二重積分的概念和性質(zhì)1ppt課件

1、 第九章第九章 重積分重積分第六節(jié)第六節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出二、二重積分的概念二、二重積分的概念三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)四、小結(jié)四、小結(jié)柱體體積柱體體積=底面積底面積 高高特點(diǎn)：平頂特點(diǎn)：平頂.柱體體積柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂特點(diǎn)：曲頂.),(yxfz D曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積一、問(wèn)題的提出 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限的方法，如下動(dòng)畫演示取極限的方法，如下動(dòng)畫演示步驟如下：步驟如下：用假設(shè)干個(gè)小平用假設(shè)干個(gè)小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體

2、積，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為為多多少少？求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量i),(ii將薄片分割成假設(shè)干小塊，將薄片分割成假設(shè)干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量

3、近似等于薄片總質(zhì)量.),(lim10iiniiM xyo二、二重積分的概念如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D D 上的上的二重積分二重積分，記為記為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .(1) 在在二二重重積積分分的的定定義義中中，對(duì)對(duì)閉閉區(qū)區(qū)域域的的劃劃分分是是任任意意的的.(2)當(dāng)當(dāng)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定定義義中中和和式式的的極極限限必必存存在在，即即二二重重積積分分

4、必必存存在在.對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值負(fù)值 在直角坐標(biāo)系下用平在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域分區(qū)域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo那么面積元素為那么面積元素為性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時(shí)，為常數(shù)時(shí)，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(

5、.),(),( DDdyxgdyxf 二重積分與定積分有類似的性質(zhì)二重積分與定積分有類似的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性質(zhì)性質(zhì) 假設(shè)假設(shè) 為為D D的面積，的面積，.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì) 假設(shè)在假設(shè)在D D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 那么有那么有 設(shè)設(shè)M、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 為為 D 的的面面積積，則則性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(

6、yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域D上上連連續(xù)續(xù)， 為為D的的面面積積，則則在在 D 上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)),( 使使得得性質(zhì)性質(zhì)二重積分中值定理二重積分中值定理 DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD二重積分估值不等式二重積分估值不等式例例 1 1 不不作作計(jì)計(jì)算算，估估計(jì)計(jì) deIDyx )(22的的值值， 其其中中D是是橢橢圓圓閉閉區(qū)區(qū)域域： 12222 byax )0(ab .在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性質(zhì)質(zhì) 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 區(qū)域區(qū)域 D的面積的面積 , ab區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16

7、)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解例例 3 3 判判斷斷 122)ln(yxrdxdyyx的的符符號(hào)號(hào).當(dāng)當(dāng)1 yxr時(shí)時(shí), 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又當(dāng)當(dāng) 1 yx時(shí)時(shí), 0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在 D 內(nèi)內(nèi)有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln

8、( Ddyx 2)ln(.oxy121D 考慮題考慮題 將二重積分定義與定積分定義進(jìn)展比較，將二重積分定義與定積分定義進(jìn)展比較，找出它們的一樣之處與不同之處找出它們的一樣之處與不同之處. 定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)上的二元函數(shù)

9、考慮題解答考慮題解答二重積分的定義二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積和式的極限和式的極限四、小結(jié)一、一、 填空題填空題: :1 1、 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上上_時(shí)時(shí), ,則其在則其在D上的二重積分必定存在上的二重積分必定存在 . .2 2、 二 重 積 分二 重 積 分 Ddyxf ),(的 幾 何 意 義 是的 幾 何 意 義 是_._.3 3、 若若),(yxf在 有 界 閉 區(qū) 域在 有 界 閉 區(qū) 域D上 可 積上 可 積 , , 且且21DDD , ,當(dāng)當(dāng)0),( yxf時(shí)時(shí), , 則則 1

