常微分方程(1)ppt課件

1、5.3 線性常系數(shù)齊次方程線性常系數(shù)齊次方程)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式一、定義-特征方程法特征方程法,rxye設(shè)方程有形式的形式解代入代入 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法 有兩個不相等的實根有

2、兩個不相等的實根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為 有兩個相等的實根有兩個相等的實根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為 有一對共軛復(fù)根

3、有一對共軛復(fù)根1,ri2,ri()1(cossin)ixxyeexix()2(cossin)ixxyeexix)0( 方程兩根方程兩根:1*cos,xyex2*sin,xyex得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為得兩實根得兩實根:02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達(dá)達(dá)式式實實根根21rr 實實根根21rr 復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通

4、解的方法稱為特征方程法確定其通解的方法稱為特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例1 100 12 3601,0 xxyyyyy練習(xí)： 求初值問題 .052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得1 212 ,ri ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例2 2 3 20 yyy練習(xí)： 求的通解01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPrPr特征方程的根

5、特征方程的根通解中的對應(yīng)項通解中的對應(yīng)項rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110三、三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法注意注意n次特征方程有次特征方程有n個根個根, 而每個根對應(yīng)著通解中的一項而每個根對應(yīng)著通解中的一項,且每一項對應(yīng)一個任意常數(shù)且每一項對應(yīng)一個任意常數(shù).nnyCyCyCy 2211(4)3. 0 yy例求方程的通解4 10r 解： 特征方程：12341,1,rrriri 特征根：1234cossinxxyC eC eCxCx通解：特征根為特

6、征根為123451,rrrirri 故所求通解為故所求通解為.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方程為特征方程為, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例4 42( )x ypxyqyf xdyxydt,tex 令xtln即222d ydyx ydtdt歐拉方程(可化為常系數(shù)線性方程) 例例5.，此歐拉方程化為：，即解：令xtextln02522ydtdydtdydtyd02322ydtdydtyd得：特征方程：01232rr的通解求方程0252yxyyx特征根：1212,2rr

7、 通解為：12212ttyc ec e12212c xc x001)1(11)(axyayxayxnnnnn歐拉方程(可化為常系數(shù)線性方程) tex 令xtln有dyxydtdtdydtydyx222? 3yx?)4(4yx,ddtD 記有: yDyxyDyDyx 22, ), 3, 2(ddktDkkkyDD) 1(ykDDDyxkk) 1() 1()()(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即算子解法算子解法: 例例6.滿足設(shè)函數(shù))(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且. )(xy求解解: 由題設(shè)得定解問題由題設(shè)得定解問題xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy(1),tex 令,ddtD 記那么(1)化為teyD5)4(2特征根: ,2ir設(shè)特解: (2),teAy(3)代入(3)