對(duì)弧長的曲線積分1ppt課件

1、10-1. 10-1. 對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分10-4.對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分10-1. 對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分d)(Xf = L R2, f (X ) = f (x, y), (x, y)L, d =dsLsyxfd),(對(duì)弧長的曲線積分對(duì)弧長的曲線積分因?yàn)閐s0. 所以對(duì)弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān)：BAABDyxLAB曲線積分定積分(1) L：y=y(x), axb假設(shè) y(x)C1(a, b). 有xxyxyxfsyxfbaLd)(1) )(,(d ),(2( a b )xxysd)(1d2 計(jì)算：計(jì)算：(2) L：x=x(y), cyd假設(shè) x(y)C

2、1(c, d). 有yyxyyxfsyxfdcLd)(1),(d ),(2( c d )yyxsd)(1d2例例1. 1. 計(jì)算計(jì)算.dsyL其中 L 為y2=2x自點(diǎn)(0, 0)到點(diǎn)(2, 2)的一段弧.xxxsyLd2112d 20解解1 1：0 x2,2 :xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220) 155(31解解2 2：0y2,2 :2yxLyyysyLd1d 202yyxsddd1d2yy d12) 155(31022yx22yx 例例2. 2. 計(jì)算計(jì)算Lsyxd)(L: 連接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的閉折線OABO.解：

3、解：L分段光滑分段光滑BOABOAL ds=dx21d)0(d)(10 xxsyxOAOA: y=0, 0 x1O2AByx110d5)22(d)(xxxsyxABAB: y=22x, 0 x1xysd1d2xd552320dd)(yysyxBOBO: x=0, 0y2 ds=dy=2252321d)( Lsyx)535(21O2AByx1(3) L：x=(t), y=(t), ttttsd)()(d22tttttfsyxfLd)()()(),(d ),(22( )例例3. 3. 計(jì)算計(jì)算Lsyxd)(22其中L: x2+y2=a2.L: x=acos t, y=asin t, 0t2Lsyx

4、d)(22ttatatatad)cos()sin()sincos(22222022taad20232 a(4) 空間R3中的曲線：x=(t), y=(t), z=(t), tszyxfd),( xyzOtttttttfd)()()()(),(),(222( )例例4. 4. 計(jì)算計(jì)算.d)(23szyx其中：從點(diǎn)A(3, 2, 1)到點(diǎn)O(0, 0, 0)的直線段.解：直線段解：直線段 AO 方程：方程：123zyx化成參數(shù)方程：x=3t, y=2t, z=t, 0t1.ttttszyxd123)2()3(d)(222210323tt d14311031443110-4. 對(duì)面積的曲面積分對(duì)面

5、積的曲面積分 = R3, f (X)=f (x, y, z), (x, y, z), d=dSSyxfd ),(對(duì)面積的曲面積分對(duì)面積的曲面積分曲面積分二重積分d)(Xf 計(jì)算：計(jì)算：(1)：z=z(x, y), (x, y)Dxy假定 z(x, y) C1(Dxy), f (x, y, z) C()dSznd有 d =cosdS 或cosddSddSnMzxy0DxySSnddSM有 d =cosdS 或cosddS因?yàn)? 1 , ,(yzxzn所以2211cosyzxz故yxyzxzSdd1d22于是于是yxyzxzyxzyxfSzyxfxyDdd1),(,(d ),(22例例5. 5.

6、計(jì)算計(jì)算zSd其中為球面 x2+y2+z2=a2被平面z=h(0ha)截出的頂部.解：解：222:yxazDxy: x2+y2a2h2222222 ,yxayyzyxaxxz又zyxaODxyh有222221yxaayzxz故xyDyxayxazS2222)(dddxyDyxayxa222dd2202220ddhararrahaaln2例例6. 6. 計(jì)算計(jì)算，Syxd)(22其中 是圓錐面22yxz與平面 z=1 所圍圓錐體的整個(gè)外表面.xyz1Dxy2解：解：211：22yxzDxy: x2+y21又2222 ,yxyyzyxxxz有2122yzxz故yxyxSyxxyDdd )(2d )(2222110320dd2rr222：z=1Dxy: x2+y21又0 , 0yzxz有1122yzxz故yxyxSyxxyDdd )(d )(222222從而) 12(2d )(22Syxxyz1Dxy2