10、),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf ; ; 當(dāng)當(dāng)0),( yxf時(shí)時(shí), , 則則 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf . .練練 習(xí)習(xí) 題題4 4、 Ddyx )sin(22_ , ,其中其中 是圓域是圓域 2224 yx的面積的面積 , , 16. .二、二、 利用二重積分定義證明利用二重積分定義證明: : DDdyxfkdyxkf ),(),(.(.(其中其中k為常數(shù)為常數(shù)) )三、三、 比較下列積分的大小比較下列積分的大小: : 1 1、 DDdyxdyx 322)()(與與, ,其中其中D是由圓是由圓 2)1()2(22 yx所圍成所圍成 . . 2 2、 dyxdyxD

11、2)ln()ln(與與, ,其中其中D是矩形是矩形 閉區(qū)域閉區(qū)域: :10 , 53 yx . .四、估計(jì)積分四、估計(jì)積分 DdyxI )94(22的值的值, ,其中其中D是圓是圓 形區(qū)域形區(qū)域: :422 yx . .一、一、1 1、連續(xù)；、連續(xù)；2 2、以、以),(yxfz 為曲頂為曲頂, ,以以D為底的曲頂柱體體積為底的曲頂柱體體積 的代數(shù)和；的代數(shù)和； 3 3、,； 4 4、 . .三、三、1 1、 DDdyxdyx 32)()(； 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(. .四、四、 100)94(3622dyx. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用

12、 “分割、求和、分割、求和、取極限的方法，如下動(dòng)畫演示取極限的方法，如下動(dòng)畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限的方法，如下動(dòng)畫演示取極限的方法，如下動(dòng)畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限的方法，如下動(dòng)畫演示取極限的方法，如下動(dòng)畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限的方法，如下動(dòng)畫演示取極限的方法，如下動(dòng)畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限的方法，如下動(dòng)畫演示取極限的方法，如下動(dòng)畫演示 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體

13、的體積采用 “分割、求和、分割、求和、取極限的方法，如下動(dòng)畫演示取極限的方法，如下動(dòng)畫演示第七節(jié)第七節(jié) 二重積分的應(yīng)用二重積分的應(yīng)用一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出二、曲面的面積二、曲面的面積三、平面薄片的重心三、平面薄片的重心四、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量五、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力五、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力六、小結(jié)六、小結(jié)一、問(wèn)題的提出把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中. . d d dyxf),( dyxf),(),(yx 假設(shè)要計(jì)算的某個(gè)量假設(shè)要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域?qū)τ陂]區(qū)域D具有可加具有可加性性(即當(dāng)閉區(qū)域即當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域

14、時(shí)，所求量分成許多小閉區(qū)域時(shí)，所求量U相相應(yīng)地分成許多部分量，且應(yīng)地分成許多部分量，且U等于部分量之和等于部分量之和)，并，并且在閉區(qū)域且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域 時(shí)，時(shí)，相應(yīng)地部分量可近似地表示為相應(yīng)地部分量可近似地表示為 的形式，的形式，其中其中 在在 內(nèi)這個(gè)內(nèi)這個(gè) 稱為所求量稱為所求量U的元素，記為的元素，記為 ，所求量的積分表達(dá)式為，所求量的積分表達(dá)式為 DdyxfU ),(dU實(shí)例實(shí)例一顆地球的同步軌道通訊一顆地球的同步軌道通訊衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi)，且可近似認(rèn)為是圓軌道通內(nèi)，且可近似認(rèn)為是圓軌道通訊衛(wèi)星運(yùn)行的

15、角速率與地球自轉(zhuǎn)訊衛(wèi)星運(yùn)行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相同，即人們看到它在的角速率相同，即人們看到它在天空不動(dòng)若地球半徑取為天空不動(dòng)若地球半徑取為R，問(wèn)衛(wèi)星距地面的高度問(wèn)衛(wèi)星距地面的高度h應(yīng)為多少？應(yīng)為多少？通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大？通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大？二、曲面的面積衛(wèi)星衛(wèi)星hoxz設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(yxfz ,Dxoy 面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域?yàn)闉樵谠?Dd 設(shè)設(shè)小小區(qū)區(qū)域域,),( dyx 點(diǎn)點(diǎn).),(,(的的切切平平面面上上過(guò)過(guò)為為yxfyxMS .dsdAdAdsszd 則則有有，為為；截截切切平平面面為為柱柱面面，截截曲曲面面軸軸的的小小于于邊邊界界為為準(zhǔn)

