高等數(shù)學(xué)1-2定ppt課件

1、高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-02高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-03高等數(shù)學(xué) 第一章 第三節(jié) 幻燈片02-18高等數(shù)學(xué) 第一章 第三節(jié) 幻燈片02-19高等數(shù)學(xué) 第一章 第三節(jié) 幻燈片02-202. 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系證證,)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè)Axfx )()( 令令, 0)(lim0 xxx則則有有).()(xAxf 定理定理1 1Axfxx )(lim0.)(0時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxx ),()(xAxf , 0 , 0 ,|00 xx當(dāng)當(dāng)恒有恒有 |)(|Axf也即也即 | )(|x無窮小與無窮大無窮小與無窮大),()(

2、xAxf 設(shè)設(shè),是是常常數(shù)數(shù)其其中中A,)(0時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)xxx Axfxx )(lim0.)(0時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)其中其中xxx ),()(xAxf 于是于是| )(|)(|xAxf , 0 , 0 ,|00 xx當(dāng)當(dāng)恒有恒有 | )(|x即即.|)(| Axf.)(lim0Axfxx 類似可證明類似可證明 的情形的情形. x定理定理1 1無窮小與無窮大無窮小與無窮大意義意義（1將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限 問題問題(無窮小無窮小);02( )( ),( ).f xxf xAx（）給出了函數(shù)在附近的近似表達式誤差為3、無窮小的運算性質(zhì)、無

3、窮小的運算性質(zhì):定理定理1.2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小代數(shù)和仍是無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小窮小. .1,nn 例如時是無窮小，11.nn但 個 之和為 不是無窮小定理定理1.3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小窮小.推論推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論推論2 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.211,0,sin,arctanxxxxx例 如 當(dāng)時都是無窮小都是無窮小xxxsinlim高等數(shù)學(xué) 第一章 第三節(jié) 幻燈

4、片02-23解：sin1limlimsinxxxxxx1sinsin1)xxxx 又當(dāng)時，為無窮小量，為有界變量(,sinlim0 xxx絕對值無限增大的變量稱為無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大.特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大00lim( )(lim( )()()f xf xxxxxxx或注意注意 （1無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;（3無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.02lim( ).f xxx（ ）切勿將認為極限存在00:lim( ),( ).f xxxxx

5、yf x 若則稱直線是曲線的一條鉛直漸近線定義高等數(shù)學(xué) 第一章 第三節(jié) 幻燈片02-29lim( )f xAlim( )g xB(1)lim ( )( )lim ( ) lim ( )f xg xf xg xA B二、極限運算法則(2)lim ( )( )lim ( ) lim ( )f xg xf xg xA B( )lim( )(3)lim(0)( )lim( )f xf xABg xg xBlim( )lim ( )Cf xCf xlim ( )lim ( )nnf xf x高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-053221lim53xxxx高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-06解：

6、原式=3222lim(1)lim(53)xxxxx73 322125 23 22134lim54xxxxx解：原式=2121lim(34)lim(54)xxxxxx53 00解：原式=1(1)(4)lim(1)(4)xxxxx14lim4xxx512lim5xxx 解：原式=5(12)(12)lim(5)(12)xxxxx 51lim12xx 51 4lim(5)(12)xxxx （要先變形）142lim ()xxxx解：原式=2limlimxxxxx 解：原式=222()()lim()xxxxxxxxxx222limxxxxxxx2limxxxxx1lim111xx12(分子有理化)223l

7、im235xxxxx高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-07213lim352xxxx解：原式=21lim(3)35lim(2)xxxxx32232321lim25xxxxx233321lim152xxxxxx解：原式=233321lim()15lim(2)xxxxxxx02032225lim321xxxxx323152lim321xxxxxx解：原式= （不存在）11101110lim 0, , (0,0) , mmmmnnnnmmnnxa xaxa xab xbxb xbmnamnabbmn高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-08高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-0900例例).2

8、1(lim222nnnnn 求求解解是無限多個無窮小之和是無限多個無窮小之和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-090sin(1)lim1xxx1(2)lim(1)xxex0sin(1)lim1xxx高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-10)()()(xhxfxgAxgxx)(lim0Axhxx)(lim0Axfxx)(lim0高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-12例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解,1111222

9、2 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夾逼定理得由夾逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnnAC一、第一重要極限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設(shè)設(shè)單單位位圓圓,tan,sinACxABxBDx 弧弧于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作單位圓的切線作單位圓的切線,xOAB的圓心角為的圓心角為扇形扇形,BDOAB的高為的高為 ,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式對對于于 x,20時時當(dāng)當(dāng) x01 cosx 2sin22x 2)2(

10、2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx例例1. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim00sin1limcosxxxxxxxsinlim0 xxcos1lim01例例2. 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 那么,sintx 因而原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx

11、2121 .21 練習(xí)練習(xí)30tansinlim.xxxx求解解30sin (1 cos )limcosxxxxx原式0sinlimxxx11121 12201 coslimxxx01limcosxx1(2)lim(1)xxex1(1)xx101lim(1) lim(1)xxxxexex或或 高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-15高等數(shù)學(xué) 第一章 第二節(jié) 幻燈片02-16x1x2x3x1 nxnx2.單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋幾何解釋:AM例例4 4.)11

