非線形粘彈性流體的穩(wěn)定化有限元方法研究

1、2002年10月5文章編號(hào):049026756(2002)0520823207非線形粘彈性流體的穩(wěn)定化有限元方法研究潘璐1,游雄2(1.四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,成都610064;2.南京農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,南京210095)摘要:對(duì)遵循OldroydB型粘彈性動(dòng)問(wèn)題,提出了一種基于流線迎風(fēng)Petrow2Galerkin方法和最小二乘法相結(jié)合的穩(wěn)定化有限元方法.這種方法有效地解決了以往粘彈性流體研究過(guò)程中出現(xiàn)的由于應(yīng)力方程對(duì)流控制占優(yōu)引起的擬振動(dòng)現(xiàn)象和有限元空間組合不匹配產(chǎn)生的不穩(wěn)定現(xiàn)象.近似應(yīng)力,速度和壓力分別是Pk連續(xù)的,Pk+1和Pk的(k0).假定連續(xù)問(wèn)題滿足充分光滑且小的解,則由不動(dòng)點(diǎn)定理可得近

2、似問(wèn)題解的存在性及誤差分析.關(guān)鍵詞:非線性形粘彈性流體;穩(wěn)定化有限元方法;誤差估計(jì)中國(guó)分類號(hào):O242.21文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A1引言我們的研究遵循OldroydB.2之一.,此問(wèn)題的模型包括質(zhì)量守恒方程、,14.采用基于2G方法)和最小二乘法相結(jié)合的穩(wěn)定化有限元方法,這種方法間組合不匹配而出現(xiàn)的不穩(wěn)定現(xiàn)象.我們?cè)诂F(xiàn)有文獻(xiàn)基礎(chǔ)之上首次將有限元空間的應(yīng)用推廣到了任意階,即解決了Pk2連續(xù)應(yīng)力,Pk+12連續(xù)速度,Pk2連續(xù)壓力,k0的情況.假定連續(xù)問(wèn)題滿足充分光滑且小的解,則由不動(dòng)點(diǎn)定理可得近似問(wèn)題解的存在性及誤差分析.2問(wèn)題的提出我們考慮R2中具有Lipschizian邊界的有界連通開(kāi)集的流體.使用

3、以下記號(hào):對(duì)標(biāo)量函數(shù)p,其梯度 p,( p)i記為p,i,對(duì)向量函數(shù)u,其梯度張量 u,( u)ij=ui,j,對(duì)向量函數(shù)u,其散度是標(biāo)量 .u=ui,i,且令u. =ui)i=,對(duì)張量函數(shù),其散度是向量 .,( .ij,j.dxi+(u. )+(, u)-2d(u)=0,in) .d(u)+ p=f,- .-2(1-in問(wèn)題P:.u=0,inu=0,on=0時(shí),問(wèn)題退化為協(xié)旋轉(zhuǎn)Maxwell問(wèn)題,當(dāng)=1時(shí),問(wèn)題退化成上對(duì)流Maxwell方程.對(duì)這兩類方程都已有大量的文獻(xiàn)專門研究,因此本文中只考慮(0,1)的情況.3有限元逼近設(shè)D是可測(cè)區(qū)域,記(p,q)D=收稿日期:2002203222作者簡(jiǎn)

4、介:潘璐(1977-),1999級(jí)碩士研究生1pq(標(biāo)量),(u,v)DD=)u.v(向量),(,DD=(:)(張量),D824四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)第39卷.D是相應(yīng)的范數(shù),D=時(shí)可省略下標(biāo),定義空間如下:T=(ij);ij=ji;ijL();1i,jN;12X=(i);iH0();1iN;Q=qL();q=0;假設(shè)<R2是多邊形區(qū)域,我們給定了一簇正則一致部分Th,Th由三角形K構(gòu)成, =K,KTh,且存在正常數(shù)v0,v1使得v0hhKv1pK.這里hK是K的直徑,K是包含于K中的最大球的直徑,記h=maxKThhK,記hmax為的直徑.設(shè)Pk(K)是K內(nèi)次數(shù)小于等于k的多項(xiàng)式,

