獨(dú)立性與貝努里概型ppt課件

1、第第 一一 章章事 件 與 概 率1.6 獨(dú)立性主要內(nèi)容主要內(nèi)容一、獨(dú)立性的概念 二、獨(dú)立性的性質(zhì)二、獨(dú)立性的性質(zhì)三、獨(dú)立性的運(yùn)用三、獨(dú)立性的運(yùn)用1、獨(dú)立性的概念 引例 設(shè)袋中有五個(gè)球三綠兩紅每次從中取一個(gè)，有放回地取兩次，記A=第一次獲得綠球， B=第二次獲得綠球求：解解 顯然 ( )P A ( )P B ()P B A ()( )(),P B AP BP B A( ), ( ), (), ().P A P B P B A P B A一、事件的獨(dú)立性()P B A ()( ) ()( ) ( ).P ABP A P B AP A P B3,53,53,53,5 事件 B 發(fā)生與否不受事件 A

2、能否發(fā)生的影響，可視為事件A 與 B 相互獨(dú)立()( ) ( )P ABP A P B定義定義 那么稱事件對(duì)恣意的兩個(gè)事件A，B，假設(shè)()( ) ( ),P ABP A P B 由于必然事件與不能夠事件的發(fā)生與否，確實(shí)不受任何事件的影響，也不影響其它事件能否發(fā)生,A B是相互獨(dú)立的，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立的 注 必然事件、不能夠事件與任何事件都相互獨(dú)立的.2 獨(dú)立與互不相容的關(guān)系獨(dú)立與互不相容的關(guān)系兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互不相容兩事件互不相容 AB二者之間沒(méi)二者之間沒(méi)有必然聯(lián)絡(luò)有必然聯(lián)絡(luò)兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立兩事件互不相容兩事件互不相容. .兩事件相互獨(dú)立兩事

3、件相互獨(dú)立. .兩事件互不相容兩事件互不相容普通地， 例2 分別擲甲乙兩枚均勻的硬幣，記A=硬幣甲出現(xiàn)正面, B=硬幣乙出現(xiàn)正面 ,驗(yàn)證事件A，B是相互獨(dú)立的證證 現(xiàn)實(shí)上，分別擲兩枚硬幣，硬幣甲出現(xiàn)正面與否和硬幣乙出現(xiàn)正面與否，相互之間沒(méi)有影響，因此它們是相互獨(dú)立的正、正，正、反，A B 反、正，正、正，故 正、正，正、反，反、正，(反、反 ，是相互獨(dú)立的BA,AB 正、正，11( )( ),()( ) ( ).24P AP BP ABP A P B在實(shí)踐問(wèn)題中，人們常用直覺來(lái)判別事件間的“相互獨(dú)立性由于所以A B 例例3 3 一個(gè)家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩和生女孩一個(gè)家庭中有男孩，又

4、有女孩，假定生男孩和生女孩是等能夠的，令是等能夠的，令一個(gè)家庭中有男孩，又有女孩， 一個(gè)家庭中最多有一個(gè)女孩 對(duì)下述兩種情形，討論A和B的獨(dú)立性1家庭中有兩個(gè)小孩 ；2家庭中有三個(gè)小孩 解 1有兩個(gè)小孩的家庭，這時(shí)樣本空間為： A男,女,女,男，男,女,女.男， B 男,男,男,女,女,男， AB于是P A 由此可知 .P ABP A P B所以 ,A B 不獨(dú)立=男,男,男,女,女,男 ,女,女，1,2 P B 3,4P AB1.2男,女,女,女,女,男,女,男,女,女,女,女， 2有三個(gè)小孩的家庭，樣本空間 =男,男,男,男,男,女,男,女,男,女,男,男,.PA BPAPB BPAPAB

5、P,A B顯然 ，從而相互獨(dú)立A 男,男,女,男,女,男,女,男,男,男,女,女,女,女,男,女,男,女， B 男,男,男,男,男,女,男,女,男,女,男,男，AB男,男,女,男,女,男,女,男,男，38638441822) 關(guān)系式(1) (2)不能相互推出 ()()(),()()(),()()(),P ABP A P BP ACP A P CP BCP B P C(1)()()()().P ABCP A P B P C(2)2、多個(gè)事件的獨(dú)立性定義2 CBA,設(shè)三個(gè)事件滿足CBA,稱相互獨(dú)立注：1) 僅滿足(1)式時(shí),稱 兩兩獨(dú)立 CBA,CBA,相互獨(dú)立CBA, 兩兩獨(dú)立 ，反之不成立PA