12、(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原原式式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解原式.2e 2 2411lim(1) lim(1)22xxxxx21lim(1)2xxx=2(2) 41lim(1).2xxx=(或)原式21lim(1)2xxx=2221lim(1)2xxxxx=.2e 2. 兩個重要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim) 2 (或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達式代表相同的表達式推廣：推廣：16.lim1xxxx解： 原式sec/27. lim(1 2cos )xxx解： 原式2lim 11xxx21122

13、lim11xxxxx2e1cos/2lim (1 2cos )xxx2e212cos/2lim (1 2cos )xxxlim0limClim1三、無窮小量的階三、無窮小量的階., 0, 0lim)4(無窮小無窮小階的階的的的是是就說就說如果如果kkCk ，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高高階階的的無無窮窮小小是是比比時時，當(dāng)當(dāng)xxx ).0()3(2 xxox即即是是等等價價無無窮窮小小與與時時，當(dāng)當(dāng)xxxsin0).0(sinxxx即即例如，例如，222sin (0)tan (0)sin(0)arcsin(0)arctan(0)ln(1) (0)11cos(0)1

14、(0)2xxxxxxxxxxxx xxx xxxxxxxexx定理定理( (等價無窮小代換定理等價無窮小代換定理) ),lim,limlim. 設(shè)且存在 則證證 lim)lim( limlimlim.lim 解 當(dāng)x0時 tan 2x2x sin 5x5x 所以 解 當(dāng)x0時sinxx 無窮小x3+3x與它本身顯然是等價的 所以 若 且lim存在 則limlim 例例7 例例 求xxx5sin2tanlim0 xxx5sin2tanlim05252lim0 xxx 例例8 例例 求xxxx3sinlim30 xxx5sin2tanlim05252lim0 xxxxxx5sin2tanlim05

15、252lim0 xxx 3131lim3lim3sinlim202030 xxxxxxxxx3lim03xxxx201lim3xx13練習(xí)練習(xí).2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時時當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 小小 結(jié)結(jié)0sin01.lim10 xxx 為型不定式，使用時注意條件是否成立。12.lim 111xxex為 型不定式，使用時需對表達式進行變形，首先將指數(shù)變?yōu)榈讛?shù)里面 后面所有項

16、的倒數(shù)，再乘以一個代數(shù)式以使指數(shù)不變。高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-30高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-31x0高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-33高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-340000limlim ()()0 xxyf xxf x ,00 xxx 就就是是).()(00 xfxfy 就就是是,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy 00lim( )()xxf xf x高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-360lim( )xxf x00lim( )()xxf xf x高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-37高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-38)0()

17、()(lim000 xfxfxfxx)0()()(lim000 xfxfxfxx)() 0() 0()()(lim00000 xfxfxfxfxfxx高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-39高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-40例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證01lim sin0,xxx又(0)0,f由定義知由定義知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf0lim( )(0),xf xf例例2 2.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任任取取xxxysin)sin( )2cos(2sin

18、2xxx , 1)2cos( xx.2sin2xy 則則,0,時時當(dāng)當(dāng)對對任任意意的的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時時當(dāng)當(dāng).),(sin都是連續(xù)的都是連續(xù)的對任意對任意函數(shù)函數(shù)即即 xxy二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點:)(0條件條件處連續(xù)必須滿足的三個處連續(xù)必須滿足的三個在點在點函數(shù)函數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點在點xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或間斷點或間斷點的不連續(xù)點的不連續(xù)點為為并稱點并稱點或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個

19、不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx1.可去間斷點可去間斷點.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點點處處無無定定在在點點或或但但處處的的極極限限存存在在在在點點如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例1 1.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f11lim( )lim22,xxf xx11lim( )lim(1)2,xxf xx2)(lim1 xfx),1(

20、f .0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x注意注意 可去間斷點只要改變或者補充間斷可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義處函數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點. .如例如例1中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxfoxy1122.跳躍間斷點跳躍間斷點0000( ),lim( )lim( ),( ).xxxxf xxf xf xxf x如果在點處左 右極限都存在 但則稱點 為函數(shù)的跳躍間斷點例例2 2.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解00lim( )lim()0,xx

21、f xx00lim( )lim(1)1,xxf xx00lim( )lim( ),xxf xf x.0為函數(shù)的跳躍間斷點為函數(shù)的跳躍間斷點 xoxy跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點特點.0處的左、右極限都存在處的左、右極限都存在函數(shù)在點函數(shù)在點 x3.第二類間斷點第二類間斷點.)(,)(00的的第第二二類類間間斷斷點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點點在在右右極極限限至至少少有有一一個個不不存存處處的的左左、在在點點如如果果xfxxxf例例3 3.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解oxy00lim( )

22、lim0,xxf xx001lim( )lim,xxf xx .1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷點斷點這種情況稱為無窮間這種情況稱為無窮間例例4 4.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩蕩間間可去型可去型第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 xoyx0 x高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié) 幻燈片02-43)()()(lim)(lim0000 xfufufxfuuxx高等數(shù)學(xué) 第一章 第四節(jié)