行，每一步都有確切的含義；是一種通法，只要按部就班地做，總能得到結(jié)果.答案 42.任何一個算法都必須有的基本結(jié)構(gòu)是 .答案 順序結(jié)構(gòu)3.下列問題的算法適宜用選擇結(jié)構(gòu)表示的是 （填序號）.求點(diǎn)P（-1，3）到直線l:3x-2y+1=0的距離由直角三角形的兩條直角邊求斜邊解不等式ax+b0 (a0計算100個數(shù)的平均數(shù)答案 4.下列4種框圖結(jié)構(gòu)中，是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的為 （填序號）.答案 5.（2008·廣東理，9

2、）閱讀下面的流程圖，若輸入m=4，n=3，則輸出a= ，i= .（注：框圖中的賦值符號“”也可以寫成“=”或“：=”）答案 12 3例1 已知點(diǎn)P（x0，y0）和直線l:Ax+By+C=0，求點(diǎn)P（x0，y0）到直線l的距離d，寫出其算法并畫出流程圖. 解 算法如下：第一步，輸入x0,y0及直線方程的系數(shù)A，B，C. 流程圖：第二步，計算Z1Ax0+By0+C.第三步，計算Z2A2+B2.第四步，計算d.第五步，輸出d.例2 “特快專遞”是目前人們經(jīng)常使用的異地郵寄信函或托運(yùn)物品的一種快捷方式，某快遞公司規(guī)定甲、乙兩地之間物品的托運(yùn)費(fèi)用根據(jù)下列方法計算：f =其中f(單位：元為托運(yùn)費(fèi),為托運(yùn)物

3、品的重量（單位：千克）.試設(shè)計計算費(fèi)用f的算法，并畫出流程圖.解 算法如下：S1 輸入;S2 如果100,那么f0.6;否則f 100×0.6+(-100×0.85;S3 輸出f.流程圖為：例3 （14分）畫出計算12-22+32-42+992-1002的值的流程圖.解 流程圖如下圖. 14分1.寫出求解一個任意二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0的最值的算法.解 算法設(shè)計如下：第一步，計算m ;第二步，若a0,輸出最小值m;第三步，若a0，輸出最大值m.2.到銀行辦理個人異地匯款（不超過100萬元），銀行收取一定的手續(xù)費(fèi)，匯款額不超過100元，收取1元手續(xù)費(fèi)，超過100元但

4、不超過5 000元，按匯款額的1%收取，超過5 000元，一律收取50元手續(xù)費(fèi)，試用條件語句描述匯款額為x元時，銀行收取手續(xù)費(fèi)y元的過程，畫出流程圖.解 這是一個實(shí)際問題，故應(yīng)先建立數(shù)學(xué)模型，y=由此看出，求手續(xù)費(fèi)時，需先判斷x的范圍，故應(yīng)用選擇結(jié)構(gòu)描述.流程圖如圖所示：3.利用兩種循環(huán)寫出1+2+3+100的算法，并畫出各自的流程圖.解 直到型循環(huán)算法：第一步：S0；第二步：I1；第三步：SS+I；第四步：II+1；第五步：如果I不大于100，轉(zhuǎn)第三步；否則，輸出S.相應(yīng)的流程圖如圖甲所示.當(dāng)型循環(huán)算法如下：S1 令i1,S0S2 若i100成立，則執(zhí)行S3；否則，輸出S，結(jié)束算法S3 SS

5、+iS4 ii+1，返回S2相應(yīng)的流程圖如圖乙所示.一、填空題1.算法：S1 輸入n；S2 判斷n是否是2,若n=2,則n滿足條件，若n2,則執(zhí)行S3；S3 依次從2到n-1檢驗(yàn)?zāi)懿荒苷齨，若不能整除n，滿足上述條件的是 .答案 質(zhì)數(shù)2.在算法的邏輯結(jié)構(gòu)中，要求進(jìn)行邏輯判斷，并根據(jù)結(jié)果進(jìn)行不同處理的是哪種結(jié)構(gòu) .答案 選擇結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)3.閱讀下面的流程圖，若輸入的a、b、c分別是21、32、75，則輸出的a、b、c分別是 .答案 75，21，324.如果執(zhí)行下面的流程圖，那么輸出的S= .答案 2 5505.（2009·興化市板橋高級中學(xué)12月月考）如下圖的流程圖輸出的結(jié)果為 .