16、準(zhǔn)線線，母母線線平平行行以以如圖，如圖， d),(yxMdAxyzs o ,面面上上的的投投影影在在為為xoydAd ,cos dAd,11cos22yxff dffdAyx221,122 DyxdffA 曲面曲面S的面積元素的面積元素曲面面積公式為：曲面面積公式為：dxdyAxyDyzxz 22)()(1設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(xzhy 曲面面積公式為：曲面面積公式為： .122dzdxAzxDxyzy 設(shè)曲面的方程為：設(shè)曲面的方程為：),(zygx 曲面面積公式為：曲面面積公式為： ;122dydzAyzDzxyx 同理可得同理可得例例 1 1 求求球球面面2222azyx

17、，含含在在圓圓柱柱體體axyx 22內(nèi)內(nèi)部部的的那那部部分分面面積積.由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz ,于于是是 221yzxz ,222yxaa 解解)0,( yx面面積積dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 例例 2 2 求由曲面求由曲面azyx 22和和222yxaz )0( a所圍立體的表面積所圍立體的表面積.解解解方程組解方程組,22222 yxazazyx得兩曲面的交線為圓周得兩曲面的交線為圓周,222 azayx在在 平面上的投影域?yàn)槠矫嫔系耐队?/p>

18、域?yàn)閤y,:222ayxDxy 得得由由)(122yxaz ,2axzx ,2ayzy 221yxzz22221 ayax,441222yxaa 知知由由222yxaz 221yxzz, 2dxdyyxaaSxyD 222441故故dxdyxyD 2rdrraada 022204122 a ).15526(62 a),(yx 設(shè)設(shè)xoy平面上有平面上有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們分別位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx處，質(zhì)量分別處，質(zhì)量分別為為nmmm,21則該質(zhì)點(diǎn)系的則該質(zhì)點(diǎn)系的重心重心的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 niiniiiymxmMMx11， niiniiixmymMMy

19、11三、平面薄片的重心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的重重心心例例 3 3 設(shè)設(shè)平平面面薄薄板板由由 )cos1()sin(tayttax，)20( t與與x軸軸圍圍成成，它它的的面面密密度度1 ，求求形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)解解先先求求區(qū)區(qū)域域

20、D的的面面積積 A， 20t， ax 20 adxxyA20)( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy 所所以以形形心心在在ax 上上，即即 ax , DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya2022)(61 203cos16dtta.65 所所求求形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)為為 ),(65 a.由由于于區(qū)區(qū)域域關(guān)關(guān)于于直直線線ax 對(duì)對(duì)稱稱 ， 設(shè)設(shè)xoy平平面面上上有有n個(gè)個(gè)質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)，它它們們分分別別位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx處處，質(zhì)質(zhì)量量分分別別為為nmmm,21則則該該質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)系系

21、對(duì)對(duì)于于x軸軸和和y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量依依次次為為 niiixymI12， niiiyxmI12.四、平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,),(2 DxdyxyI .),(2 DydyxxI 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片對(duì)對(duì)于于x軸軸和和y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量x薄片對(duì)于薄片對(duì)于 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量y例例 4 4 設(shè)設(shè)一一均均勻勻的的直直角角三三角角形形薄薄板板，兩兩直直角角邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)分分別別 為為

22、a、b，求求這這三三角角形形對(duì)對(duì)其其中中任任一一直直角角邊邊的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量.解解設(shè)三角形的兩直角邊分別在設(shè)三角形的兩直角邊分別在x軸和軸和y軸上，如圖軸上，如圖aboyx對(duì)對(duì)y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為,2dxdyxIDy babydxxdy0)1(02 .1213 ba 同同理理：對(duì)對(duì)x軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量為為dxdyyIDx 2 .1213 ab 例例 5 5 已知均勻矩形板已知均勻矩形板（面密度為常數(shù)（面密度為常數(shù)）的長(zhǎng)）的長(zhǎng)和寬分別為和寬分別為b和和h，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò)其形，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò)其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解

