【高中數(shù)學(xué)】導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則ppt課件

1、第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算二、偏導(dǎo)數(shù)的求法二、偏導(dǎo)數(shù)的求法第三章函數(shù)的微分學(xué)第三章函數(shù)的微分學(xué)天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755696321.定理定理 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u(x)、v( (x) ) 在在 x 處可導(dǎo)處可導(dǎo)，)0)()()( xuxuxv在在 x 處也可導(dǎo)，處也可導(dǎo)，(u(x) v(x) = u (x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v (x) + + u (x)v(x);.)()()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv 一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)

2、算且且則它們的和則它們的和、差差、積與商積與商2證證上述三個(gè)公式的證明思路都類似，我們上述三個(gè)公式的證明思路都類似，我們只證第二個(gè)只證第二個(gè)因?yàn)橐驗(yàn)閡 (x + + x) - - u(x) = u，即即u (x + + x) = u(x) + + u，同理有同理有v (x + + x) = v(x) + + v .y = u(x)v(x)，令令則則 y = u(x + x) v(x + x) u(x)v(x) = u(x) + u v(x) + v u(x)v(x) = u(x) v + v(x) u + u v .天馬行空官方博客：http:/ ；QQ:1318241189；QQ群：1755

3、696323,lim)( 0 xuxux 因因?yàn)闉?lim)(0 xvxvx 所以所以 vxuxuxvxvxuxyxx)()(limlim00vxuxuxvxvxuxxxx 0000limlimlim)(lim)().()()()(xvxuxvxu 4推論推論 1(cu(x) = cu (x) (c 為常數(shù)為常數(shù)).推論推論 2.)()()(12xuxuxu 5解解根據(jù)推論根據(jù)推論 1 可得可得 (3x4) = 3(x4) ，(5cos x) = 5(cos x) ，(cos x) = - - sin x，(ex) = ex， (1) = 0，故故f (x) = (3x4 ex + 5cos

4、x 1) = (3x4) ( (ex ) ) + (5cos x) (1) = 12x3 ex 5sin x .f (0) = (12x3 ex 5sin x)|x=0 = 1又又(x4) = 4x3，例例 1設(shè)設(shè) f (x) = 3x4 ex + 5cos x - - 1，求，求 f (x) 及及 f (0).6例例 2設(shè)設(shè) y = xlnx ， 求求 y .解解根據(jù)乘法公式，有根據(jù)乘法公式，有y = (xlnx) = x (lnx) (x) lnxxxxln11 .ln1x 7解解根據(jù)除法公式，有根據(jù)除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11 xxxxxxxy例例 3設(shè)設(shè),1

5、12 xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1( xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222 xxxxxxx8例例 4 設(shè)設(shè) f (x) = tan x， 求求 f (x). xxxxfcossin)(tan)(xxxxx2cossin)(cos)(sincos .seccos1cossincos22222xxxxx 即即同理可得同理可得(tan x) = = sec2x .(cot x) = = - - csc2x .解解9例例 5設(shè)設(shè) y = sec x，求求 y .解解根據(jù)推論根據(jù)推論 2，有，有 xxycos1)(sec.sectancossin2xxx

6、x 即即同理可得同理可得(sec x) = = sec x tan x .(csc x) = = - - csc x cot x .xx2cos)(cos 10,11)(arcsin2xx 另外可求得另外可求得,11)(arccos2xx ,11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx ( (以后補(bǔ)證以后補(bǔ)證) )113223 yxyxz 求函數(shù)求函數(shù)例例 6 在點(diǎn)在點(diǎn) (2 , 1) 處處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).解解因?yàn)橐驗(yàn)?32yxxz ,632yxyz 所以所以,1132212 yxxz.0162312 yxyz一、偏導(dǎo)數(shù)的求法一、偏導(dǎo)數(shù)的求法12例例 7 , )0( xx

7、zy設(shè)設(shè)求證：求證：.2ln1zyzxxzyx 證明證明因?yàn)橐驗(yàn)?1 yxyxz,ln xxyzy 將它們代入等式左邊得將它們代入等式左邊得xxxxyyxyzxxzyxyylnln1ln11 .2zxxyy 所以所以.2ln1zyzxxzyx 13例例 8設(shè)設(shè) ,0,) ,(2222yxyxxyyxg,0 022 yx，).0 , 0(),0 , 0( yxgg 求求14)0,0(xg xzxx 0limxgxgx )0 , 0()0 ,0(lim0. 00lim00lim00 xxx類似地可以求得類似地可以求得.0)0 , 0( yg 必必須分別按定義計(jì)算，須分別按定義計(jì)算，求求 g(x ,

8、 y) 在在 (0 , 0) 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，解解153. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義我們知道我們知道 一元一元 函數(shù)函數(shù) y = f (x) 的導(dǎo)數(shù)的幾何的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線意義是曲線 y = f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x0 , y0) 處切線的斜率，處切線的斜率，而二元函數(shù)而二元函數(shù) z = f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn)( x0 , y0) 處的偏導(dǎo)數(shù)，處的偏導(dǎo)數(shù)， 因此二元函因此二元函數(shù)數(shù) z = f (x , y) 的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 也是曲線切線也是曲線切線的斜率的斜率.實(shí)際上就是一元函數(shù)實(shí)際上就是一元函數(shù) z = f ( x , y0) 及及 z = f (x0 , y )分別在點(diǎn)分別在點(diǎn) x = x0 及及 y = y0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)16 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0 , f (x0 , y0)處的切線的斜率，處的切線的斜率，.tan00 y