6、PBPC例一個(gè)均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，第四面上同時(shí)染上紅、黑、白三色，以分別記投一次四面體，出現(xiàn)紅、白、黑顏色的事件，CBA,那么P ABP BCP CAP ABP BCP CA故兩兩獨(dú)立CBA,但 .P ABCP A P B P CCBA,CBA,本例闡明 不能由關(guān)系式1推出關(guān)系式2，兩兩相互獨(dú)立相互獨(dú)立即不能由 21,42= =1,41.4定義定義3 3 1ijkn ()() (),ijijP A AP A P A()() () (),ijkijkP A A AP A P A P A1212()() ()().nnP A AAP A P AP A1

7、2nn個(gè)事件相互獨(dú)立，那么必需滿足n對(duì)個(gè)事件假設(shè)對(duì)于一切能夠的組合,21nAAA，有 那么稱12,nA AA相互獨(dú)立n個(gè)等式n(2)mmn顯然個(gè)事件相互獨(dú)立，那么它們中的恣意個(gè)事件也相互獨(dú)立常由實(shí)踐問(wèn)題的意義常由實(shí)踐問(wèn)題的意義 判別事件的獨(dú)立性判別事件的獨(dú)立性.12)11(1032個(gè)式子個(gè)式子共共nCCCCCnnnnnnnn 2、獨(dú)立性的性質(zhì)、獨(dú)立性的性質(zhì)定理定理1 1 四對(duì)事件 ,A BA BA BA B那么其它三對(duì)也相互獨(dú)立中有一對(duì)相互獨(dú)立，現(xiàn)實(shí)上，()P AB ( ) 1( )P AP B)()()(BPAPAP試證其一BA,BA,獨(dú)立獨(dú)立( ()P AB()P AAB( )()P AP

8、 AB( ) ( ).P A P B定理定理2 2 nAAA,21 m1mnn12,nA AA12,nA AA設(shè)相互獨(dú)立，那么將其中恣意個(gè)換成其對(duì)立事件，那么所得 個(gè)事件也相互獨(dú)立相互獨(dú)立，那么也相互獨(dú)立特別地，假設(shè)三、獨(dú)立性的運(yùn)用三、獨(dú)立性的運(yùn)用1、相互獨(dú)立事件至少發(fā)生其一的概率的計(jì)算 12()nP AAA121()nP A AA 假設(shè)nAAA 21,相互獨(dú)立，那么)(1niiAP111( ()1(1()nniiiiP AP A 111.niiP A )(1niiAP121()nP AAA 121() ()()nP A P AP A 例張、王、趙三同窗各自獨(dú)立地去解一道難題，他們的解出的概率

9、為1/5，1/3，1/4，試求1恰有一人解出的概率；2難題被解出的概率解解iA設(shè) i=1，2，3分別表示張、王、趙三同窗解出難題這三個(gè)事件, 321,AAA由題設(shè)知 相互獨(dú)立 (1)令A(yù)=三人中恰有一人解出難題，那么123123123,AA A AA A AA A A)()()()(321321321AAAPAAAPAAAPAP)()()()()()()()()(321321321APAPAPAPAPAPAPAPAP11111111113(1)(1)(1)(1)(1)(1).53453453430(2)令B=難題解出，那么)()()(1)()(321321APAPAPAAAPBP11131 (

10、1)(1)(1).5345 例假假設(shè)每個(gè)人血清中含有肝炎病的概率為例假假設(shè)每個(gè)人血清中含有肝炎病的概率為0.4%0.4%，混合混合100100個(gè)人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？個(gè)人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率？解解iA設(shè) =第i個(gè)人血清中含有肝炎病毒)(10021AAAP )()()(110021APAPAP 10010.9960.33. 雖然每個(gè)人有病毒的概率都是很小，但是混合后，那么有很大的概率，在實(shí)踐任務(wù)中，這類效應(yīng)值得充分注重,1,2,100,i 10021,AAA 相互獨(dú)立，那么所求的概率為可以以為例1獎(jiǎng)券中有一半會(huì)中獎(jiǎng)，為了確信至少一張獎(jiǎng)券能以大于95%的概率中獎(jiǎng)，

11、應(yīng)該購(gòu)買多少?gòu)埅?jiǎng)卷？“至少一張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)，那么 nAAA,21是相互獨(dú)立的，但是可以相容的 121nP AAA 1111110.95,2222n 110.05,220n5.n 即最少購(gòu)買5張獎(jiǎng)券可確保至少一張獎(jiǎng)券能以大于95%的概率中獎(jiǎng) niA1, 2,in解設(shè)應(yīng)該購(gòu)買解設(shè)應(yīng)該購(gòu)買張獎(jiǎng)券，“第i張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)，A12,nAAAA 12nP AP AAA顯然，121nP AAA 121nP A P AP A 2、在可靠性實(shí)際中的運(yùn)用 對(duì)于一個(gè)電子元件，它能正常任務(wù)的概率，稱為它的可靠性；元件組成系統(tǒng)，系統(tǒng)正常任務(wù)的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性隨著近代電子技術(shù)的迅猛開展，關(guān)于元件和系統(tǒng)可靠性的研討已開展成為一

