圓中最值問題的求解方法

1、圓中最值問題的求解方法有關(guān)圓的最值問題，往往知識(shí)面廣、綜合性大、應(yīng)用性強(qiáng)，而且情境新穎，能很好地 考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì)，本文按知識(shí)點(diǎn)分類，以近幾年中考題為例，歸納 總結(jié)此類試題的解題方法一、直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短例 1 （2012 寧波）如圖 1， ABC中， BAC60， ABC 45， AB2，D是線 段 BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 AD為直徑畫 O 分別交 AB，AC于點(diǎn) E，F(xiàn)，連結(jié) EF，則線段 EF長(zhǎng) 度的最小值為 分析 由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng) AD為 ABC的邊 BC上的高時(shí)，直徑 AD最短解 如圖 2，連結(jié) OE， OF，過 O點(diǎn)作 OH EF，垂足

2、為 H在 Rt ADB中，ABC45， AB2， ADBD2，即此時(shí)圓的直徑為 2由圓周角定理，可知 EOH EOF BAC60，在 Rt EOH中，EH OE sin EOH 1 3 3 1 2 2 由垂徑定理，可知 EF 2EH 3點(diǎn)評(píng) 本題是一道融垂徑定理、圓周角定理、解直角三角形于一體的綜合應(yīng)用題關(guān) 鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化，找出滿足條件的最小圓二、兩點(diǎn)之間線段最短例 2 （ 2014 三明）如圖 3，在 Rt ABC中， ACB90，ACBC2，以 BC為直徑的半圓交 AB于點(diǎn) D，P是C?D CD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) AP，則 AP的最小值是 分析 如圖 4，取 BC的中點(diǎn) E，連結(jié) AE

3、，交半圓于點(diǎn) P2，在半圓上取點(diǎn) P1，連結(jié) AP1， EP1，可得， AP1EP1AE，即 AP2是 AP的最小值再根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，然后減掉半徑即可解 如圖 4，取 BC的中點(diǎn) E，連結(jié) AE，交半圓于點(diǎn) P2 ，在半圓上取點(diǎn) P1，連結(jié) AP1， EP1，可得， AP1 EP1AE， AE22 125 ， P2E 1 AP25 1即 AP2是 AP 的最小值點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、最短路徑問題，利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵三、利用軸對(duì)稱，求直線上一點(diǎn)到直線同側(cè)兩點(diǎn)的線段之和最短例 3 （2014 張家界）如圖 5，AB、CD是半徑為 5 的 O的兩條弦， AB8，CD 6，

4、MN 是直徑，ABMN于點(diǎn) E，CDMN于點(diǎn) F，P為EF上的任意一點(diǎn)， 則PA PC的最小值為 分析 A、B 兩點(diǎn)關(guān)于 MN對(duì)稱，因而 PAPCPBPC，即當(dāng) B、C、 P 在一條直線上時(shí)， PA PC的最小，即 BC的值就是 PAPC的最小值解 如圖 6，連接 OA， OB，OC，作 CH垂直于 AB于點(diǎn) H 根據(jù)垂徑定理，得到在 Rt BCH中，根據(jù)勾股定理得到BC 7，則 PA PC 的最小值為 7點(diǎn)評(píng) 正確理解 BC的長(zhǎng)是 PA PC的最小值，是解決本題的關(guān)鍵例 4（2014東營(yíng)）如圖 7，在 O中，AB是O的直徑， AB 8cm， ?AC C?D ?BD ， M是 AB上一動(dòng)點(diǎn)，則

5、 CM DM的最小值是 cm解析 如圖 8，作點(diǎn) C關(guān)于 AB的對(duì)稱點(diǎn) C，連結(jié) CD與 AB相交于點(diǎn) M，根據(jù)軸對(duì)稱 確定最短路線問題，點(diǎn) M為 CMDM的最小值時(shí)的位置，根據(jù)垂徑定理可得?AC ?AC ，然后求出 CD 為直徑，從而得解 CMDM的最小值是 8cm點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，垂徑定理，熟記定理并作出圖形，判斷 出 CM DM的最小值等于圓的直徑的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵四、利用切線的性質(zhì)求最小值例 5（2010 蘇州）如圖 9，已知 A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 （2 ，0） 、 （0 ， 2） ， C的圓心 坐標(biāo)為（ 1，0），半徑為 1若 D是 C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 線段 D

6、A與 y軸交于點(diǎn) E，則 ABE 面積的最小值是 （ ）(A)2(B)1(C)22(D)2解析 根據(jù)三角形的面積公式， ABE底邊 BE上的高 AO不變， BE越小，則面積越小， 可以判斷當(dāng) AD與 C相切時(shí)， BE的值最小根據(jù)勾股定理求出 AD的值，然后根據(jù)相似三 角形求出 OE的長(zhǎng)度，代入三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解如圖 10，由題意知道當(dāng) DA是圓 C的切線時(shí)， OE最短，此時(shí) ABE面積最小 AC213 CD1故選 C點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相 似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出 OE的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵五、立體圖形上兩點(diǎn)之間最短距離例 6（ 2014 蘭州）如圖 11，有一個(gè)圓錐形的糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為6cm的正三角形，母線的中點(diǎn) P 處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，求小貓經(jīng)過的最短路程解析 如圖 12，先確定扇形的圓心角，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，再確定起點(diǎn)和終點(diǎn)， 從而求解， ABC為正三角形BC6 l 2 3 6 根據(jù)底面積圓的周長(zhǎng)等于展開后扇形的弧長(zhǎng)，得n6180故 n180，則 BAC 90，BP 36 9 3 5 （米）答：小貓所經(jīng)過的最短路程是 3 5 米點(diǎn)評(píng) 本題考查平面展開最短路徑問題，關(guān)鍵知道兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)勾股定理 求解以圓為載體的最值問題在中考試題中通常以選擇、填