6、答案 1326.如圖所示，流程圖所進(jìn)行的求和運(yùn)算是 .答案 +7.（2008·山東理，13）執(zhí)行下邊的流程圖，若p=0.8，則輸出的n= .（注：框中的賦值符號“”，也可以寫成“=”或“:=”）答案 48.若框圖所給的程序運(yùn)行的結(jié)果為S=90，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的判斷條件是 .答案 k8 二、解答題9.已知函數(shù)f(x=,寫出該函數(shù)的函數(shù)值的算法并畫出流程圖.解 算法如下：第一步，輸入x.第二步，如果x0,那么使f(x3x-1;否則f(x2-5x.第三步，輸出函數(shù)值f(x.流程圖如下：10.寫出求過兩點(diǎn)P1(x1,y1,P2(x2,y2的直線的斜率的算法，并畫出流程圖.解 由于

7、當(dāng)x1=x2時，過兩點(diǎn)P1、P2的直線的斜率不存在，只有當(dāng)x1x2時，根據(jù)斜率公式k=求出，故可設(shè)計如下的算法和流程圖.算法如下：第一步：輸入x1,y1,x2,y2;第二步：如果x1=x2,輸出“斜率不存在”，否則，k ;第三步：輸出k.相應(yīng)的流程圖如圖所示:11.畫出求+的值的流程圖.解 流程圖如圖所示：12.某企業(yè)2007年的生產(chǎn)總值為200萬元，技術(shù)創(chuàng)新后預(yù)計以后的每年的生產(chǎn)總值將比上一年增加5%，問最早哪一年的年生產(chǎn)總值將超過300萬元？試寫出解決該問題的一個算法，并畫出相應(yīng)的流程圖.解 算法設(shè)計如下：第一步，n0,a200,r0.05.第二步，Tar(計算年增量.第三步，aa+T（計

8、算年產(chǎn)量）.第四步，如果a300，那么nn+1，重復(fù)執(zhí)行第二步.如果a300,則執(zhí)行第五步.第五步，N2 007+n.第六步，輸出N.流程圖如下：方法一方法二§13.2 基本算法語句、算法案例基礎(chǔ)自測1.下面是一個算法的操作說明：初始值為n0,x1,y1,z0;nn+1;xx+2;y2y;zz+xy;如果z7 000,則執(zhí)行語句；否則回到語句繼續(xù)執(zhí)行；打印n,z;程序終止.由語句打印出的數(shù)值為 、 .答案 8 7 6822.按照下面的算法進(jìn)行操作：S1 x2.35S2 yInt（x）S3 Print y最后輸出的結(jié)果是 .答案 23.讀下面的偽代碼：Read xIf x0 ThenP

9、rint xElsePrint -xEnd If這個偽代碼表示的算法的功能是 .答案 輸入一個數(shù)，輸出其絕對值4.下面是一個算法的偽代碼.如果輸入的x的值是20，則輸出的y的值是 .答案 1505.與下列偽代碼對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式是 .Read ne0S1For I From 1 To n Step 1SS×Iee+1/SEnd forPrint e答案 S=1+例1 設(shè)計算法，求用長度為l的細(xì)鐵絲分別圍成一個正方形和一個圓時的面積.要求輸入l的值，輸出正方形和圓的面積.解 偽代碼如下：Read lS1(l×l/16S2(l×l/(4×3.14Print S

10、1Print S2End例2 （14分）已知分段函數(shù)y=，編寫偽代碼，輸入自變量x的值，輸出其相應(yīng)的函數(shù)值，并畫出流程圖.解 偽代碼如下： 流程圖如圖所示：Read xIf x0 Theny -x+1ElseIf x=0 Theny0Elseyx+1End IfEnd IfPrint yEnd 7分例3 編寫一組偽代碼計算1+，并畫出相應(yīng)的流程圖.解 偽代碼如下：i1S0While i1 000SS+1/iii+1End WhilePrint SEnd流程圖如圖所示：1.下面的表述：6p;t3×5+2;b+35;p(3x+2-4x+3;aa3;x,y,z5;ab3;xy+2+x.其中

11、正確表述的賦值語句有 .（注：要求把正確的表述的序號全填上）答案 2.某百貨公司為了促銷，采用打折的優(yōu)惠辦法：每位顧客一次購物在100元以上者（含100元，下同），按九五折優(yōu)惠；在200元以上者，按九折優(yōu)惠；在300元以上者，按八五折優(yōu)惠；在500元以上者，按八折優(yōu)惠.試寫出算法、畫出流程圖、偽代碼，以求優(yōu)惠價.解 設(shè)購物款為x元，優(yōu)惠價為y元，則優(yōu)惠付款公式為y=算法分析：S1 輸入x的值；S2 如果x100，輸出yx,否則轉(zhuǎn)入S3;S3 如果x200,輸出y0.95x,否則轉(zhuǎn)入S4;S4 如果x300，輸出y0.9x,否則轉(zhuǎn)入S5;S5 如果x500,輸出y0.85x,否則轉(zhuǎn)入S6；S6