23、解先求形心先求形心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐標(biāo)標(biāo)系系如如圖圖oyx, hbA 區(qū)域面積區(qū)域面積 因因?yàn)闉榫鼐匦涡伟灏寰鶆騽?由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知形形心心坐坐標(biāo)標(biāo)2bx ，2hy .hb將坐標(biāo)系平移如圖將坐標(biāo)系平移如圖oyxhbuvo 對(duì)對(duì)u軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 對(duì)對(duì)v軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量 DvdudvuI2 .123 hb 薄片對(duì)薄片對(duì) 軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力軸上單位質(zhì)點(diǎn)的引力z 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為

24、為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，計(jì)計(jì)算算該該平平面面薄薄片片對(duì)對(duì)位位于于 z軸軸上上的的點(diǎn)點(diǎn)), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的引引力力)0( a,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxfFDx ,)(),(23222 dayxyyxfFDy .)(),(23222 dayxyxafFDz 為引力常數(shù)為引力常數(shù)f五、平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力例例6 6 求求面面密密度度為為常常量量、半半徑徑為為R的的均均勻勻圓圓形形薄薄片片：222Ryx ，0 z對(duì)對(duì)位位于于 z軸軸上上的的點(diǎn)點(diǎn)), 0 , 0(0aM處處的的單單位位質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)的的引引力力)0(

25、 a解解由積分區(qū)域的對(duì)稱性知由積分區(qū)域的對(duì)稱性知, 0 yxFF dayxyxafFDz 23)(),(222 dayxafD 23)(1222oyzxFdrrardafR 0222023)(1.11222 aaRfa所求引力為所求引力為.112, 0, 022 aaRfa幾何應(yīng)用：曲面的面積幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、物理應(yīng)用：重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)注意審題，熟悉相關(guān)物理知識(shí)六、小結(jié)考慮題考慮題.)0(cos,cos之之間間的的均均勻勻薄薄片片的的重重心心求求位位于于兩兩圓圓babrar ab xyo薄片關(guān)于薄片關(guān)于 軸對(duì)稱軸對(duì)稱

26、x, 0 y則則 DDddxxDrdrrdba 20coscoscos2)()(224338abab .)(222ababab 考慮題解答考慮題解答一、一、 求錐面求錐面22yxz 被柱面被柱面xz22 所割下部分的所割下部分的曲面面積曲面面積. .二、二、 設(shè) 薄 片 所 占 的 閉 區(qū) 域設(shè) 薄 片 所 占 的 閉 區(qū) 域D是 介 于 兩 個(gè) 圓是 介 于 兩 個(gè) 圓 cos,cosbrar )0(ba 之間的閉區(qū)域之間的閉區(qū)域, ,求求均勻薄片的重心均勻薄片的重心. .三、三、 設(shè)有一等腰直角三角形薄片設(shè)有一等腰直角三角形薄片, ,腰長(zhǎng)為腰長(zhǎng)為a, ,各點(diǎn)處的各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到直角

27、頂點(diǎn)的距離的平方面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方, ,求薄片求薄片的重心的重心. .四、四、 設(shè)均勻薄片設(shè)均勻薄片( (面密度為常數(shù)面密度為常數(shù) 1)1)所占閉區(qū)域所占閉區(qū)域D由拋物由拋物線線xy292 與直線與直線2 x所圍成所圍成, ,求求xI和和yI. .練練 習(xí)習(xí) 題題五、求面密度為常量五、求面密度為常量 的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片: : 0,222221 zyRxyR對(duì)位于對(duì)位于z軸上點(diǎn)軸上點(diǎn) )0)(, 0 , 0(0 aaM處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F. .六、 設(shè)由六、 設(shè)由exoyxy 及及,ln所圍的均勻薄板所圍的均勻薄板( (密度密度1),