12、門新的學(xué)科可靠性實(shí)際.概率論是研討可靠性實(shí)際的重要工具 系統(tǒng)由元件組成，常見的元件銜接方式：串聯(lián)并聯(lián)2112例1 1 假設(shè)構(gòu)成系統(tǒng)的每個(gè)元件的可靠性均為r,0r1,且各元件能否正常任務(wù)是相互獨(dú)立的,試求下面兩種系統(tǒng)的可靠性圖 1圖 212n12n12n12n解1系統(tǒng)有兩條通路，分別記這兩條通路的可靠性為12n12n1,R我們知道系統(tǒng)要能正常任務(wù)，上下兩條通路至少有一條要能正常任務(wù)，故系統(tǒng)的可靠性為：,1R2R2,RsR nrnrnnnnrrr r2.nnrrsR 2n (2)2,nnrr而整個(gè)系統(tǒng)由n對(duì)并聯(lián)元件串聯(lián)而成，故其可靠性為利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明時(shí)，R .ssRR所以雖然上面兩個(gè)系統(tǒng)同

13、樣由2n個(gè)元件構(gòu)成作用也一樣，但是第二種構(gòu)成方式比第一種方式可靠性來(lái)得大，尋覓可靠性較大的構(gòu)成方式也是可靠實(shí)際的研討課題之一12n12n系統(tǒng)，先求每個(gè)并聯(lián)的小節(jié)的可靠性，有獨(dú)立性知可靠性為rrr r 2,rr()nR(2) .nnrr二、貝努里概型1、實(shí)驗(yàn)的獨(dú)立性、實(shí)驗(yàn)的獨(dú)立性 假設(shè)兩次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的，稱兩次實(shí)驗(yàn)是相互獨(dú)立的。 當(dāng)然，兩次實(shí)驗(yàn)是相互獨(dú)立的，由此產(chǎn)生的事件也是相互獨(dú)立。二、貝努里概型二、貝努里概型1、貝努里實(shí)驗(yàn)A假設(shè)實(shí)驗(yàn)E只需兩個(gè)能夠的結(jié)果：A及 ，稱這個(gè)實(shí)驗(yàn)為貝努里實(shí)驗(yàn) 。2、貝努里概型設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E具有如下特征：1每次實(shí)驗(yàn)是相互獨(dú)立的 ；2每次實(shí)驗(yàn)有且僅有兩種結(jié)果：事件

14、A和事件 A3每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果發(fā)生的概率一樣即PA=p， P =1-p=q 。A稱實(shí)驗(yàn)E表示的數(shù)學(xué)模型為貝努里概型。假設(shè)將實(shí)驗(yàn)做了n次，那么這個(gè)實(shí)驗(yàn)也稱為n重貝努里實(shí)驗(yàn)。記為 。nE； 由此可知“一次拋擲n枚一樣的硬幣的實(shí)驗(yàn)可以看作是一個(gè) n重貝努里實(shí)驗(yàn)。 一個(gè)貝努里實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可以記作),(21n其中 i)1 (ni 或者為A 或者為 A因此這樣的 共有 n2個(gè),它們的全體就是貝努里實(shí)驗(yàn)的樣本空間 假設(shè) i)1 (ni 中有 k個(gè)A，那么必有n-k個(gè) A于是由獨(dú)立性即得 knkqpP)(例1設(shè)某人打靶，命中率為0.8 1現(xiàn)獨(dú)立地反復(fù)射擊兩次，求恰好命中一次的概率 2現(xiàn)獨(dú)立地反復(fù)射擊三次，求恰好命

15、中一次的概率 解： 2A1A設(shè) =“第一次命中， =“第二次命中 1P兩次恰好命中一次 21212121APAPAPAPAAAAP8 . 02 . 028 . 02 . 02 . 08 . 0 pqCC12122 . 08 . 02P三次恰好命中一次 321321321AAAAAAAAAP8 . 02 . 02 . 02 . 08 . 02 . 02 . 02 . 08 . 013132132.08.0pqCC類似P三次恰好命中二次 232232232 . 08 . 0qpCCPn次恰好命中k次 knkknqpC推行到普通情形： 對(duì)于伯努利概型，假設(shè)要求“n重貝努里實(shí)驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次這一事件

