平面向量公式及易錯(cuò)點(diǎn)

1、平面向量公式設(shè) a= (x, y), b=(x', y')。1、向量的加法向量的加法滿足 平行四邊形法則 和三角形法則。AB+BC=AC 。a+b=（x+x' ， y+y'）。a+O=O+a=a 。向量加法的運(yùn)算律：交換律：a+b=b+a ；結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）。2、向量的減法如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b， b=-a， a+b=0. 0的反向量為0AB-AC=CB.即“共同起點(diǎn)，指向被減”a=（x,y） b=（x',y'）則 a-b=（x-x',y-y'）.4、數(shù)乘向量實(shí)數(shù)入和向量a的乘積是一個(gè)向量，

2、記作入a，且I入=al入I ?al。當(dāng)入貝）時(shí)，入a與a同方向；當(dāng)入0時(shí)，入a與a反方向；當(dāng)入=（時(shí)，入a=0，方向任意。當(dāng)a=0時(shí)，對于任意實(shí)數(shù) 入，都有入a=0。注：按定義知，如果入a=0，那么入=0或a=0。實(shí)數(shù)入叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量 入a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。當(dāng)I入I1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（入0）或反方向（入 0） 上伸長為原來 的I入I倍；當(dāng)I入I1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（入0）或反方向（入 0） 上縮短為原來 的I入I倍。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律：（入 a）?b=入（a?b）=（a? 入 b）。向量對于數(shù)的 分配律（

3、第一分配律）：（入+）a=入a+卩a.數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b）=入a+入b.數(shù)乘向量的消去律：如果實(shí)數(shù) 入工0且入a=入b, 那a=b。 如果a0且入a=卩a，那么入=3。3、向量的的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作a,b> 并規(guī)定 Ow a,bWn定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，記作a?b。若a、b不共線，則a?b=|a|?|b|?cosa,b；若 a、b 共線，則 a?b=+- I a II b I。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a?b=x?x'+y?y'。向量的數(shù)量積的

4、運(yùn)算律a?b=b?a （交換律）；（入a）?b=入（a?b）（關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律（a+b）?c=a?c+b?c （分配律）向量的數(shù)量積的性質(zhì)a?a=|a|的平方。a 丄 b = > a?b=0。|a?b| w |a|?|b|。向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1、 向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：（a?b）?c 豐a?（b?c）;例如：（a?b）A2 豐aA2?bA22、 向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由a?b=a?c （a 豐0），推不出c。3、|a?b| 工 |a|?|b|4、 由 |a|=|b|，推不出 a=b 或 a=-b。4、向量的向量積定義：兩個(gè)向量a和b的向量積（外積、叉積）

5、是一個(gè)向量，記作 ax b。若a、b不共線， 則axb的模是：I ax b I =|a|?|b|?sin a, b> axb的方向是：垂直于 a和b,且a、b和 axb按這個(gè)次序構(gòu)成右手系。若 a、b共線，則ax b=0。向量的向量積性質(zhì)：I ax b I是以a和b為邊的平行四邊形面積。a x a=0。a II b < = > a x b=0。向量的向量積運(yùn)算律ax b=-bx a;（入 a） x b=入（a x b） =a x ；（入 b）（a+b） x c=a x c+b x c.注：向量沒有除法，"向量 AB/向量CD'是沒有意義的。向量的三角形不等式

6、1、I I a I -I bI IwI a+b IwI a I + I b I;當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào)；當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。2、I I a I -I bI I w I a-b I w I a I + I b I 。當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào)；當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。定比分點(diǎn)定比分點(diǎn)公式 （向量pip=入？向1PP2）設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是I上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)實(shí)數(shù) 入，使向 量P1P=入？向量P2，入叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。若 P1 （x1,y1）, P2（x2,y2）, P（x,y）,則有0P=（0P1+入0P