28、1), 求此薄板繞哪一條垂直于求此薄板繞哪一條垂直于x軸的直線旋轉(zhuǎn)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣軸的直線旋轉(zhuǎn)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量最小量最小? ?一、一、 2. .二、二、)0 ,)(2(22bababa . .三、三、).52,52(aa四、四、.796,572 yxII五、五、 ),(ln22211222222112222aRRaRRaRRaRRfF )11(, 0221222aRaRfa練習(xí)題答案練習(xí)題答案第五節(jié)第五節(jié) 利用柱面坐標(biāo)和球面利用柱面坐標(biāo)和球面 坐標(biāo)計(jì)算三重積分坐標(biāo)計(jì)算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分三、小結(jié)三、小結(jié),0

29、 r,20 . z一、利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的的柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)就就叫叫點(diǎn)點(diǎn)個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，則則這這樣樣的的三三的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為面面上上的的投投影影在在為為空空間間內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)，并并設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)MzrrPxoyMzyxM,),( 規(guī)定：規(guī)定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐標(biāo)與直角坐柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為標(biāo)的關(guān)系為為為常常數(shù)數(shù)r為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；圓柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf dr

30、xyzodzdr rd如圖，柱面坐標(biāo)系如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為中的體積元素為,dzrdrddv 例例1 1 計(jì)算計(jì)算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx與拋物面與拋物面zyx322 所圍的立體所圍的立體.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交線為知交線為 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如圖圖，投投影影到到把把閉閉區(qū)區(qū)域域xoy .20, 3043:22 rrzr，例例計(jì)算計(jì)算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲線曲線 zy22 ，0 x 繞繞oz軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲的曲

31、面面與兩平面與兩平面, 2 z8 z所圍的立體所圍的立體.解解由由 022xzy 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)得，軸旋轉(zhuǎn)得，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為,222zyx 所圍成的立體如圖，所圍成的立體如圖， :2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所圍成立體的投影區(qū)域如圖，所圍成立體的投影區(qū)域如圖， 2D1D,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原原式式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzr

32、rdrd二、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)，個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點(diǎn)點(diǎn)為為的角，這里的角，這里段段逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來(lái)看自軸來(lái)看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)為原為原來(lái)確定，其中來(lái)確定，其中，三個(gè)有次序的數(shù)三個(gè)有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)設(shè)MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(,r 0.20 ,0 規(guī)定：規(guī)定：為為常常數(shù)數(shù)r為為常常數(shù)數(shù) 為常數(shù)為常數(shù) 如圖，三坐標(biāo)面分別為如圖，三坐標(biāo)面分別

33、為圓錐面；圓錐面；球球 面；面；半平面半平面 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，如圖，Pxyzo),(zyxMr zyxA，軸軸上上的的投投影影為為在在點(diǎn)點(diǎn)，面面上上的的投投影影為為在在設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 則則 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐標(biāo)系中的體積元素為球面坐標(biāo)系中的體積元素為,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如圖，如圖，例例 3 3 計(jì)算計(jì)算 dxdydzyxI)(22

34、，其中，其中 是是錐面錐面222zyx ， 與與平面平面az )0( a所圍的立體所圍的立體.解解 1 采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 解解 2 采采用用柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo) ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr例例 4 4 求求曲曲面面22222azyx 與與22yxz 所所

35、圍圍 成成的的立立體體體體積積.解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成，采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重積積分分的的性性質(zhì)質(zhì)知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算補(bǔ)充：利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)三重積分計(jì)算使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：使用對(duì)稱性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸的的 一一般般地地，當(dāng)當(dāng)積積分分區(qū)區(qū)域域 關(guān)關(guān)

36、于于xoy平平面面對(duì)對(duì)稱稱，且且被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的奇奇函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為零零，若若被被積積函函數(shù)數(shù)),(zyxf是是關(guān)關(guān)于于z的的偶偶函函數(shù)數(shù)，則則三三重重積積分分為為 在在xoy平平面面上上方方的的半半個(gè)個(gè)閉閉區(qū)區(qū)域域的的三三重重積積分分的的兩兩倍倍.奇偶性奇偶性例例利利用用對(duì)對(duì)稱稱性性簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化計(jì)計(jì)算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域1| ),(222 zyxzyx.解解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)面都對(duì)稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的奇函數(shù)的奇函數(shù),z. 01)1ln(222222 dx