5、定義有限元空間如下:Th=TC( )4;|KPk(K)4KTh,Xh=X;|KPk+1(K)4KTh,KQh=qQ;q|Pk(K),KTh.問(wèn)題(P)通常有限元離散為(Ph):求(h,uh,ph)Th×Xh×Qh,使得()+(uh. )+()-2(d(uh),)=0,Th,h,h,h, uh),()(d(uh),d()-(ph, .)=f,Xh,h,d(uh)+2(1-(q, .uh)=0,qQ(3.1)(3.2)(3.3)有限元格式(3.1)-(3.3):(.1成有限元方程的解呈現(xiàn)非物理特性的擬震動(dòng).(即不滿足B2B條件)的不穩(wěn)定現(xiàn)象,.用SUPG方法解決對(duì)流控制方程,.

6、×H1()4×H1()4,定義算子B:令(u,)=(u, ),+h()+B(u,. )( .u,).2(3.4)記h(u. ),定義算子A:u=+A(u,(u,p),(,q)(3.5)(d(u),(,d()+4(1-)(d(u),d()=(,u)-2u)+2)+2(q, .u)+6h2(- .-2(1-) .d(u)+ p, q),-2(p, .KTh-2(1-) .d(u)+ p, q)”6代替通常最小二乘法的“是待定正常數(shù).SUPG方法體現(xiàn)在算子B(.)中,最小二乘法體現(xiàn)在算子A(u,.)中.算子A(u,.)的引出6KTh2(- .與一般的“完全”的穩(wěn)定化方法不同,它加

7、入了穩(wěn)定項(xiàng)中對(duì)穩(wěn)定性貢獻(xiàn)最大的一項(xiàng),即用“hKTh) .d(u)+h(- .-2(1-) .d()+ q)” p,- .-2(1-u,.),B(.)后,對(duì)原問(wèn)題可提出新的有限元格式.引入算子A(Ph):求(h,uh,ph)Th×Xh×Qh,使得KTA(uh,(uh,uh,f,+h,ph),(,q)+B(h,h)+(h, uh),u)=26h2 q.h(3.6)4解的存在性和誤差分析首先回憶一下有限元空間及索伯列夫空間的一些性質(zhì).若(,u,p)Hk+1()4×Hk+2()2×(Hk+1()L2 , u, p分別是,u,p的Pk,Pk+1,Pk0(),設(shè)插值

8、函數(shù),我們有以下插值不等式:(a)u- u hk+1|u|1,2C(b)- C hk+1|(c)p- pC hk+1|p|k+2,2;k+1,2;k+1,2;第5期潘璐等:非線形粘彈性流體的穩(wěn)定化有限元方法研究k+1,2;k+1,2.825(d)|- |+h|- |1,2C hk+1|(e)|- |0,4+h|- |1,4C h(2k+1)/2|(e)式是因?yàn)閷?duì)每個(gè)KTh,我們有|- |0,4,K+hK|- |1,4,K2k+1)/2Ch(K|2,2,K,這里C是與有限單元K無(wú)關(guān)的常數(shù).由Jensen不等式:令I(lǐng)是離散集,且rp1,我們有:(aI6|a|r)1/r(aI6|a|p)1/p,(4

9、.7)可以得到(e).下面,我們列出要用到的反不等式.引理1令k0,是整數(shù),且Wh=,|kPk(K),KTh,令r和p是實(shí)數(shù),且1r,p+,令l0,m0是整數(shù),且lm,那么存在一個(gè)常數(shù)C+C(v0,v1,l,r,m,p,k),使得WhWl,r()Wm,p(),|m,pChl-特別的,對(duì)一致剖分,pQh,Th,我們有:h2KTm-2max0,1/r-1/p|l,r622 .d(h)D1d(h)K,(4.8)(4.9)h2KT6h22 .d(h)D2hK.h引理2令m0是整數(shù),)Wm+1,2()m,q+,p<0( p+,mp>2.(),則引理3()u,H,i=-uu+und,i=1,2