7、2）（1+入（定比分點(diǎn)向量公式）x=（x1+ 入 x2）/（1+入）,y=（y1+入y2）/（1+ （定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式三點(diǎn)共線定理若0C=入0A + 0B ,且入+卩=1 ,人則B、C三點(diǎn)共線三角形重心 判斷式在厶ABC中，若 GA +GB +GC=0,貝U G ABC的重心編輯本段向量共線的重要條件若b豐0，則a/b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)入，使a=入b。a/b的重要條件是 xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。編輯本段向量垂直的充要條件a丄b的充要條件是 a?b=0。a丄b的充要條件是 xx'+yy'

8、=0。零向量0垂直于任何向量.平面向量易錯(cuò)點(diǎn)湖南 周友良周芬在平面向量的復(fù)習(xí)中， 首先要掌握其基本概念與運(yùn)算. 如果不能正確理解向量的基礎(chǔ)知 識(shí)，或在某些概念及公式的理解上存在模糊認(rèn)識(shí)， 就會(huì)造成一些表面看起來正確而實(shí)際上錯(cuò) 誤的判斷，使解題思路走入誤區(qū)，現(xiàn)例舉如下，望同學(xué)們引起注意.一、對兩向量夾角的定義理解不清而致錯(cuò)uuu uuur umr mu urn uuu例1 在邊長為1的正三角形 ABC中，求ABgBC BCgCA CAgAB的值.uum uuu 錯(cuò)解：ABgBCuuu uuu uuu uuuBCgCA CAgABuuuuuiuABBCcos60011132 2 2 2 '

9、分析：兩向量夾角的定義的前提是其起點(diǎn)要重合.umr uuuBC CA cos60ouuuuuuuuiuCAABuuiu uuucos60ouuu uuu向量AB與BC , BC與CA , CA與iunAB的夾角通過平移后發(fā)現(xiàn)都不是60°,而是120°.這是由于對兩向量夾角的定義理解不透造成的.uuu uuur uuu uuu uuu uuu 正解：ABgBC BCgCA CAgABuuu ulutAB BC cos120)uuLii uurBC CA cos12(fuuu uuuCA AB cos12(f11132 2 2 2 注意：向量a與b的夾角為銳角的充要條件是 ag

10、)> 且a與b不共線.這里，a與b不 共線不能忽略.二、對向量的數(shù)量積理解不透徹而致錯(cuò)例2向量a、b都是非零向量，且向量 a + 3b與7a b垂直，a 4b與7a b垂 直，求a與b的夾角.錯(cuò)解：由題意，得(a + 3b)g7ab) 0,(ab)g7ab) 0,將、展開并相減，得46agb二b2，1 b ，故 a = b，2將代入，得a2 b2,設(shè)a與b夾角為，則cosagoagb|b2b2/ 0o < < 180o，二60o.分析：上面解法表面上是正確的，但卻存在著一個(gè)理解上的錯(cuò)誤，即由得到，錯(cuò)把數(shù)的乘法的消去律運(yùn)用在向量的數(shù)量積運(yùn)算上.由于向量的數(shù)量積不滿足消去律，所以

11、即使b，也不能隨便約去.正解：設(shè)向量a、b的夾角為，由上面解法有 2ag)= b2，代入式、式均可得a2 b2，貝U a b ,agb 1cos-j-j| .adb 2又 0o < <0 ,60o.三、混淆點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)而致錯(cuò)例 3 判斷 ABC 的形狀：A(1, 2) , B( 3,5) , C( 5,2).錯(cuò)解：/ 1 ( 3) ( 2) 5130,1 ( 5) ( 2) 29 0 , ( 3) ( 5) 5 2 25 0, ABC為鈍角三角形.分析： 把點(diǎn)的坐標(biāo)誤認(rèn)為向量的坐標(biāo)，得出錯(cuò)誤的結(jié)論 事實(shí)上， 由點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定有關(guān)向量的坐標(biāo)，再通過計(jì)算向量的數(shù)量積，精確判斷出三角形的形狀uuuruuur正解： CA（6， 4