37、dydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 6 6 計(jì)算計(jì)算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由拋物是由拋物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所圍成的空所圍成的空間閉區(qū)域間閉區(qū)域.其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對(duì)對(duì)稱稱, 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關(guān)關(guān)于于yoz面面對(duì)對(duì)稱稱, 0 xzdv由由對(duì)對(duì)稱稱性性知知 dvydvx22,則則 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在在柱柱面面坐坐標(biāo)標(biāo)下下：,20 , 10 r,222rzr ,

38、 122 yx投投影影區(qū)區(qū)域域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 1 柱面坐標(biāo)的體積元素柱面坐標(biāo)的體積元素dzrdrddxdydz 2 球面坐標(biāo)的體積元素球面坐標(biāo)的體積元素 ddrdrdxdydzsin2 3 對(duì)稱性簡(jiǎn)化運(yùn)算對(duì)稱性簡(jiǎn)化運(yùn)算三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)三、小結(jié)考慮題考慮題則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為面對(duì)稱的有界閉區(qū)域，面對(duì)稱的有界閉區(qū)域，中關(guān)于中關(guān)于為為若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng) 1),(_),(,_),(dvz

39、yxfdvzyxfzyxf為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)時(shí)關(guān)于關(guān)于當(dāng)當(dāng).1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中xy zz2一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所圍圍, ,則三重積分則三重積分 dvzyxf),(表示成直角坐標(biāo)下表示成直角坐標(biāo)下的三次積分是的三次積分是_; ;在柱面坐標(biāo)下在柱面坐標(biāo)下的三次積分是的三次積分是_; ;在球面坐標(biāo)下在球面坐標(biāo)下的三次積分是的三次積分是_. .2 2、 若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所圍所圍, ,將將 zdv表為柱面坐標(biāo)下的三次積分表為柱面坐標(biāo)下的三次積分_, ,其值為其值為_.

40、.練練 習(xí)習(xí) 題題 3 3、若空間區(qū)域、若空間區(qū)域 為二曲面為二曲面azyx 22及及 222yxaz 所圍所圍, ,則其體積可表為三重積分則其體積可表為三重積分_; ;或二重積分或二重積分_; ;或柱面坐標(biāo)下的三次積分或柱面坐標(biāo)下的三次積分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222zyx 所確定所確定, ,將將 zdv表為球面坐標(biāo)下的三次積分為表為球面坐標(biāo)下的三次積分為_；其值為；其值為_. .二、計(jì)算下列三重積分二、計(jì)算下列三重積分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所圍成的閉區(qū)域所

41、圍成的閉區(qū)域. . 2 2、 dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所確定所確定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222czbyaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所圍成的立所圍成的立體的體積體的體積. .四、曲面四、曲面2224aazyx 將球體將球體azzyx4222 分分成兩部分成兩部分, ,試求兩部分的體積之比試求兩部分的體積之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所圍圍成成立立體體的的重重心心( (設(shè)設(shè)密密度度1 ) ).

42、 .六、求半徑為六、求半徑為a, ,高為高為h的均勻圓柱體對(duì)于過(guò)中心而垂的均勻圓柱體對(duì)于過(guò)中心而垂 直于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量直于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ( (設(shè)密度設(shè)密度)1 . .一、一、1 1、 22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr

43、 sin)cos,sinsin2；練習(xí)題答案練習(xí)題答案 2 2、 2221020rrzdzrdrd, ,127 ； 3 3、 dv, , Ddxdyayxyxa)2(2222, , raaradzrdrd20202； 4 4、4cos203402067,cossinadrrdda . .二、二、1 1、 8； 2 2、)(15455aA ； 3 3、abc 54. .三、三、)455(32 . .四、四、27376276373321 aaVV. .五、五、)307,52,52(2aaa. .六、六、)3(422haM ( (其中其中 haM2為圓柱體的質(zhì)量為圓柱體的質(zhì)量).).第六節(jié)第六節(jié) 含