12、輸出y0.8x.3.某玩具廠1996年的生產(chǎn)總值為200萬元，如果年生產(chǎn)增長率5%，計算最早在哪一年生產(chǎn)總值超過300萬元.試寫出偽代碼.解 偽代碼如下：n1 996p1.05a200While a300aa×pnn+1End WhilePrint nEnd一、填空題1.偽代碼a3b5Print a+b的運(yùn)行結(jié)果是 .答案 82.為了在運(yùn)行下面的偽代碼后輸出y=16，應(yīng)輸入的整數(shù)x的值是 .Read xIf x0 Theny(x+12Elsey1-x2End IfPrint y答案 -53.寫出下列偽代碼的運(yùn)行結(jié)果. 圖1 圖2（1）圖1的運(yùn)行結(jié)果為 ；（2）圖2的運(yùn)行結(jié)果為 .答案

13、 （1）7 （2）64.以下給出的是用條件語句編寫的一個偽代碼，該偽代碼的功能是 .Read xIf x3 Theny2×xElseIf x3 Thenyx2-1Elsey2End IfEnd IfPrint yEnd答案 求下列函數(shù)當(dāng)自變量輸入值為x時的函數(shù)值f(x,其中f（x）=5.下面是一個算法的偽代碼，其運(yùn)行的結(jié)果為 .S1For I From 3 To 99 Step 2SS+IEnd ForPrint S答案 2 5006.如圖所示，該偽代碼表示的作用是 .Read a,b,cmmax(a,b,cPrint mEnd答案 求三個數(shù)中最大的數(shù)7.如圖（1）是某循環(huán)流程圖的一

14、部分，若改為圖（2），則運(yùn)行過程中I的值是 .答案 18.圖中算法執(zhí)行的循環(huán)次數(shù)為 .S0For I From 2 To 1 000 Step 3SS+IEnd For答案 333二、解答題9.用條件語句描述下面的算法流程圖.解Read xIf x0 Theny2×x+3ElseIf x0 Theny2×x-5Elsey0End IfEnd IfPrint yEnd10.請設(shè)計一個問題，使得該問題的算法如已知的偽代碼所示.Read ara/2S×r×r-a×aPrint SEnd解 已知圓O內(nèi)有一個邊長為a的圓的內(nèi)接正方形，求圓的面積比正方形的

15、面積大多少？11.有一個算法如下：S1 輸入x;S2 判斷x0是：z1；否：z-1;S3 z1+z;S4 輸出z.試寫出上述算法的流程圖及相應(yīng)的偽代碼.解 Read xIf x0 Thenz1Elsez-1End Ifzz+1Print zEnd12.一個小朋友在一次玩皮球時，偶然發(fā)現(xiàn)一個現(xiàn)象：球從某高度落下后，每次都反彈回原高度的，再落下，再反彈回上次高度的，如此反復(fù).假設(shè)球從100 cm處落下，那么第10次下落的高度是多少？在第10次落地時共經(jīng)過多少路程？試用偽代碼表示其算法.解 偽代碼如圖所示：h100s100i2While i10hh/3ss+2×hii+1End While

16、Print “第10次下落的高度為：”;hPrint “第10次落地時共經(jīng)過的路程為：”；sEnd13.3 合情推理與演繹推理基礎(chǔ)自測1.某同學(xué)在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，按這種規(guī)律往下排，那么第36個圓的顏色應(yīng)是 .答案 白色2.數(shù)列1，2，4，8，16，32，的一個通項(xiàng)公式是 .答案 an=2n-13.已知a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,則a33為 .答案 34.下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖?.“若a·3=b·3,則a=b”類推出“若a·0=b·0，則a=b”“(a+bc=ac+bc”類推出“=+”“(a+b）c=ac+bc”類推

17、出“=+(c0”“（ab）n=anbn”類推出“(a+bn=an+bn”答案 5.一切奇數(shù)都不能被2整除，2100+1是奇數(shù)，所以2100+1不能被2整除，其演繹推理的“三段論”的形式為 .答案 一切奇數(shù)都不能被2整除， 大前提2100+1是奇數(shù)， 小前提所以2100+1不能被2整除. 結(jié)論例1 在數(shù)列an中,a1=1,an+1=,nN*,猜想這個數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？這個猜想正確嗎？說明理由.解 在an中,a1=1,a2=,a3=,a4=,所以猜想an的通項(xiàng)公式an=.這個猜想是正確的.證明如下:因?yàn)閍1=1,an+1=,所以=+,即-=,所以數(shù)列是以=1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以=1+