16、的概率 記 n重貝努里實(shí)驗(yàn)中事件A出現(xiàn)k次 kBknkknBkqpCPBPk)()(事件A在n次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生k次的概率為 knkknnqpCkP)(nk0這個(gè)概率常稱為二項(xiàng)概率，記為 pnkb,;即： knkknqpCpnkb),(k=0，1，2，n 在n貝努里實(shí)驗(yàn)。事件A至少發(fā)生一次的概率為 nq1例2知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中每次任取一個(gè)，有放回地取3次，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率。解： 設(shè)A=“取到次品，B=“3個(gè)中恰有2個(gè)次品 05. 01005AP 007125. 095. 005. 0223223CqpCBP2P4到6次朝上=P4次朝上+ P5次朝上+ P6次朝上 例

17、3把一枚硬幣恣意擲10次，求正面朝上： 15次；24到6次的概率。解： 1這里最容易犯的錯(cuò)誤是以為擲10次硬幣得到5次正面朝上的概率為0.5，其實(shí)不然。 P5次朝上 246. 0211215551055510CqpC46610555564410qpCqpCqpC65625. 021212121212146610555564410CCC主要內(nèi)容:一、概率的概念事件的有關(guān)關(guān)系和運(yùn)算;概率的定義.1描畫性定義；2統(tǒng)計(jì)定義；3公理化定義.二、概率的性質(zhì)三、三種特殊概率：古典概型、幾何概型、貝努里概型四、有關(guān)條件概率的計(jì)算公式五、獨(dú)立性第一章第一章 習(xí)題課習(xí)題課 1設(shè) CAB . ACAB .BCA C

18、B CBA.DCACB 且C或那么( ) 答案2某人射擊時(shí)，每次中靶的概率為 ,41假設(shè)射擊到中靶為止，那么射擊次數(shù)為3的概率為 . A3)41(.B41432.C43412.D343 答案 3.設(shè). 0)(, 0)(BPAPBA,互不相容,那么一定成立的是 .A)(1)(BPAP.B0)(BAP.C1)(BAP.D0)(ABP 4設(shè) BA,是恣意兩個(gè)事件，那么 )(BAP . A)()(BPAP.B)()()(ABPBPAP.C)()(ABPAP.D)()()(ABPBPAP 答案 答案 例17.填空題1設(shè) BA,是兩個(gè)事件， , 3 . 0)(, 7 . 0)(BAPBP那么 )(BAP2

19、某市有50% 的住戶訂日?qǐng)?bào)，65% 的住戶訂晚報(bào)， 85% 的住戶至少訂這兩種報(bào)紙中的一種.那么同時(shí)訂這 兩種報(bào)紙的住戶占 那么 30% 0.6 3三人獨(dú)立破譯一密碼，能單獨(dú)譯出的概率分別 為.41,31,51那么此密碼能被譯出的概率為 4設(shè) BA,是兩個(gè)事件， , 2 . 0)(, 5 . 0)(BAPAP那么 )(ABP5設(shè) BA,是隨機(jī)事件， ,85. 0)(,93. 0)(,92. 0)(ABPBPAP那么 )(BAP)(BAP0.6 0.70.8290.988例4某類電燈泡運(yùn)用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率為0.2，求3個(gè)燈泡在運(yùn)用1000小時(shí)以后最多只需一個(gè)壞的概率。解： =P三個(gè)都

20、好+恰有兩個(gè)好 104. 08 . 02 . 02 . 0223333CC例5金工車間有10臺(tái)同類型的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床配備的電功率為10千瓦，知每臺(tái)機(jī)床任務(wù)時(shí)，平均每小時(shí)實(shí)踐開動(dòng)12分鐘，且開動(dòng)與否是相互獨(dú)立的，現(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏┚o張，供電部門只提供50千瓦的電力給這10臺(tái)機(jī)床。問(wèn)這10臺(tái)機(jī)床可以正常任務(wù)的概率為多大？( )P A解： 于是同時(shí)開動(dòng)著的機(jī)床臺(tái)數(shù)不超越5臺(tái)的概率為 50千瓦電力可用時(shí)供應(yīng)5臺(tái)機(jī)床開動(dòng)，因此10臺(tái)機(jī)床中同時(shí)開動(dòng)的臺(tái)數(shù)為不超越5臺(tái)時(shí)都可以正常任務(wù)，而每臺(tái)機(jī)床只需“開動(dòng)與“不開動(dòng)的兩種情況，且開動(dòng)的概率為12/60=1/5。不開動(dòng)的概率為4/5。設(shè)10臺(tái)機(jī)床中正在開動(dòng)著的機(jī)床臺(tái)數(shù)為 ，那么 kkkCkP1010)54(