44、參變量的積分含參變量的積分一、含參變量積分的連續(xù)性一、含參變量積分的連續(xù)性二、含參變量的函數(shù)的微分二、含參變量的函數(shù)的微分三、萊布尼茨公式三、萊布尼茨公式四、小結(jié)四、小結(jié) )().(, bxadyyxfx 一、含參變量積分的連續(xù)性是變量是變量 在在 上的一個(gè)一元連續(xù)函數(shù)上的一個(gè)一元連續(xù)函數(shù),設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是在矩形是在矩形 ),(yxf),( bbxaR dyyxf),(, 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù). 在在 上任意確定上任意確定 的一個(gè)值的一個(gè)值, 于是于是),(x x,bax),(yxfy從而積分從而積分xx,ba存在存在, 這個(gè)積分的值依賴于取這個(gè)積分的值依賴于取定的定的 值值. 當(dāng)當(dāng) 的值

45、改變時(shí)的值改變時(shí),一般來(lái)說(shuō)這個(gè)積分的值也一般來(lái)說(shuō)這個(gè)積分的值也跟著改變跟著改變. 這個(gè)積分確定一個(gè)定義在這個(gè)積分確定一個(gè)定義在上的上的 的函的函數(shù)數(shù), 我們把它記作我們把它記作即即定理定理1 1 假如函數(shù)假如函數(shù) 在矩形在矩形 ),(yxf),( bbxaR )(),()(bxadyyxfx,ba上連續(xù)，那么由積分上連續(xù)，那么由積分確定的函數(shù)確定的函數(shù) 在在 上也連續(xù)上也連續(xù). . )(x 證證設(shè)設(shè) 和和 是是 上的兩點(diǎn)，那么上的兩點(diǎn)，那么xxx ,ba)1(.),(),()()( dyyxfyxxfxxx這里變量這里變量 在積分過(guò)程中是一個(gè)常量，通常稱它為在積分過(guò)程中是一個(gè)常量，通常稱它為參

46、變量參變量.x由于由于 在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上連續(xù)，從而一致連續(xù)上連續(xù)，從而一致連續(xù).),(yxfR因而對(duì)于任意取定的因而對(duì)于任意取定的 ,存在存在 ,使得對(duì)于使得對(duì)于 內(nèi)內(nèi)的任意兩點(diǎn)的任意兩點(diǎn) 及及 ,只要它們之間的間隔只要它們之間的間隔 小于小于 ,即即0 0 R),(11yx),(22yx ,)()(212212 yyxx就有就有.),(),(1122 yxfyxf因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn) 與與 的間隔的間隔 等于等于 ,所以當(dāng)所以當(dāng)),(yxx ),(yxx 時(shí)時(shí),就有就有 x.),(),( yxfyxxf于是由于是由1式有式有).(),(),()()( dyyxfyxxfxxx所以所以 在在 上連

47、續(xù)上連續(xù). 定理得證定理得證)(x ,ba注注 既然函數(shù)既然函數(shù) 在在 上連續(xù)上連續(xù),那么它在那么它在 上上的積分存在的積分存在,這個(gè)積分可以寫為這個(gè)積分可以寫為)(x ,ba,ba.),(),()( bababadyyxfdxdxdyyxfdxx 右端積分式函數(shù)右端積分式函數(shù) 先對(duì)先對(duì) 后對(duì)后對(duì) 的二次積分的二次積分.),(yxfyx定理定理2 2 假如函數(shù)假如函數(shù) 在矩形在矩形),(yxf),( ybxaR上連續(xù)上連續(xù), ,那么那么)2(.),(),(dydxyxfdxdyyxfbaba 公式公式2也可寫成也可寫成)2(.),(),( babadxyxfdydyyxfdx 我們?cè)趯?shí)際中還會(huì)

