求直線方程若干方法(必看)

1、求直線方程的若干方法例題講評1、直接法例1. 直線在軸上的截距為3，且傾斜角的正弦值為，求直線的方程。解： ，直線的斜率故所求直線的方程為即或評注：由題意直接選擇直線方程五種形式中的任何一個，寫出形式適當?shù)姆匠碳礊橹苯臃āＭ瑫r，求解本例時不要混淆概念，傾斜角應在內(nèi)，從而有兩個解。2、公式法例2. 過點P（2，1）作直線交軸、軸正方向于A、B，求使的面積最小時的直線的方程。解：設所求直線方程為，則由直線過點P（2，1），得即，由，得所以當且僅當，即時，取得最小值為4此時所求直線方程為，即評注：由題意直接選擇直線方程五種形式中最恰當?shù)囊环N形式來假設方程，再求解方程，稱為公式法。這里選擇了截距式方程

2、。3、直線系法直線系的定義：具有某種共同性質(zhì)的直線的集合，叫做直線系它的方程叫做直線系方程例3. 求過與的交點且與直線平行的直線方程。解：設與交點的直線方程為即因為所求直線與平行所以，解得將代入(*)，得所求直線方程為4、向量法例4. 求與直線夾角相等，且過點（4，5）的直線的方程。解：設所求直線l的方程為即其方向向量為又直線與的方向向量分別為與由已知條件及向量內(nèi)積公式，得即解得或故所求直線方程為或評注：利用5、相關(guān)點法利用相關(guān)點法求直線的方程實質(zhì)上是軌跡法。例5. 求直線關(guān)于直線的對稱直線方程。解：設所求的對稱直線上任意一點坐標為（x，y）關(guān)于直線的對稱點為，則解得因為在直線上所以即6、參數(shù)

3、法例6. 過點P（3，0）作一直線，使它夾在兩直線和之間的線段AB恰被P點平分，求此直線方程。解：設所求直線分別與交于A、B因為A在直線上故可設又P（3，0）為AB的中點由中點坐標公式，得由B在上，得解得，即由兩點式得所求直線方程為7、結(jié)構(gòu)分析法例7. 若兩條直線相交于點P（1，2），試求經(jīng)過點與的直線方程。解：將與的交點P（1，2）代入與的方程，得，根據(jù)以上兩式的結(jié)構(gòu)特點易知：點與的坐標都適合方程故經(jīng)過點A、B的直線的方程為練習提高1、求滿足下列條件的直線方程:(1)求通過點(1,-2),且與兩坐標軸圍成的圖形是等腰直角三角形的直線;(2)已知直線l1:2x+y-6=0和點A(1,-1),過

4、點A作直線l與l1交于B點,且|AB|=5,求l的方程.【規(guī)范解答】 (1)由題設，設所求直線方程為,由已知條件得:解之得:,故所求直線方程為:x+y+1=0或x-y-3=0.(2)過點A(1,-1)與y軸平行的直線為x=1,解方程組,求得B點坐標為(1,4),恰好滿足|AB|=5,故x=1符合題意.又設過點A(1,-1)且與y軸不平行的直線為:y+1=k(x-1),解方程組 得兩直線交點為惠生活 觀影園愛尚家居 嘟嘟園迅播影院www.gvod.us請支持我們，會有更多資源給大家B解之:k=-,y+1=-(x-1).綜上討論知:所求的直線方程為x=1或3x+4y+1=0.2、 過點P(2,1)

5、作直線l與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點,求AOB面積的最小值及此時直線l的方程.【解前點津】 因直線l已經(jīng)過定點P(2,1),只缺斜率，可先設出直線l的點斜式方程,且易知k<0,再用k表示A、B點坐標，結(jié)合函數(shù)及不等式知識求解.【規(guī)范解答】 解法一：設直線l的方程為:y-1=k(x-2),令y=0,得:x=;令x=0,得y=1-2k,l與x軸、y軸的交點均在正半軸上,>0且1-2k>0故k<0,AOB的面積S=當且僅當-4k=-,即k=-時,S取最小值4,故所求方程為y-1=-(x-2),即:x+2y-4=0.解法二：設直線方程為,A(a,0),B(0,b),且a&g

6、t;0,b>0,點P(2,1)在直線l上,故,由均值不等式:1=當且僅當,即a=4,b=2時取等號,且S=ab=4,此時l方程為即:x+2y-4=0.【解后歸納】 解法一與解法二選取了直線方程的不同形式，3、過點A(-1,-)作圓x2+y2=1的切線，求切線方程.【解前點津】 因點斜式方程y+=k(x+1)不包括垂直于x軸的直線,故一定要考慮垂直于x軸的直線是否符合題意.【規(guī)范解答】 因,所以點A在圓外，故過A的切線有兩條.當過點A且垂直于x軸時,直線方程為:x=-1,易知適合條件.當過點A且不垂直于x軸時,不妨設切線方程為:y+=k(x+1).因圓心O(0,0)到直線y+=k·(x+1)的距離等于半徑,故由.此時直線方程為y+=,即:x-y-2=0.綜上討論得,所求的直線方程為x=-1或x-y-2=0.【解后歸納】 求圓的切線方程，即可用幾何法(即圓心到切線的距離等于半徑),又可用“代數(shù)法”(即利用判別式=0).4、設直線l的方程為:(a+1)·x+y+2-a=0(aR).(1)若l在兩坐標軸上截距相等，求l的方程;(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.【解前點津】 l不經(jīng)過第二象限的充要條件是直線l在y軸上的截距不在x軸上方且斜率為非負實