專題研究：全等三角形證明方法歸納及典型例題

1、優(yōu)秀教案歡迎下載全等三角形的證明全等三角形的性質(zhì)：對應角相等，對應邊相等，對應邊上的中線相等，對應邊上 的高相等，對應角的角平分線相等，面積相等.尋找對應邊和對應角，常用到以下方法：(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊.(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角.(3)有公共邊的，公共邊常是對應邊.(4)有公共角的，公共角常是對應角.(5)有對頂角的，對頂角常是對應角.(6)兩個全等的不等邊三角形中一對最長邊(或最大角)是對應邊(或?qū)?，一 對最短邊(或最小角)是對應邊(或?qū)?要想正確地表示兩個三角形全等，找出對應的元素是關鍵.全等

2、三角形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS:兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.(2)角邊角定理(ASA:兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.(3)邊邊邊定理(SSS:三邊對應相等的兩個三角形全等.(4)角角邊定理(AAS:兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.(5)斜邊、直角邊定理(HL):斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等. 全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、 角相等、兩直線垂直等 問題，在證明的過程中，注意有時會添加輔助線.拓展關鍵點：能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關系和大小 關系而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相

3、等是幾何證明的基礎.專題1、常見輔助線的做法典型例題找全等三角形的方法：(1) 可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段(或兩個角)分別在 哪兩個可能全等的三角形中；(2) 可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；(3) 可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；(4) 若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。 三角形中常見輔助線的作法：1延長中線構(gòu)造全等三角形；2利用翻折，構(gòu)造全等三角形；優(yōu)秀教案歡迎下載3引平行線構(gòu)造全等三角形；4作連線構(gòu)造等腰三角形。 常見輔助線的作法有以下幾種：(1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，

4、 思維模式是全等變換中的“對折”。例1：如圖，ABC是等腰直角三角形，/BAC=90,BD平分/ABC交AC于點D,CE垂直于BD,交BD的延長線于點E。求證：BD=2CE思路分析：1)題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應用2)解題思路：要求證BD=2CE可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分 /ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。解答過程：證明：延長 BA，CE 交于點 F，在 BEF 和 BEC 中，/ 仁/2，BE=BE，/ BEF= / BEC=90， BEFABEC, EF=EC，從而 CF=2CE。又/ 1 +ZF= / 3+ZF=90，故/ 1= /

5、3。在AABD 和AACF 中，T/ 仁/3，AB=AC，/ BAD= / CAF=90 ，AABDB AACF，. BD=CF， BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應 用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯(lián)系， 為同學們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化 歸的數(shù)學思想，它是解決問題的關鍵。(2)若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu) 造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。例 2：如圖，已知AABC 中，AD 是/ BAC 的平分線，AD 又是 BC 邊上的中線

6、。求證：AABC 是等腰三角形。思路分析：1)題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。2) 解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等優(yōu)秀教案歡迎下載條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD 又是 BC 邊上的中線這一條件，而且要求證 AB=AC，可倍長 AD 得全等三角形，從而問題得證。解答過程：證明：延長 AD 至 U E，使 DE=AD，連接 BE。又因為 AD 是 BC 邊上的中線， BD=DC又/ BDE= / CDA BED CAD, 故 EB=AC，/ E= / 2,TAD 是/ BAC 的平分線/ 仁/2,/ 仁/ E,AB=EB從

7、而AB=AC即卩ABC是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再將 端點連結(jié)，便可得到全等三角形。(3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用 的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性 質(zhì)定理或逆定理。例3:已知，如圖，AC平分/BAD CD=CB ABAD求證：/B+ZADC=180。思路分析：1)題意分析：本題考查角平分線定理的應用。2)解題思路：因為AC是ZBAD的平分線，所以可過點C作ZBAD的兩邊的 垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。解答過程：證明：作CELAB于E，CF丄AD于F。

8、TAC平分ZBADCE=CF在RtCBE和RtCDF中,TCE=CF CB=CD優(yōu)秀教案歡迎下載RtCB專RtCDF優(yōu)秀教案歡迎下載/B=ZCDFvZCDFADC=180,/B+ZADC=180。解題后的思考：關于角平行線的問題，常用兩種輔助線;見中點即聯(lián)想到中位線。（4）過圖形上某一點作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式 是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”例4:如圖，ABC中，AB=AC E是AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，連EF交BC于D,若EB=CF求證：DE=DF思路分析：1） 題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2） 解題思路：因為 DE、DF 所在

9、的兩個三角形 DEB 與 DFC 不可能全等，又知 EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E 作 EG/CF， 構(gòu)造中心對稱型全等三 角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。解答過程：優(yōu)秀教案歡迎下載證明：過E作EG/AC交BC于G,則ZEGBZACB優(yōu)秀教案歡迎下載又AB=AC：/B=ZACB/ B=Z EGB / EGDH DCF EB=EG=CFvZEDBMCDF DGEADCF DE=DF解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法:例5： ABC中，ZBAC=60，ZC=40，AP平分ZBAC交BC于P,BQ平分ZABC交AC于Q求證：AB+BP=BQ+A

10、Q思路分析：1） 題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2） 解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+A彫勢較為復雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^0作BC的平行線。得AD3AAQO得至UOD=O,AD=AQ只要再證出BD=O蹴可以 了。解答過程：證明：如圖（1）,過O作OD/ BC交AB于D, ZADOZABC=1806040=80,又vZAQOZC+ZQBC=80, ZADOZAQO又vZDAOZQAO OA=AO ADOAAQOF圖優(yōu)秀教案歡迎下載 0D=0,AD=AQ又OD/ BP, /PBOMDOB又/PBOMDBO /

11、DBOMDOBBD=OD又/BPA2C+ZPAC=70,/BOPZOBAZBAO=70, ZBOPZBPOBP=OBAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解題后的思考：(1) 本題也可以在AB上截取AD=AQ連OD構(gòu)造全等三角形,即“截長法”(2) 本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖(2),過O作OD/ BC交AC于D,則厶ADOABO從而得以解決。圖圖O)如圖如圖( (引引, ,過過0作作DEEC交交AB于于D,交直交直C于于E, OJJAADOAAQOPAABOAAE 0從而得以解決從而得以解決. .如圖如圖 ，過，過P作作PD#BQ交交AB的延長線于的延長

12、線于D,則則AAPDAAPCM而而 得以得以解訣解訣. .如圖(5),過P作PD/ BQ交AC于D,則厶ABPAADP從而得以解決圖圖(3)優(yōu)秀教案歡迎下載圖小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法， 體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全 等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu) 造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行 線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu) 造了全等三角形。（5）截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段 相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關 性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。例6:如圖甲，AD/ BC點E在線段AB上，/ADE=/CDE/DC=ZECB求證：CD=ADFBC思路分析：1） 題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2） 解題思路：結(jié)論是CDAC+BC,可考慮用“截長補短法”中的“截長”， 即在CD上截取CF=CE，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問 題，從而達到簡化問題的目的。解答過程：證明：在CD上