10、.這里n是的外法.ii線單位矢量.)C1(由Green公式,我們可以得到,對(duì)(u, )2×C1( )4×C1( )4有:(u. ),)=-( .u,)-(u. ),)為了證明問(wèn)題(Ph)的存在性和相應(yīng)的誤差估計(jì),引入一個(gè)映射:Th×Xh×QhTh×Xh×Qh,(1,u1,p1)(2,u2,p2)=(1,u1,p1).(4.10)這里(2,u2,p2)h×Xh×Qh,且滿足:)=-(A(u1,(u1,u1)+2f,+2,u2,p2),(,q)+B(2,1, u1),KT6h q.2h2222,u,p)|d(u)|2+

11、h定義范數(shù)+4(1-|(u. )|+h,u,=|KTh6(4.11)h| p|.22)/2),=min(1/4D1,1/4D2)時(shí),D1,D2是逆不引理4.1(正則性)當(dāng)h< h0=min(1/2,2(1-等式(4.8)(4.9)右端的常數(shù).映射是良定義的且有界.證明由(3.4)和Green公式可得:)=h(u. ),(u.),B(u,u,(4.12)于是)A(u,(,u,p),(,u,p)+B(u,22222)-4(1-h)|2+(4(1-h)|d(u)|+|( u. )|-h| p|624KTh-6h2| ,|2-KTh222222h| p|-6h| .d(u)|+6h| p|.64

12、KTKTKThhh)/2),=min(1/4D1,1/4D2),由逆不等式(4.10)(4.11)可得到因?yàn)閔<min(1/2,2(1-826四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)A(u,(,u,p),(,u,p)+B(u,第39卷2(,u,p)h,u,.4h,(,由此可知有限維空間內(nèi)的映射是良定義的.(, u)可看成是 u的線形組合,令u,=1/2h,u1,).0,0)h,u,我們有|(1 u1,u1)|C|1|0,|u1|1,2(|+h在(4.11)式中令(,q)=(2,u2,p2),并由以上得到的正則性有(2,u2,p2)h,u1,C(|1|0,|u1|1,2+|f|),映射的有界性得證.引理

13、4.2(連續(xù)性)滿足引理1的條件時(shí),映射在Th×Xh×Qh上是連續(xù)的.證明在下面的討論中,C和Ci,iN是與h,M,C3都無(wú)關(guān)的正常數(shù).令(2,u2,p2)=(1,u1,p1),(h0時(shí)有2,2,q2)=(1,1,q1)我們現(xiàn)在要證明的是當(dāng)h(h,(2-2,u2-2,p2-q2)h,1,1,u1,1,1,p1,q1)1(,q)(,u,p)111111lim(h,1,1,u1,1,p1,q1)=0現(xiàn)有)=-()+2A(f,+1,(2,2,q2),(,q)+B(1,2,1, 1),1由上式和(4.11),并由A(1,.)和B(1,.)的雙線性性質(zhì),我們可以得到A(1,(2-2,

14、2-u2,q2-p2),(,q)+B1,-2=A(u1,(2,u2,p2),(,q)-2,p2,(,)+).+B(u1,2,1,2,u1,u1)-(1, 1),1(4.13)KT6h2 q.h記=u=u1-p=p1-q1,1-1,1, =u=p=q2-p2,2-2, 2-u2, =h(u1- =h(u). .1). 在(4.13)式中令= ,= u,q= p,由正則性2 , u, ph,1,A(u1,( , u, p)-A( , u, p)2,u2,p2),(1,(2,u2,p2),(4).+B(u1, )-B(u1, )+( u1)-( 2,2,1, u1),1, 1),1考慮(4.14)右