48、遇到對(duì)于參變量我們?cè)趯?shí)際中還會(huì)遇到對(duì)于參變量 的不同的值，的不同的值，積分限也不同的情形，這時(shí)積分限也是參變量積分限也不同的情形，這時(shí)積分限也是參變量 的函的函數(shù)數(shù).這樣這樣,積分積分xx 3,dyyxfxxx 也是參變量也是參變量 的函數(shù)的函數(shù).下面我們考慮這種更為廣泛地下面我們考慮這種更為廣泛地依賴于參變量的積分的某些性質(zhì)依賴于參變量的積分的某些性質(zhì).x定理定理3 3 假如函數(shù)假如函數(shù) 在矩形在矩形),(yxf),( ybxaR)(x )(x ,ba,ba),()(,)(bxaxx )(x 上連續(xù)，又函數(shù)上連續(xù)，又函數(shù) 與與 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，并且并且那么由積分那么由積分3 3

49、確定的函數(shù)確定的函數(shù) 在在 上也連續(xù)上也連續(xù). .證證設(shè)設(shè) 和和 是是 上的兩點(diǎn)，那么上的兩點(diǎn)，那么,baxxx .),(),()()()()()()(dyyxfdyyxxfxxxxxxxxx ,),(),(),(),()()()()()()()( xxxxxxxxxxxxdyyxxfdyyxxfdyyxxfdyyxxf )4(.),(),(),(),()()()()()()()()( xxxxxxxxdyyxfyxxfdyyxxfdyyxxfxxx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式右端最后一個(gè)積分的積分限不變，時(shí)，上式右端最后一個(gè)積分的積分限不變，0 x根據(jù)證明定理根據(jù)證明定理1時(shí)同樣的理由，這個(gè)積分趨于零時(shí)

50、同樣的理由，這個(gè)積分趨于零.又又. )()(),(, )()(),()()()()(xxxMdyyxxfxxxMdyyxxfxxxxxx 其中其中 是是 在矩形在矩形 上的最大值上的最大值. 根據(jù)根據(jù) 與與 在在 上連續(xù)的假定，由以上兩式可見，上連續(xù)的假定，由以上兩式可見， 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，4式右端的前兩個(gè)積分都趨于式右端的前兩個(gè)積分都趨于零零. 于是，當(dāng)于是，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，M),(yxfR)(x )(x ,ba0 x0 x),(0)()(bxaxxx ,ba)(x 所以函數(shù)所以函數(shù) 在在 上連續(xù)上連續(xù). 定理得證定理得證下面考慮由積分下面考慮由積分(*)確定的函數(shù)確定的函數(shù) 的微分問(wèn)題的微分問(wèn)題

51、.)(x xyxf ),(定理定理4 4 假如函數(shù)假如函數(shù) 及其偏導(dǎo)數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù) 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x ,ba)5(.),(),()( dyxyxfdyyxfdxdx矩形矩形 上連續(xù)上連續(xù), ,那么由積分那么由積分(1)(1)確定的函數(shù)確定的函數(shù) 在在 上可微分上可微分, ,并且并且二、含參變量的函數(shù)的微分證證因?yàn)橐驗(yàn)?)()(lim)(0 xxxxxx 為了求為了求 ，先利用公式，先利用公式(1)作出增量之比作出增量之比)(x .),(),()()(dyxyxfyxxfxxxx 由拉格朗日中值定理，以及由拉格朗日中值定理，以及 的一致連續(xù)性，我們有的一致連續(xù)性，我們有xf )6(),(),(),(),(),(xyxxyxfxyxxfxyxfyxxf 其中其中 ， 可小于任意給定的正數(shù)可小于任意給定的正數(shù) ，只要，只要 10 x 小于某個(gè)正數(shù)小于某個(gè)正數(shù) . 因而因而),()(),( xdydyxyx這就是說(shuō)這就是說(shuō). 0),(lim0 dyxyxx綜上所述有綜上所述有,),(),()()( dyxyxdyxyxfxxxx令令 取上式的極限，即得公式取上式的極限，即得公式5.0 x定理定理5 5 假如函數(shù)假如函數(shù) 及其偏導(dǎo)數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù) 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x