高中數(shù)學 向量數(shù)量積

1、向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積Fs W=|F|s|cos OABba 功：功：從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積數(shù)量積”的概念的概念。Fs )1800( 兩個非零向量兩個非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb 180 與與 反向反向abOABabOAa0 與與 同向同向abOABaba Bbb AOBab則則 叫做向量叫做向量 和和 的夾角的夾角記作記作ab90 與與 垂直，垂直，abOAB ab注意注意:在兩向量的夾角在兩向量的夾角定義中定義中,兩向量必須是兩向量必須是同起點同起點的的1.向量之間的夾角OAaBb abOAaBb ab C練習：如圖，等邊

2、三角形中，求練習：如圖，等邊三角形中，求 （1）AB與與AC的夾角；的夾角； （2）AB與與BC的夾角。的夾角。ABC 通過平移通過平移變成共起點！變成共起點！12060試一試吧！試一試吧！ 已知兩個非零向量已知兩個非零向量 與與 ，它們的，它們的夾角為夾角為，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量| | | |cos叫做叫做 與與 的的數(shù)量積數(shù)量積（或（或內(nèi)積內(nèi)積），記作），記作 =| | | | cosaaaaaabbbbbb注意：向量的注意：向量的數(shù)量積是一個數(shù)量積是一個數(shù)量。數(shù)量。規(guī)定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上（或向量（或向量

3、在在 方向上）的方向上）的投影投影.bbaa 叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上（或向量（或向量 在在 方向上）的方向上）的投影投影bbaa|cos (|cos )ba或2.2.定義定義 a b = | a | b | coscosa b| a | | b |cosa b| a | | b |=這四個量都是數(shù)量，知道其中任意三個量可求出第四個量夾角公式數(shù)量積數(shù)量積 OAa Bb：v“ ”不能省略不寫，也不能寫為“”，數(shù)學中“ a b”表示兩個向量的向量積(或外積)va b表示數(shù)量而不表示向量，與實數(shù)a b不 同, a+b 、 a-b表示向量； v規(guī)定: 0 a=0 數(shù)量積數(shù)量積: a b =

4、| a | b |cos 數(shù)量積數(shù)量積 a b 等于等于a 的長度的長度| a |與與 b 在在 a 的方的方向上的投影向上的投影| b |cos 的乘積的乘積.AOAOB| b |cos = b| b |cos 0| b |cos 0| b |cos b | b |cos 0OAaBbOAaBbOAaBb 數(shù)量積數(shù)量積: a b =| a | b |cos B1B1B 向量的數(shù)量積是一個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量數(shù)量，那么它什，那么它什么時候為正，什么時候為負？么時候為正，什么時候為負？ =| | | | cosaabb當當 =90時時 為零。為零。ab當當90 180時時 為負。為負。ab當當

5、0 90時時 為正；為正；ab(3)當a與b同向時,a b= |a|b|; 當 a與 b反向時,ab=-|a|b|特別地,a a =a 2= | a |2或 | a |=a a . 設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，是a與e的夾角,則 (1) e a a e | a |cos.| a | b |cos =0 a b =0向量a與b共線 | a b |=| a | b |a b =| a | b |cos(2)ab a b =0.(5)| a b | a | b |.=(4)cos=|a| |b|ab= cos=0 25、數(shù)量積的運算律：交換律：交換律：abba對數(shù)乘的結(jié)合律：對

6、數(shù)乘的結(jié)合律：)()()(bababa分配律：分配律：cbcacba )( )()(cbacba測一測呀測一測呀！1 1若若 = = ，則對任一向量，則對任一向量 ，有，有 = =0aa0bb5.5.若若 ， = = ，則，則 =aaabb0cc6.6.若若 = = , ,則則 , ,當且僅當當且僅當 = = 時成立時成立aaabbcc03 3若若 ， = =0，則，則 = = aabb004.4.若若 = = ，則，則 中至少有一個為中至少有一個為 aabb00 2 若若 ，則對任一非零向量，則對任一非零向量 ,有有 0aab0b)().(7cbacba22aa 8.對任意向量對任意向量 有

7、有a 已知|a|=5,|b|=4, a和b的夾角為60,求ab.a b=|a|b|cos ：若=120 呢？ =90呢？=54cos60=10=5 54 421120 =54cos120 =-10=5 54 4)21( a b=|a|b|cos . 設|a|=12,|b|=9, ab=-542 求a和b的夾角.cos =a b|a|b|=- 54 2129-2 =135=2cos ： 若若 ab=1082 呢？呢？ (1)|5, |6,30aba b ，(2)| 10, | 15,45aba b ，(3)|8, |2,135aba b ，15 375 28 2 祝你成功，繼續(xù)努力！*. 已知已

8、知ABC中中, AB=a, AC=b, 當當 ab 0, ab =0時時, ABC各是什么三角形？各是什么三角形？當當a b0時，時， cos 0，為鈍角三角形為鈍角三角形當當a b=0時，時，為直角三角形為直角三角形（2）例例 3：求證：求證：（1）2222)bbaaba22)(babababbaaba)()(bbbaabaa222bbaa)()()(2bababa證明證明:（1）bbaabababa)()()(bbbaabaa22ba證明證明（2）2222)(bababa22)(bababa我們知道，對任意我們知道，對任意,Rba恒有恒有2222)(bbaaba22)()(bababa對于任意向量對于任意向量 ， 也有下面類似的結(jié)論也有下面類似的結(jié)論ab變式：求 |a+2b|,|a-b|例例4 4、已知、已知60 ,60 ,o o 的夾角為的夾角為6aba與4b)3()2(baba求求兩個向量的數(shù)量積是否兩個向量的數(shù)量積是否為零為零, ,是判斷相應的兩條是判斷相應的兩條直線是否垂直的重要方直線是否垂直的重要方法之一法之一. . babakkbaba2,60, 4, 5使為何值時問夾角為與且已知例例502222babbakak1514:k解得 babakk2,1514時所以當01621