15、邊各項(xiàng)A(u1,( , u, p)-A( , u, p)2,u2,p2),(1,(2,u2,p2),(4.14)(|Chu|1,2| |0,22|+|d(u2)|)|(4.15)這里Ch依賴于剖分Th.下面考慮項(xiàng):()=()+(), u1)-( u1- 1, u1),1, 1),1, u1),1, u1)-(1, 1),111因?yàn)?1, u1)-(1, 1)=(1, (u1-1)+(1-1, 1),根據(jù)(, u)的定義,(, u)C|u|1,2,所以:(),)C u1)-( |+h| |1,2).(4.16)1, u1),1, 1),1(1,u1,1,1)(|11其中u|+(|u|1,2+|1

16、(1,u1,1,1)=|1|0,|u1|1,|1|0,|1|1,)|1|1,當(dāng)(1,1,q1)(1,u1,p1)時(shí),10(1,u1,p1)是Th×Xh×Qh中的固定點(diǎn).下面估計(jì)最后一個(gè)B:B(u1, )-B( )=-( +(1/2) .(u1- )2,1,2,2,(u2-1). 1)2+h(u1. ) )-( )2,(u1. )1. )2,(1. )右端第一項(xiàng)|(u. ) +(1/2) .u )Ch|u1,2| |.2,(2|(4.17)第5期潘璐等:非線形粘彈性流體的穩(wěn)定化有限元方法研究827這里Ch依賴于剖分Th.對(duì)于第二項(xiàng),我們可以寫成:( -(u1. ) )1. )

17、2,(1. )2),(u1. )=( )-(u1. )u. ) ).1-u1). )2,(1. )2,(最后,的連續(xù)性可由(4.15)(4.16)(4.17)及下列等式得到|(u. ) )|C|u|0,| |0,2,2,(1. )2|1,2|(1. )|(u1. )u. ) )|C|u1|0,4|u|0,4| |1,4.2,(4.18)(4.19)引理得證.定義球Bh:令C3為給定常數(shù),3(2k+1)/2Bh=(,q)Th×Xh×Qh,|-|Ch,|d(-u)|C3h(2k+1)1/2,|q2p|C3h(2k+1)/2.引理4.3(不變球)假設(shè)問(wèn)題(P)有一個(gè)連續(xù)解(,u,

18、p)Hk+1()4×Hk+2()2×(Hk+1()2存在一個(gè)非空球BhTh×Xh×Qh,使得(Bh)<Bh.證明注意到有限元空間性質(zhì)(a-e),當(dāng)0<hh03)時(shí),(=( , u, p)h,此時(shí)球Bh非空.C連續(xù)解(,u,p)滿足下面的相容關(guān)系:)A(u1,(,u,p)(,q)+B(u,u1,+ q).1u),1KTh上式減去(4.11)式得到)A(u,-u1,-uu2,),)+B(2,)-B()+(,u,u1,u1)-(, u),u1).1, u1),(4.20)令 =-u=u-u2,p=p-p2.2, = -u= u-u2,p= p-p2

19、.2,在(4.24)式中取=,=u,q=p,因?yàn)?=- +,所以A(u1,( , u, p),( , u, p)+B(u, , )=A(u1, , u, p),(- ,u- u,p- p)+B(u, ,- )+A(u1,( , u, p),(,u,p)+B(u1, ,)將(4.20)式代入上式并由正則性可得:2( , u, p)h,u1,A(u1,( , u, p),(- ,u- u,p- p)+B(u1, ,- ).4+B(u1,)-B(u,u1,)+( u1)-(, u), u1).1, u1),現(xiàn)在假定hh00,minh0, h0,我們令(1,u1,p1)Bh,為了證明結(jié)論,分析上面不等