18、(n-1= n+,所以通項(xiàng)公式an=.例2 已知O是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AO、BO、CO并延長交對邊于A,B,C,則+=1,這是一道平面幾何題,其證明常采用“面積法”.+=+=1，請運(yùn)用類比思想，對于空間中的四面體VBCD，存在什么類似的結(jié)論？并用體積法證明.證明 在四面體VBCD中，任取一點(diǎn)O，連結(jié)VO、DO、BO、CO并延長分別交四個面于E、F、G、H點(diǎn).則+=1.在四面體OBCD與VBCD中：=.同理有：=；=；=，+=1. 例3 （14分）已知函數(shù)f（x）=-（a0且a1），（1）證明：函數(shù)y=f(x的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；（2）求f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（

19、3）的值.（1）證明 函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，任取一點(diǎn)（x，y），它關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-x，-1-y）. 2分由已知得y=-,則-1-y=-1+=-， 3分f（1-x）=-=-=-=-， 5分-1-y=f（1-x）.即函數(shù)y=f(x的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱. 7分（2）解 由（1）有-1-f（x）=f（1-x），即f（x）+f（1-x）=-1.f（-2）+f（3）=-1，f（-1）+f（2）=-1，f（0）+f（1）=-1，則f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=-3. 14分1.已知f(x=(x-,a0,且f(1=log162,f(-2=1.（1）求函數(shù)f(x的表

20、達(dá)式；（2）已知數(shù)列xn的項(xiàng)滿足xn=1-f(11-f(21-f(n，試求x1,x2,x3,x4;(3猜想xn的通項(xiàng).解 （1）把f(1=log162=,f(-2=1,代入函數(shù)表達(dá)式得, 整理得，解得,于是f(x=(x-1.（2）x1=1-f(1=1-=,x2=×=,x3=×=,x4=×=.（3）這里因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)的分子、分母作了約分，所以規(guī)律不明顯，若變形為，便可猜想xn=.2.如圖1，若射線OM，ON上分別存在點(diǎn)M1，M2與點(diǎn)N1，N2，則=·；如圖2，若不在同一平面內(nèi)的射線OP，OQ和OR上分別存在點(diǎn)P1，P2，點(diǎn)Q1，Q2和點(diǎn)R1，R2，則類似的結(jié)論

21、是什么？這個結(jié)論正確嗎？說明理由.解 類似的結(jié)論為：=··.這個結(jié)論是正確的，證明如下：如圖，過R2作R2M2平面P2OQ2于M2，連OM2.過R1在平面OR2M2作R1M1R2M2交OM2于M1，則R1M1平面P2OQ2.由=·R1M1=·OP1·OQ1·sinP1OQ1·R1M1=OP1·OQ1·R1M1·sinP1OQ1，同理，=OP2·OQ2·R2M2·sinP2OQ2.所以=.由平面幾何知識可得=.所以=.所以結(jié)論正確.3.已知函數(shù)f（x）=（xR），（1

22、）判定函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）判定函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并證明.解 （1）對xR有-xR，并且f（-x）=-=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù).（2）f(x在R上單調(diào)遞增，證明如下：任取x1,x2R，并且x1x2,f(x1-f(x2= -=.x1x2,0,-0, +10, +10.0.f(x1f(x2.f(x在R上為單調(diào)遞增函數(shù).一、填空題1.由,若ab0,m0，則與之間的大小關(guān)系為 .答案 2.已知a1=1,an+1an，且(an+1-an2-2(an+1+an+1=0，猜想an的表達(dá)式為 .答案 an=n23.已知f(x=x2 008+ax2 007-8,f(-1=10,則f(1

23、= .答案 -244.由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：“mn=nm”類比得到“a·b=b·a”；“（m+n）t=mt+nt”類比得到“(a+b·c=a·c+b·c”；“(m·nt=m(n·t”類比得到“（a·b）·c=a·（b·c）”；“t0,mt=xtm=x”類比得到“p0,a·p=x·pa=x”;“|m·n|=|m|·|n|”類比得到“|a·b|=|a|·|b|”；“=”類比得到“=”.以上的式子中，類比

24、得到的結(jié)論正確的個數(shù)是 .答案 25.下列推理是歸納推理的是 （填序號）.A，B為定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=2a|AB|，得P的軌跡為橢圓由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式由圓x2+y2=r2的面積r2，猜想出橢圓=1的面積S=ab科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案 6.已知整數(shù)的數(shù)對列如下:(1,1,(1,2,(2,1,(1,3,(2,2,(3,1,(1,4,(2,3,(3,2,(4,1,(1,5,(2,4,則第60個數(shù)對是 .答案 (5,77.在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比=，把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A

