2020高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)大一輪復(fù)習(xí)檢測：專題研究立體幾何熱點(diǎn)題型問題

1、專題研究立體幾何熱點(diǎn)題型問題專題概述：立體幾何的解答題型主要采用 “論證與計(jì)算”相結(jié)合 的模式，即首先是利用定義、定理、公理等證明空間的線線、線面、 面面平行或垂直，再利用空間向量進(jìn)行空間角的計(jì)算. 試題背景有折 疊問題、探索性問題等，考查空間想象能力、邏輯思維能力及轉(zhuǎn)化與 化歸思想的應(yīng)用能力.專題講解題型一線面關(guān)系的證明【典例 1】(2018 北京卷)如圖，在四棱錐 P ABCD 中，底面ABCD 為矩形，平面 PAD 丄平面 ABCD, PA 丄 PD, PA= PD, E, F 分別為 AD, PB 的中點(diǎn).(1)求證：PE 丄 BC;求證：平面 FAB 丄平面 PCD;求證：EF /平

2、面 PCD.審題程序第一步：要證明 PE 丄 BC,需證明 PE 丄 AD 和 AD/BC;第二步：證明平面 FAB 丄平面 PCD，需證 PD 丄平面 PAB;第三步：利用中位線或平行四邊形證明線線平行，得出線面平行.規(guī)范解答(1)因?yàn)?FA= PD, E 為 AD 的中點(diǎn)，所以 PE 丄 AD.因?yàn)榈酌?ABCD 為矩形，所以 BC/AD.所以 PE 丄 BC.因?yàn)榈酌?ABCD 為矩形，所以 AB 丄 AD.又因?yàn)槠矫?PAD 丄平面 ABCD,所以 AB 丄平面 PAD.所以 AB 丄 PD.又因?yàn)?PA 丄 PD,所以 PD 丄平面 PAB.所以平面 PAB 丄平面 PCD.取 PC

3、 中點(diǎn) G,連接 FG, DG.因?yàn)?F, G 分別為 PB, PC 的中點(diǎn)，1所以 FG /BC, FG = 2BC.因?yàn)?ABCD 為矩形，且 E 為 AD 的中點(diǎn)，1所以 DE /BC，DE = 2BC.所以 DE /FG, DE = FG.所以四邊形 DEFG 為平行四邊形.所以 EF/DG.又因?yàn)?EF?平面 PCD, DG?平面 PCD, 所以 EF /平面 PCD.答題模板解決這類問題的答題模板如下:題型專練1. (2018 遼寧鞍山第一中學(xué)二模)如圖，在三棱柱 ABC A1B1C1中，側(cè)棱 AAi丄底面 ABC, D 為棱 BC的中點(diǎn)，AB= AC, BC= 2AAi,求證:(

4、1) AiC/ 平面 ADBi；(2) BCi丄平面 ADBi.證明(1)如圖，連接 AiB,交 ABi于點(diǎn) M，則 M 為 AiB 的中點(diǎn).連接 DM.審條件定方向嚴(yán)推理查VD為棱 BC 的中點(diǎn)，二 DM /AiC.H11C,又 AiC?平面 ADBi, DM?平面 ADBi,AiC / 平面 ADBi.在三棱柱 ABC A1B1C1中，側(cè)棱 AAi丄底面 ABC,可得 AD 丄 BBi.VD為棱 BC 的中點(diǎn)，AB = AC,AD 丄 BC,又 BCABBi= B,AD 丄平面 BCCiBi, 即卩 AD 丄 BCi.在矩形 BCCiBi中，VBC= 2AAi,.D|= 2,又 ZBBiC

5、i= ZDBBi= 90 .ZDBBiS/BBiCi,.zBDBi=/BiBCi,/BBiD =/BiGB,即ZBiBCi+ /BBiD = 90BG 丄 DBi，又 ADADBi= D, BCiX平面 ADBi.題型二向量方法在立體幾何中的應(yīng)用【典例 2】(2018 全國卷H)如圖，在三棱錐 P ABC 中，AB=BC= 2 2, FA= PB= PC= AC= 4, O 為 AC 的中點(diǎn).H(1) 證明：PO 丄平面 ABC;(2) 若點(diǎn) M 在棱 BC 上，且二面角 M FA C 為 30求 PC 與平 面FAM 所成角的正弦值.審題程序第一步：觀察所求結(jié)論，明確解題方向；第二步：分析條

