高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第65講)二項(xiàng)式定理

1、題目 第十章排列、組臺(tái)、二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理高考要求 1正確理解二項(xiàng)式定理，能準(zhǔn)確地寫出二項(xiàng)式的展開式2會(huì)區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 3掌握二項(xiàng)式定理在近似計(jì)算及證明整除性中的應(yīng)用4 熟練掌握二項(xiàng)式定理的基本問(wèn)題通項(xiàng)公式及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)歸納 1二項(xiàng)式定理及其特例：（1），（2）2二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：3常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)：求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，要根據(jù)通項(xiàng)公式討論對(duì)的限制；求有理項(xiàng)時(shí)要注意到指數(shù)及項(xiàng)數(shù)的整數(shù)性 4二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)依次取時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都是，除以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和5二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：展開式的二項(xiàng)式系數(shù)

2、是，可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是，例當(dāng)時(shí)，其圖象是個(gè)孤立的點(diǎn)（如圖）（1）對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（）直線是圖象的對(duì)稱軸（2）增減性與最大值：當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)，取得最大值（3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：，令，則 題型講解 例1 如果在（+）n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)解：展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，由題意得2×=1+，得n=8設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，T=C··x，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8有理項(xiàng)為T1=x4，T5=x，T9=點(diǎn)評(píng)：求展開式中某一特定的項(xiàng)的問(wèn)題常用通項(xiàng)公式，用待定

3、系數(shù)法確定r例2 求式子（x+2）3的展開式中的常數(shù)項(xiàng)解法一：（x+2）3=（x+2）（x+2）（x+2）得到常數(shù)項(xiàng)的情況有：三個(gè)括號(hào)中全取2，得（2）3；一個(gè)括號(hào)取x，一個(gè)括號(hào)取，一個(gè)括號(hào)取2，得CC（2）=12，常數(shù)項(xiàng)為（2）3+（12）=20解法二：（|x|+2）3=（）6設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則T=C·（1）r·（）r·|x|=（1）6·C·|x|，得62r=0，r=3T3+1=（1）3·C=20例3 求（1+x+x2+x3）（1x）7的展開式中x4的系數(shù)；求（x+4）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；求（1+x）3+（1+x）4+（1+

4、x）50的展開式中x3的系數(shù)解：原式=（1x）7=（1x4）（1x）6，展開式中x4的系數(shù)為（1）4C1=14（x+4）4=，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C·（1）4=1120方法一：原式=展開式中x3的系數(shù)為C方法二：原展開式中x3的系數(shù)為C+C+C+C=C+C+C=C+C+C=C點(diǎn)評(píng)：把所給式子轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式形式是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵例4 求展開式中的系數(shù)解：令點(diǎn)評(píng)：是展開式中的第項(xiàng)，注意二項(xiàng)式系數(shù)與某項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別在本題中，第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，第4項(xiàng)的系數(shù)為，二者并不相同例5 求展開所得的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù)解：依題意：，為3和2的倍數(shù)，即為6的倍數(shù)，又，構(gòu)成首項(xiàng)為0，公差為6，

5、末項(xiàng)為96的等差數(shù)列，由得，故系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有17項(xiàng)點(diǎn)評(píng)：有理項(xiàng)的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6 求展開式中的系數(shù)解法一：故展開式中含的項(xiàng)為故展開式中的系數(shù)為240解法二： 要使指數(shù)為1，只有才有可能，即故的系數(shù)為解法三：由多項(xiàng)式的乘法法則，從以上5個(gè)括號(hào)中，一個(gè)括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)，其它四個(gè)括號(hào)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，則積為的一次項(xiàng)，此時(shí)系數(shù)為點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題通常有兩個(gè)解法：化三項(xiàng)為二項(xiàng)，乘法法則及排列、組合知識(shí)的綜合應(yīng)用例7 設(shè)an=1+q+q2+q（nN*，q±1），An=Ca1+Ca2+Can（1）用q和n表示An；（2）（理）當(dāng)3<q<1時(shí)，求解：（1）因?yàn)閝1，所以a

6、n=1+q+q2+q=于是An= C+ C+C=（C+C+C）（Cq+Cq2+Cqn）=（2n1）（1+q）n1=2n（1+q）n（2）=1（）n因?yàn)?<q<1，且q1，所以0<| |<1所以=例8 已知，求分析：在已知等式的左邊隱含一個(gè)二項(xiàng)式，設(shè)法先求出n解：在中令得 點(diǎn)評(píng)：記住課本結(jié)論： 注意所求式中缺少一項(xiàng)，不能直接等于例9 已知，求解： 令時(shí)，有令時(shí)，有 點(diǎn)評(píng)：賦值法是由一般到特殊的一種處理方法，在高考題中屢見不鮮，特別在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用尤為明顯賦值法是給代數(shù)式（或方程或函數(shù)表達(dá)式）中的某些字母賦予一定的特殊值，從而達(dá)到便于解決問(wèn)題的目的望同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中舉一反