25、BCD中（如圖所示），而DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是 .答案 =8.（2008·金陵中學(xué)模擬）現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：如圖所示，同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點(diǎn)在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長均為a的正方體，其中一個的某頂點(diǎn)在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為 .答案 二、解答題9.把空間平行六面體與平面上的平行四邊形類比，試由“平行四邊形對邊相等”得出平行六面體的相關(guān)性質(zhì).解 如圖所示，由平行四邊形的性質(zhì)可知AB=DC，AD=BC，于是類比平行四邊形的性質(zhì),在平行六面體A

26、BCDA1B1C1D1中，我們猜想：S =S ,S =S ,S =S ,且由平行六面體對面是全等的平行四邊形知，此猜想是正確的.10.已知梯形ABCD中，AB=DC=AD，AC和BD是它的對角線.用三段論證明：AC平分BCD，BD平分CBA.證明 （1）兩平行線與第三直線相交，內(nèi)錯角相等（大前提）BCA與CAD是平行線AD，BC被AC所截內(nèi)錯角（小前提）所以，BCA=CAD（結(jié)論）（2）等腰三角形兩底角相等（大前提）CAD是等腰三角形，DA=DC（小前提）所以，DCA=CAD（結(jié)論）（3）等于同一個量的兩個量相等（大前提）BCA與DCA都等于CAD（小前提）所以，BCA=DCA（結(jié)論）（4）同

27、理，BD平分CBA.11.如圖所示，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PMBB1交AA1于點(diǎn)M，PNBB1交CC1于點(diǎn)N.（1）求證：CC1MN；（2）在任意DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EF·cosDFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面 角之間的關(guān)系式，并予以證明.證明 （1）PMBB1，PNBB1，BB1平面PMN.BB1MN.又CC1BB1，CC1MN.（2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S=S+S-2SScos.其中為平面CC1B1B與平面CC1A1A所成的二面角.

28、 CC1平面PMN，上述的二面角的平面角為MNP.在PMN中，PM2=PN2+MN2-2PN·MNcosMNPPM2·CC=PN2·CC+MN2·CC-2（PN·CC1）·（MN·CC1）cosMNP，由于S=PN·CC1，S=MN·CC1，S=PM·BB1=PM·CC1，S=S+S-2S·S·cos.12.已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與

29、點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.試對雙曲線=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明.解 類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線=1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.證明如下：設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為（m，n），（x，y），則N（-m，-n）.因?yàn)辄c(diǎn)M（m,n）在已知雙曲線上，所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.則kPM·kPN =·=·=(定值.§13.4 直接證明與間接證明基礎(chǔ)自測1.分析法是從要證的結(jié)論出發(fā),尋求使它成立的 條件.答案 充分2.若ab

30、0,則a+ b+.(用“”,“”,“=”填空答案 3.要證明+2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是 （填序號）.反證法 分析法 綜合法答案 4.用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個是偶數(shù)時，下列假設(shè)中正確的是 .假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)假設(shè)a、b、c至多有一個偶數(shù)假設(shè)a、b、c至多有兩個偶數(shù)答案 5.設(shè)a、b、c（0，+），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR0”是“P、Q、R同時大于零”的 條件.答案 充要例1 設(shè)a,b,c0,證明：a+b+c.證明 a,b,c0，根據(jù)基本不

31、等式，有+b2a,+c2b,+a2c.三式相加：+a+b+c2(a+b+c.即+a+b+c.例2 （14分）已知a0,求證： -a+-2.證明 要證-a+-2,只要證+2a+. 2分a0,故只要證（a+）2, 6分即a2+4+4a2+2+2+2, 8分從而只要證2, 10分只要證42（a2+2+）,即a2+2,而該不等式顯然成立，故原不等式成立. 14分例3 若x,y都是正實(shí)數(shù)，且x+y2,求證：2與2中至少有一個成立.證明 假設(shè)2和2都不成立，則有2和2同時成立，因?yàn)閤0且y0,所以1+x2y，且1+y2x，兩式相加，得2+x+y2x+2y，所以x+y2，這與已知條件x+y2相矛盾，因此2與

32、2中至少有一個成立.1.已知a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù).求證：a2+b2+c2(+.證明 a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac.又a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，上面三個式子中都不能取“=”，a2+b2+c2ab+bc+ac,ab+bc2,bc+ac2,ab+ac2,又a,b,c為互不相等的非負(fù)數(shù)，ab+bc+ac(+,a2+b2+c2(+.2.已知a0,b0,且a+b=1,試用分析法證明不等式.證明 要證,只需證ab+，只需證4(ab2+4(a2+b2-25ab+40,只需證4(ab2+8ab-25ab+40,只需證4(ab2-17ab+40,即證ab4或ab,只需證ab，而

