等差數(shù)列、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)梳理

1、等差數(shù)列和等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)梳理第1節(jié) ：等差數(shù)列的公式和相關(guān)性質(zhì)1、 等差數(shù)列的定義：對(duì)于一個(gè)數(shù)列，如果它的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的差為一個(gè)定值，則稱這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，記：（d為公差）（，）注：下面所有涉及，省略，你懂的。2、等差數(shù)列通項(xiàng)公式： ，為首項(xiàng)，為公差 推廣公式： 變形推廣：3、等差中項(xiàng)（1）如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列4、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： （其中A、B是常數(shù)，所以當(dāng)d0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，是項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間項(xiàng)）5、等差數(shù)列的判定方法

2、 （1） 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列 （2）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列 （3）數(shù)列是等差數(shù)列（其中是常數(shù)）。（4）數(shù)列是等差數(shù)列,（其中A、B是常數(shù)）。6、等差數(shù)列的證明方法 定義法：若或(常數(shù)) 是等差數(shù)列7、等差數(shù)列相關(guān)技巧：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）設(shè)項(xiàng)技巧：一般可設(shè)通項(xiàng)奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，,（注意；公差為2）8、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)

3、為0。（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有。（注：，）當(dāng)然擴(kuò)充到3項(xiàng)、4項(xiàng)都是可以的，但要保證等號(hào)兩邊項(xiàng)數(shù)相同，下標(biāo)系數(shù)之和相等。 （4）、為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列 (5) 若是等差數(shù)列，則 ，也成等差數(shù)列 (6) 數(shù)列為等差數(shù)列,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為等差數(shù)列 （7）、的前和分別為、，則 （8）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，前m項(xiàng)和，則前m+n項(xiàng)和，當(dāng)然也有，則 (9)求的最值法一：因等差數(shù)列前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。法二：（1）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大

4、值是所有非負(fù)項(xiàng)之和即當(dāng) 由可得達(dá)到最大值時(shí)的值 （2） “首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。即 當(dāng) 由可得達(dá)到最小值時(shí)的值或求中正負(fù)分界項(xiàng)法三：直接利用二次函數(shù)的對(duì)稱性：由于等差數(shù)列前n項(xiàng)和的圖像是過(guò)原點(diǎn)的二次函數(shù)，故n取離二次函數(shù)對(duì)稱軸最近的整數(shù)時(shí)，取最大值（或最小值）。若S p = S q則其對(duì)稱軸為注意：，對(duì)于任何數(shù)列都適用，但求通項(xiàng)時(shí)記住討論當(dāng)?shù)那闆r。解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通常考慮兩類方法：基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程；巧妙運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量。（以上加上藍(lán)色的性質(zhì)希望讀者能夠自己證明，不是很難，并能夠?qū)W會(huì)運(yùn)用）第2節(jié)

5、 ：等比數(shù)列的相關(guān)公式和性質(zhì)1、 等比數(shù)列的定義：，為公比2、 通項(xiàng)公式：，為首項(xiàng)，為公比推廣公式：， 從而得3、等比中項(xiàng)（1）如果成等比數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)即：或注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）（2）數(shù)列是等比數(shù)列4、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1) 當(dāng)時(shí)， (2) 當(dāng)時(shí)， （為常數(shù)）5、等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對(duì)任意的n,都有為等比數(shù)列 （2） 等比中項(xiàng)：（0）為等比數(shù)列（3） 通項(xiàng)公式：為等比數(shù)列（4） 前n項(xiàng)和公式：為等比數(shù)列6、 等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若或?yàn)榈缺葦?shù)列7、等比數(shù)列相關(guān)技巧：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和

6、公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)：如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為，中間項(xiàng)用表示）；注意隱含條件公比的正負(fù)8、等比數(shù)列的性質(zhì)：(1) 當(dāng)時(shí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于的帶有系數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比前項(xiàng)和，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)是互為相反數(shù)的類指數(shù)函數(shù)，底數(shù)為公比(2) 對(duì)任何m,n,在等比數(shù)列中,有,特別的,當(dāng)m=1時(shí),便得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。因此,此公式比等比數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性。(3) 若(),則。特別的,當(dāng)時(shí),得注：(4) 列,為等比數(shù)列,則數(shù)列, (k為非

7、零常數(shù)) 均為等比數(shù)列。(5) 數(shù)列為等比數(shù)列,每隔k(k)項(xiàng)取出一項(xiàng)()仍為等比數(shù)列(6) 如果是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列(7) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列，成等比數(shù)列(8) 若為等比數(shù)列,則數(shù)列, 成等比數(shù)列(9) 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，, 當(dāng)q=1時(shí),該數(shù)列為常數(shù)列（此時(shí)數(shù)列也為等差數(shù)列）; 當(dāng)q<0時(shí),該數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列。(10)在等比數(shù)列中, 當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n)時(shí),。 (11)若是公比為q的等比數(shù)列,則注意：在含有參數(shù)的數(shù)列時(shí)，若是等比數(shù)列，一定要考慮到公比的特殊情況。解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，通?？紤]兩類方法：基本量法：即運(yùn)用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程；巧妙運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運(yùn)用性質(zhì)可以化繁為簡(jiǎn)，減少運(yùn)算量。關(guān)于等差、等比兩個(gè)引申：模式（其中為常數(shù)，）；模式（其中為常數(shù)，）在這里我們以具體的例子給出，使其更容易理解：例1 已知數(shù)列，有（），則求該數(shù)列的通項(xiàng)公式 解題大致思路：先設(shè)，則對(duì)于，那么我們就可以構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比的相關(guān)性質(zhì)去解決，注意：構(gòu)造新數(shù)列的首項(xiàng)