20、式的右端5項(xiàng).引入記號(hào):=- ,u=u- u,p=p- p.A項(xiàng):A(u1,( , u, p),(,u,p)(4.21)C(| |+|d( u)|+|下面對(duì)|u1|作出估計(jì):KT62h q|)(|d(u)|+|u1|+|hKT6h q|).2h(4.22)|+hu1 |CMhk+1(1+(C3hk+M),u1|=|(4.23)這里用到了索伯列夫嵌入定理:H1()<L4()和H2()<L()及不等式(d),則由上面不等式可得:k+13k2(4.24)A(u1,( , u, p),(,u,p)C1Mh(1+(Ch+M)(| |+|d( u)|+6h q|)KTh828四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然

21、科學(xué)版)第39卷項(xiàng):)(, u)-(|(u1|1, u1),C(|0,|d(u-u1)|+|-u1|,(4.25)1|u|1,+|-1|0,4|d(u-u1)|0,4)|-1+2/估計(jì)上式中的|1-|0,4,利用逆不等式:(見(jiàn)引理1,取m=1=0,r=2)|h|0,pCh|h|0,2則p| |0,4Ch-1/2| |0,2Ch1/2(| |0,2)Chk(C3+Mh1/2).1-1-1-|0,2+|-由不等式(d)可得:| |0,4+| -|0,4Chk(C3+Mh1/2).1-|0,41-同理利用u的插值,得到|u1-u|1,4Chk(C3+Mh1/2).(4.26)(4.27)利用以上公式

22、及|u1|(4.23)可得|(, u)-(u1)|1, u1),(4k+3)/2(C3M+h(2k-1/2)(C3+Mh1/2)2)(1+(C3Mhk+M)C2h+C3h(2k-1)/2(C3M+h(2k-1)/2(C3+Mh1/2)2)| u1|)B的第一項(xiàng)由B的定義(3.4)和連續(xù)解u的性質(zhì).u)C|(u1.)(-1,4|B(u1, , |, |0,4,由不等式(d),(4.23)和4.)1/2k31/21)/(M+Chk)|B(u1,h(u1. ) |+h(C+Mh)| |).<W1,4()及H2()<L()可得:(2k+1)/23(|B(u1,u1,)-B(u,u1,)CC

23、Mh|+| u1|+| |).u1|+|然后利用(4.23)式(4k+3)/232(1+(C3hk+M)B(u1,u1,)-B(u,u1,)C5CMh+C6MC3h(2k+1)/2(| u1|+| |),(4.28)(4.29)(4.30)的線形性質(zhì),B的定義(3.4)和嵌入定理:H1()<L4(),2()BB(.,u1,(4.31)| |,| u1|h1/2(u. ) |及|d(u)|都可由C( , u, p)h,u1,控制,由以上各式,最后可得,22( , u, p)hh,u1,8(4k+3)/2M(C2(C3M+h(2k-1/2(C3+Mh1/2)2)+C5C3M)(1+(C3hk

24、+M)+C7(C1Mhk+1(1+(C3hk+M)+C3h(2k+1)/2(C3M+h(2k-1)/2)(C3+Mh1/2)2)C4Mh(2k+1)/2(1+(M+C3h)+hk(C3+Mh1/2)C6MC3h(2k+1)/2) , u, ph,u1,.這個(gè)不等式是下面這種形式的:a2c+ab.222a=( , u, p)h,u1,則由2ac+a+b/4,可得ac+b/2.(4.32)去掉(4.32)式中h的高次項(xiàng),利用上面的不等式,可得(2k+1)/21/21/41/2331/2( , u, p)h,u1,C8hhM(M+C)(1+(C+M)+(1+h1/2)M(1+M)+(1+h1/2)MC3+h1/2C32).取C3=/2MC h1max式右端h(2k+1)/2)2,所以(,此時(shí)因?yàn)閔hmax=( , u, p)始終都在球Bh中.因?yàn)镸足夠小,上不等MC之前的參數(shù)總可可以小于1.由以上證明我們可得(Bh)<Bh.定理證畢.3最后我們可以引出定理:定理4.1假設(shè)問(wèn)題(P)有一個(gè)連續(xù)解(,u,p)Hk+1()4×Hk+2()