33、由1=a+b2,ab顯然成立，所以原不等式成立.3.已知a、b、c（0，1），求證：(1-ab,(1-bc,(1-ca不能同時大于.證明 方法一 假設(shè)三式同時大于，即(1-ab,(1-bc,(1-ca,a、b、c(0,1,三式同向相乘得(1-ab(1-bc(1-ca.又(1-aa=,同理（1-b）b,(1-cc,(1-aa(1-bb(1-cc,這與假設(shè)矛盾，故原命題正確.方法二 假設(shè)三式同時大于，0a1,1-a0,=,同理,三式相加得,這是矛盾的，故假設(shè)錯誤，原命題正確.一、填空題1.（2008·南通模擬）用反證法證明“如果ab,那么”假設(shè)內(nèi)容應(yīng)是 .答案 =或2.已知ab0，且ab

34、=1,若0c1,p=logc,q=logc，則p,q的大小關(guān)系是 .答案 pq3.設(shè)S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運(yùn)算“*”（即對任意的a,bS，對于有序元素對(a,b,在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng)）.若對任意的a,bS,有a*(b*a=b,則對任意的a,bS，下列恒成立的等式的序號是 .（a*b）*a=a a*(b*a*(a*b=ab*(b*b=b (a*b*b*(a*b=b答案 4.如果A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則A1B1C1是 三角形，A2B2C2是 三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）答案 銳角 鈍角5.已

35、知三棱錐SABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題：BC平面SAC；平面SBC平面SAB；SBAC.其中正確命題的序號是 .答案 6.對于任意實(shí)數(shù)a,b定義運(yùn)算a*b=（a+1）(b+1-1,給出以下結(jié)論：對于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a*(b+c=(a*b+(a*c;對于任意實(shí)數(shù)a,b,c，有a*(b*c=(a*b*c;對于任意實(shí)數(shù)a,有a*0=a,則以上結(jié)論正確的是 .（寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論的所有序號）答案 二、解答題7.已知數(shù)列an中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）

36、設(shè)cn=(n=1,2,求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；（3）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.（1）證明 Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2anbn=an+1-2an(n=1,2,bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列bn是公比為2的等比數(shù)列.（2）證明 由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2=(n=1,2,cn+1-cn=-=.將bn=3·2n-1代入得cn+1-c

37、n=(n=1,2,由此可知，數(shù)列cn是公差為的等差數(shù)列，它的首項(xiàng)c1=，故cn=n-(n=1,2,.（3）解 cn=n-=(3n-1.an=2n·cn=(3n-1·2n-2 (n=1,2,當(dāng)n2時，Sn=4an-1+2=(3n-4·2n-1+2.由于S1=a1=1也適合于此公式，所以an的前n項(xiàng)和公式為Sn=（3n-4）·2n-1+2.8.設(shè)a,b,c為任意三角形三邊長，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,試證：I24S.證明 由I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca=a2+b2+c2+2S,a,b,c為任意三角形三邊長，ab+

38、c,bc+a,ca+b,a2a(b+c,b2b(c+a,c2c(a+b即(a2-ab-ac+(b2-bc-ba+(c2-ca-cb0a2+b2+c2-2(ab+bc+ca0a2+b2+c22Sa2+b2+c2+2S4S.I24S.9.已知a,b,c為正實(shí)數(shù),a+b+c=1.求證：（1）a2+b2+c2;(2+ +6.證明 （1）方法一 a2+b2+c2-= (3a2+3b2+3c2-1=3a2+3b2+3c2-(a+b+c2=(3a2+3b2+3c2-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc=(a-b2+(b-c2+(c-a20a2+b2+c2.方法二 (a+b+c2=a2+b2+c2+2ab

39、+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2(a+b+c2=1a2+b2+c2.方法三 設(shè)a=+,b=+,c=+.a+b+c=1,+=0a2+b2+c2=（+）2+（+）2+（+）2=+(+2+2+2=+2+2+2a2+b2+c2.(2=,同理,+=6原不等式成立.10.已知函數(shù)y=ax+(a1.（1）證明：函數(shù)f(x在（-1,+上為增函數(shù)；（2）用反證法證明方程f(x=0沒有負(fù)數(shù)根.證明 （1）任取x1,x2(-1,+,不妨設(shè)x1x2,則x2-x10,由于a1,a1且a0,a-a=a (a-10.又x1+10,x2+10,-=0,于是f(x2-f(