7、三例10 求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解：設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則有，即又故系數(shù)最大項(xiàng)為點(diǎn)評(píng)：二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與系數(shù)最大的項(xiàng)不同二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)也即中間項(xiàng)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)，的二項(xiàng)式系數(shù)相等且為最大小結(jié)：1在使用通項(xiàng)公式T=Cbr時(shí)，要注意：通項(xiàng)公式是表示第r1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng)展開式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C與第r+1項(xiàng)的系數(shù)不同通項(xiàng)公式中含有a，b，n，r，T五個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求出第五個(gè)元素在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問(wèn)題中，常常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè)，求另外幾個(gè)元素的問(wèn)題，這類問(wèn)題一般是利用通項(xiàng)公式，把問(wèn)題歸納為解方程（或方程組）這里必須

8、注意n是正整數(shù)，r是非負(fù)整數(shù)且rn2證明組合恒等式常用賦值法3二項(xiàng)式定理應(yīng)用通常有以下幾類題型：通項(xiàng)應(yīng)用型：利用通項(xiàng)公式研究具體某一項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)等問(wèn)題系數(shù)配對(duì)型：展開兩因式乘積或可化為兩因式乘積的三項(xiàng)式，求某項(xiàng)系數(shù)系數(shù)性質(zhì)型：靈活應(yīng)用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)或賦值求系數(shù)和利用二項(xiàng)式定理求近似值，證明整除性或求余數(shù)問(wèn)題，證明恒等式或不等式在概率等方面的應(yīng)用學(xué)生練習(xí) 1已知（13x）9=a0+a1x+a2x2+a9x9，則a0+a1+a2+a9等于A29 B49 C39 D1解析：x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值，a0+a1+a2+a9=a0a1+a2a3+a9已知條件中只需賦值x=1即可答案：B2 2x+）4的

9、展開式中x3的系數(shù)是A6B12C24D48解析：（2x+）4=x2（1+2）4，在（1+2）4中，x的系數(shù)為C·22=24答案：C3（2x3）7的展開式中常數(shù)項(xiàng)是A14B14C42D42解析：設(shè)（2x3）7的展開式中的第r+1項(xiàng)是T=C（2x3）（）r=C2·（1）r·x，當(dāng)+3（7r）=0，即r=6時(shí)，它為常數(shù)項(xiàng)，C（1）6·21=14答案：A4一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個(gè)燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為A20 B219C220D2201解析：C+C+C=2201答案：D5已知（x）8展

10、開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是A28B38C1或38D1或28解析：T=C·x8r·（ax1）r=（a）rC·x82r令82r=0，r=4（a）4C=1120a=±2當(dāng)a=2時(shí)，令x=1，則（12）8=1當(dāng)a=2時(shí)，令x=1，則（12）8=38答案：C6已知（x+x）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_（以數(shù)字作答）解析：（x+x）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為128，令x=1，即得所有項(xiàng)系數(shù)和為2n=128n=7設(shè)該二項(xiàng)展開式中的r+1項(xiàng)為T=C（x）·（x）r=C·x，令=5即r

11、=3時(shí)，x5項(xiàng)的系數(shù)為C=35答案：357若（x+1）n=xn+ax3+bx2+cx+1（nN*），且ab=31，那么n=_解析：ab=CC=31，n=11答案：118（x）8展開式中x5的系數(shù)為_解析：設(shè)展開式的第r+1項(xiàng)為T=Cx8r·（）r=（1）rCx令8=5得r=2時(shí)，x5的系數(shù)為（1）2·C=28答案：289若（x3+）n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84，則n=_解析：T=C（x3）nr·（x）r=C·x令3nr=0，2n=3rn必為3的倍數(shù)，r為偶數(shù)試驗(yàn)可知n=9，r=6時(shí)，C=C=84答案：910已知（x+1）n展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于

12、22，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為20000，求x的值解：由題意CCC=22，即CCC=22，n=6第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C（x）3=20000，即x3lgx=1000x=10或x=11若（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11求：（1）a1+a2+a3+a11；（2）a0+a2+a4+a10解：（1）（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11令x=1，得a0+a1+a2+a11=26，又a0=1，所以a1+a2+a11=261=65（2）再令x=1，得a0a1+a2a3+a11=0+得a0+a2+a10=（26+0）=32點(diǎn)評(píng)：在解決此類奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和、偶數(shù)項(xiàng)

13、系數(shù)的和的問(wèn)題中常用賦值法，令其中的字母等于1或112在二項(xiàng)式（axm+bxn）12（a0，b0，m、n0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng)（1）求它是第幾項(xiàng)；（2）求的范圍解：（1）設(shè)T=C（axm）12r·（bxn）r=Ca12rbrxm（12r）+nr為常數(shù)項(xiàng)，則有m（12r）+nr=0，即m（12r）2mr=0，r=4，它是第5項(xiàng)（2）第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng)，有Ca8b4Ca9b3 Ca8b4Ca7b5 由得a8b4a9b3，a0，b0， ba，即由得，13在二項(xiàng)式（+）n的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)分析：根據(jù)題意列出前三項(xiàng)系數(shù)關(guān)系式，先確定n，再分別求出相應(yīng)的有理項(xiàng)解：前三項(xiàng)系數(shù)為C，C，C，由已知C=C+C，即n29n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）T=C（）8r（2）r=C··x4Z且0r8，rZ，r=0，r=4，r=8展開式中x的有理項(xiàng)為T1=x4，T5=x，T9= x2點(diǎn)評(píng)：展開式中有理項(xiàng)的特點(diǎn)是字