6、件，獲取解題信息及建立空間直角坐標(biāo)系的依據(jù)；第三步：尋找或求得直線的方向向量和平面的法向量；第四步：建立向量間的聯(lián)系，證明結(jié)論或求出相應(yīng)的結(jié)果.規(guī)范解答(1)證明：因?yàn)?AP = CP = AC = 4, O 為 AC 的中點(diǎn), 所以 OP 丄 AC,且 OP = 2 3.連接 OB因?yàn)?AB= BC=2?AC，所以ABC 為等腰直角三角形，1且 OB 丄 AC, OB=2AC = 2.由 OP2+ OB2= PB2知 PO 丄 OB.由 OP 丄 OB, OP 丄 AC 知 PO 丄平面 ABC.如圖，以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB 的方向?yàn)?x 軸正方向，建立空間 直角坐標(biāo)系 O xyz.由已知

7、得 O(O,O,O), B(2,0,0), A(0， 2,0)，C(0,2,0), P(0,0，2 3)，AP=(0,2,2 3).取平面 FAC 的一個(gè)法向量 Ofe= (2,0,0).設(shè) M(a,2 a,0)(0a由已知可得|cos(OB, n |=2 質(zhì) |a 4|所以222=23 a42+3a2+ a2中，解得 a= 4（舍去）,a=3,所以 n =8.3 4/343.又 PC= (0,2, 2 3),所以 cosPC,n所以 PC 與平面 PAM 所成角的正弦值為答題模板解決這類問題的答題模板如下:AA1= A1C = AC = AB= BC= 2,且點(diǎn) O 為 AC 中點(diǎn).(1)證

8、明：AiO 丄平面 ABC;求二面角 A-AiB Ci的余弦值.解(1)證明：TAAi= AiC，且 O 為 AC 中點(diǎn)，二 AQ 丄 AC,又側(cè)面 AAiCiC 丄底面 ABC,交線為 AC,且 AQ?平面 AAGC,建系設(shè)點(diǎn)1f求解向量1轉(zhuǎn)化計(jì)算f還原反思利用條件分析問題建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系取結(jié)合圖形門隹確地寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).利用點(diǎn)的坐標(biāo)求出相關(guān)直線的方向向量 和平面的法向量，若已知某直線垂直某 平面紡可直接取直線的一個(gè)方向向量為 該平面的法向量.將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系，空間角轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題去論證，求解.結(jié)合條件與圖形，作出結(jié)論，注意角的范圍，查看易錯(cuò)點(diǎn).題型專練2. (2

9、019 沈陽市高三質(zhì)量監(jiān)測)如圖,在三棱柱 ABC AiBiCi中, 側(cè)面 AAiCiC!底面 ABC,.AiO 丄平面 ABC.(2)如圖，以 O 為原點(diǎn)，OB, OC, OAi所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系.由已知可得 O(0,0,0), A(0, 1,0), Ai(O,O, .3), Ci(0,2,3),B( 3, 0,0),( .3, 1,0), A1B= 0 3, 0, 3), AiCi= (0,2,0).設(shè)平面 AAiB 的法向量為 m= (xi, yi, zi),則有m AB=0,3xi+yi=0,? _ _m AiB=0- V3xi. 3zi=0,令

10、xi= i,得 yi= 3, zi= i,m = (i, 3, i).設(shè)平面 AiBCi的法向量為 n= (X2, y2,勁，則有2y2= 0,.v3x2 . 3z2= 0,易得 y2= 0,令 X2= i,則 z2= i,2 血5= (i,0,i),.cosm, n=i0=W,n AiCi= 0,n AiB= 0.所求二面角的余弦值為-T.題型三 立體幾何中的探索性問題【典例 3】(2019 保定模擬)如圖，在四棱錐 P ABCD 中，PA 丄平面 ABCD,FA= AB = AD = 2,四邊形 ABCD 滿足 AB 丄 AD, BC/ AD 且 BC= 4, BE點(diǎn) M 為 PC 中點(diǎn)，

11、點(diǎn) E 為 BC 邊上的動(dòng)點(diǎn)，且 EC=入(1) 求證：平面 ADM 丄平面 PBC;2(2) 是否存在實(shí)數(shù) 入使得二面角 P DE B 的余弦值為？若存 在，試求出實(shí)數(shù) 入的值；若不存在，說明理由.審題程序第一步：證平面與平面垂直，尋求直線與平面垂直；第二步：由二面角的求法公式得 入的方程;第三步：解出入并判斷是否適合題意.規(guī)范解答(1)證明：取 PB 中點(diǎn) N,連接 MN, AN.又 TBC/AD, AMN /AD, MN = AD,四邊形 ADMN 為平行四邊形.VM 是 PC 中點(diǎn),MN /BC, MN = 2BC= 2.RETAP 丄 AD, AB 丄 AD ,AAD 丄平面 PAB.AD 丄 AN,.AN 丄 MN. V