40、x1=a-a+-0,故函數(shù)f(x在(-1,+）上為增函數(shù).（2）方法一 假設(shè)存在x00 (x0-1滿足f(x0=0,則a=-.a1,0a1,0-1,即x02，與假設(shè)x00相矛盾，故方程f(x=0沒有負(fù)數(shù)根.方法二 假設(shè)存在x00 (x0-1滿足f(x0=0,若-1x00，則-2,a1,f(x0-1,與f(x0=0矛盾.若x0-1,則0,a0,f(x00,與f(x0=0矛盾，故方程f(x=0沒有負(fù)數(shù)根.§13.5 數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)自測1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a2+an+1=(a1”在驗(yàn)證n=1時，左端計算所得的項(xiàng)為 .答案1+a+a22.如果命題P（n）對n=k成立，則它對n=k

41、+1也成立，現(xiàn)已知P（n）對n=4不成立，則下列結(jié)論正確的是 （填序號）.P（n）對nN*成立P(n對n4且nN*成立P（n）對n4且nN*成立P（n）對n4且nN*不成立答案 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+n2=，則當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上 .答案 （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）24.已知f(n=+ +，則下列說法有誤的是 .f(n中共有n項(xiàng)，當(dāng)n=2時，f(2=+f(n中共有n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時，f(2= +f(n中共有n2-n項(xiàng)，當(dāng)n=2時，f(2=+f(n中共有n2-n+1項(xiàng)，當(dāng)n=2時，f(2= +答案 5.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時

42、，xn+yn能被x+y整除”，在第二步時， .答案 假設(shè)n=k(k是正奇數(shù)，證明n=k+2命題成立例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明:nN*時,+=.證明 （1）當(dāng)n=1時,左邊=,右邊=,左邊=右邊,所以等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN*時等式成立,即有+=,則當(dāng)n=k+1時,+=+=,所以當(dāng)n=k+1時,等式也成立.由（1）（2）可知,對一切nN*等式都成立.例2 試證：當(dāng)n為正整數(shù)時，f(n=32n+2-8n-9能被64整除.證明 方法一 （1）當(dāng)n=1時，f(1=34-8-9=64,命題顯然成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k (k1,kN*時，f(k=32k+2-8k-9能被64整除.由于32(k+1+2

43、-8(k+1-9=9(32k+2-8k-9+9·8k+9·9-8(k+1-9=9(32k+2-8k-9+64(k+1即f(k+1=9f(k+64(k+1n=k+1時命題也成立.根據(jù)（1）（2）可知，對任意的nN*，命題都成立.方法二 （1）當(dāng)n=1時，f(1=34-8-9=64，命題顯然成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k (k1,kN*時，f(k=32k+2-8k-9能被64整除.由歸納假設(shè)，設(shè)32k+2-8k-9=64m(m為大于1的自然數(shù)，將32k+2=64m+8k+9代入到f(k+1中得f(k+1=9(64m+8k+9-8(k+1-9=64(9m+k+1,n=k+1時命題成立.

44、根據(jù)（1）（2）可知，對任意的nN*,命題都成立.例3 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式（1+）（1+）（1+）均成立.證明 （1）當(dāng)n=2時，左邊=1+=；右邊=.左邊右邊，不等式成立.（2）假設(shè)n=k (k2,且kN*時不等式成立，即（1+）（1+）（1+）.則當(dāng)n=k+1時，（1+）（1+）（1+）·=.當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.例4 （16分）已知等差數(shù)列an的公差d大于0，且a2,a5是方程x2-12x+27=0的兩根，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且Tn=1-.（1）求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；（2）

45、設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，試比較與Sn+1的大小，并說明理由.解 （1）由已知得,又an的公差大于0，a5a2,a2=3,a5=9.d= =2，a1=1.an=2n-1. 2分Tn=1-bn，b1=，當(dāng)n2時，Tn-1=1-bn-1,bn=Tn-Tn-1=1-bn-(1-bn-1,化簡，得bn=bn-1,bn是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，即bn=·=, 4分an=2n-1，bn=. 5分(2Sn=n2,Sn+1=（n+1）2，=. 6分以下比較與Sn+1的大?。寒?dāng)n=1時，=，S2=4，S2,當(dāng)n=2時，=,S3=9,S3,當(dāng)n=3時，=,S4=16,S4,當(dāng)n=4時，=,S5=25

46、,S5.猜想：n4時，Sn+1. 8分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=4時，已證.假設(shè)當(dāng)n=k (kN*,k4時，Sk+1,即(k+12.那么n=k+1時，=3·3(k+12=3k2+6k+3=(k2+4k+4+2k2+2k-1(k+1+12=S(k+1+1,n=k+1時，Sn+1也成立. 11分由可知nN*,n4時，Sn+1都成立. 14分綜上所述，當(dāng)n=1,2,3時，Sn+1,當(dāng)n4時，Sn+1. 16分1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意的nN*,1-+-+-=+.證明 （1）當(dāng)n=1時，左邊=1-=右邊，等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN*時，等式成立，即1-+-+-=+.則當(dāng)n=

47、k+1時,1-+-+-+-=+-=+(-=+,即當(dāng)n=k+1時，等式也成立，所以由（1）（2）知對任意的nN*等式成立.2.求證：二項(xiàng)式x2n-y2n (nN*能被x+y整除.證明 （1）當(dāng)n=1時，x2-y2=(x+y(x-y,能被x+y整除，命題成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k1,kN*）時，x2k-y2k能被x+y整除，那么當(dāng)n=k+1時，x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k+y2k(x2-y2,顯然x2k+2-y2k+2能被x+y整除，即當(dāng)n=k+1時命題成立.由（1）（2）知，對任意的

48、正整數(shù)n命題均成立.3.已知m,n為正整數(shù).用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x-1時，(1+xm1+mx.證明 （1）當(dāng)m=1時，原不等式成立；當(dāng)m=2時，左邊=1+2x+x2,右邊=1+2x,因?yàn)閤20,所以左邊右邊，原不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)m=k(k1,kN*時，不等式成立，即（1+x）k1+kx,則當(dāng)m=k+1時，x-1,1+x0.于是在不等式(1+xk1+kx兩邊同時乘以1+x得(1+xk·（1+x）(1+kx(1+x=1+(k+1x+kx21+(k+1x.所以(1+xk+11+(k+1x,即當(dāng)m=k+1時，不等式也成立.綜合（1）（2）知，對一切正整數(shù)m,不等式都成立.4.已知數(shù)列a

49、n的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）試求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表達(dá)式；（2）證明你的猜想，并求出an的表達(dá)式.（1）解 an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=Sn-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=，S3=，S4=，猜想Sn=（nN*）.（2）證明 當(dāng)n=1時，S1=1成立.假設(shè)n=k（k1,kN*）時，等式成立，即Sk=，當(dāng)n=k+1時，Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，ak+1=，Sk+1=（k+1）2·ak+1=，n=k+1時等式也成立，得證.根據(jù)、可知，對于任意

50、nN*，等式均成立.又ak+1=，an=.一、填空題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“+1(nN*”時，在驗(yàn)證初始值不等式成立時，左邊的式子應(yīng)是“ ”.答案 +2.如果命題P（n）對于n=k(kN*時成立，則它對n=k+2也成立，又若P（n）對于n=2時成立，P（n）對所有 n成立.正整數(shù) 正偶數(shù) 正奇數(shù) 所有大于1的正整數(shù)答案 3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+n(n2，nN*的過程中，由n=k變到n=k+1時，左邊增加了 項(xiàng).答案 2k4.用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn2+1對于nn0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取 .答案 55.凸n邊形有f(n條對角線，則凸n+1邊形的對角線條數(shù)f（n

51、+1）= .答案 f(n+n-16.證明1+n+1(n1，當(dāng)n=2時，中間式子等于 .答案 1+7.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式+的過程，由n=k推導(dǎo)n=k+1時，不等式的左邊增加的式子是 .答案 +-8.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2 (nN,且n1，第一步要證的不等式是 .答案 1+2二、解答題9.用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+(nN*.證明 （1）當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，左邊右邊，即命題成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,k1時，命題成立，即1+.那么當(dāng)n=k+1時，要證1+,只要證+.-=0,+成立，即1+成立.當(dāng)n=k+1時命題成立.由（1）、(2知，不等式對一切nN*均成立.10.用數(shù)學(xué)歸納法證明

52、（3n+1）·7n-1 (nN*能被9整除.證明 （1）當(dāng)n=1時，4×7-1=27能被9整除，命題成立.（2）假設(shè)n=k (k1，kN*時命題成立，即(3k+1·7k-1能被9整除.當(dāng)n=k+1時，(3k+3+1·7k+1-1=(3k+1+3·7·7k-1=7·(3k+1·7k-1+21·7k=(3k+1·7k-1+18k·7k+6·7k+21·7k=(3k+1·7k-1+18k·7k+27·7k，由歸納假設(shè)(3k+1·7k-1能被9整除，又因?yàn)?8k·7k+27·7k能被9整除，所以3(k+1+1·7k+1-1能被9整除，即n=k+1時命題成立.由（1）（2）知，對所有的正整數(shù)n，命題成立.11.數(shù)列an滿足Sn=2n-an(nN*.(1計算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通項(xiàng)公式an;（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.（1）解 當(dāng)n=1