二元函數(shù)的極限與連續(xù)性ppt課件

1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性二元函數(shù)的極限與連續(xù)性 與一元函數(shù)的極限相類似， 二元函數(shù)的極限 同樣是二元函數(shù)微積分的根底. 但因自變量個數(shù) 的增多, 導致多元函數(shù)的極限有重極限與累次極 限兩種形式, 而累次極限是一元函數(shù)情形下所不會呈現(xiàn)的. 一、二元函數(shù)的極限一、二元函數(shù)的極限 二、累次極限二、累次極限 1 1、二元函數(shù)的極限、二元函數(shù)的極限一、二元函數(shù)的極限一、二元函數(shù)的極限 f2RD 0P定義定義1 1 設二元函數(shù)設二元函數(shù) 定義在定義在上上, , 為為 D D 的的 一個聚點一個聚點, A , A 是一實數(shù)是一實數(shù). . 假設假設0,0, 使得當使得當 0(;)PUPD 時時, 都有都有 |(

2、 )|,f PA 0lim( ).PPPDf PA 在對在對PD 不致產(chǎn)生誤解時不致產(chǎn)生誤解時, 也可簡單地寫作也可簡單地寫作 f0PP那么稱那么稱在在 D D 受騙受騙時以時以 A A 為極限為極限, , 記記作作 0lim( ).PPf PA 0P00( , ),(,)x yxy當當 P, 分別用坐標分別用坐標 表示時表示時, 上式也上式也 常寫作常寫作 00( ,)(,)lim( ,).x yxyf x yA 例例1 依定義驗依定義驗證證22( ,)(2,1)lim()7.x yxxyy 證證 因為因為 227xxyy22(4)2(1)xxyy |(2)(2)(2)2(1)(1)(1)|

3、xxxyyyy |2|2|1|3|.xxyyy 無妨先限制在點無妨先限制在點(2, 1)(2, 1)的方鄰域的方鄰域 ( ,) |2|1, |1|1x yxy內來討論內來討論, , 于是有于是有|3|14|1|45,yyy |2|(2)(1)5|xyxy|2|1|57.xy2277|2|5|1|xxyyxy 7(|2|1|).xy 0,min (1,),14 取取|2|, |1|xy 當當( ,)(2,1)x y 且且 時時, 就有就有 2277214.xxyy 這就證得這就證得 22( ,)(2,1)lim()7.x yxxyy 所以所以例例2 2 設設 2222( ,)(0, 0),( ,

4、)0,( ,)(0, 0),xyxyx yf x yxyx y， 證明證明( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 證證(證法一證法一) 0, 由由222222222202xyxyxyxyxyxy 222211(),22xyxy可知可知 222 ,0,xy 當當時時 便便有有22220,xyxyxy 故故( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 注意注意 不要把上面的估計式錯寫成：不要把上面的估計式錯寫成：2222222210(),22xyxyxyxyxyxyxy ( ,)(0, 0)x y ( ,)(0, 0),x y 因為因為的過程只要求的過程只要求 即即 220,

5、xy0.xy 而并不要求而并不要求 (證法二證法二) 作極坐標變換作極坐標變換 cos ,sin .xryr 這時這時 2222|( ,)0|xyf x yxyxy 2211|sin4 |,44rr ( ,)(0, 0)x y 0r 等價于等價于( 對任何對任何 ). 由于由于 因而，因而，220,2,rxy 只只須須對任何對任何 都有都有 2( ,)(0,0)1|( ,)0|,lim( ,)0.4x yf x yrf x y 即即下述定理及其推論相當于一元函數(shù)極限的海涅歸下述定理及其推論相當于一元函數(shù)極限的海涅歸結原那么結原那么(而且證明方法也相類似而且證明方法也相類似). 定理定理 5 0

6、lim( )PPP Df PA 的充要條件是：對于的充要條件是：對于 D 的的 任一子集任一子集 E,E,只要只要 仍是仍是 E E 的聚點的聚點, ,就有就有0P0lim( ).PPP Ef PA 1ED 01lim( )PPP Ef P 推論推論1 假設假設, P0 是是 E1 的聚點的聚點, 使使 不存在不存在, 那么那么0lim( )PPP Df P 也不存在也不存在 001212lim()lim()PPPPP EP Ef PAf PA 與與120,E ED P 推論推論2 假設假設 是它們的聚點，使得是它們的聚點，使得12AA 0lim( )PPP Df P 都存在，但都存在，但,

7、那么那么不存在不存在推論推論3 極限極限 0lim( )PPP Df P 存在的充要條件是：存在的充要條件是：D 中任中任 一滿足條件一滿足條件00lim,nnnnPPPPP且點列且點列的的 它所它所 對應的函數(shù)列對應的函數(shù)列()nf P都收斂都收斂 下面三個例子是它們的應用下面三個例子是它們的應用 22( ,)xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例例3 討論討論當當時是否時是否存在極限存在極限( 注注: 此題結論很重要此題結論很重要, 以后常會用到以后常會用到. ) 解解 當動點當動點 (x, y) 沿著直線沿著直線 而趨于定點而趨于定點 (0, 0) ymx時，由于時，由于2(

8、 ,)( ,)1mf x yf x mxm , 因而有因而有 2( ,)(0,0)0lim( ,)lim( ,).1x yxymxmf x yf x mxm 這說明動點沿不同斜率這說明動點沿不同斜率 m 的直線趨于原點時的直線趨于原點時, 對應對應 的極限值不一樣，因而所討論的極限不存在的極限值不一樣，因而所討論的極限不存在210,( ,)0yxxf x y ，, ,， 其其余余部部分分. .4例例設設如圖如圖 16-15 所示所示, 當當 (x, y) 沿任何直線趨于原點時沿任何直線趨于原點時, 相應的相應的 ( ,)f x y都趨于都趨于 0, 但這并不說明此函數(shù)在但這并不說明此函數(shù)在 (

9、 , )(0, 0)x y 時的極限為時的極限為 0. 因為當因為當 (x, y) 沿拋物線沿拋物線 2(01)ykxk ( ,)f x y 趨于點趨于點 O 時時, 將趨于將趨于1. 所所以極限以極限 ( , )(0,0)lim( , )x yf x y不存在不存在. ( , )xyf x yxy ( ,)(0, 0)x y 例例5 討論討論在在 時不時不 存在極限存在極限 解解 利用定理利用定理 5 的推論的推論 2, 需要找出兩條途徑需要找出兩條途徑, 沿沿 著此二途徑而使著此二途徑而使 ( ,)(0, 0)x y 時時, 得到兩個相異得到兩個相異 的極限的極限 第一條途徑簡單地取第一條

10、途徑簡單地取,yx 此時有此時有 2( , )(0,0)0()limlim0.2x yxyxxyxxyx 第二條途徑可考慮能使第二條途徑可考慮能使( , )xyf x yxy 的分子與的分子與 分母化為同階的無窮小分母化為同階的無窮小, 導致極限不為導致極限不為 0. 按此思路按此思路 的一種有效選擇的一種有效選擇, 是取是取 2.yxx 此時得到此時得到 222( , )(0,0)00()()limlimlim(1)1,x yxxyxxxyx xxxxyx 這就到達了預期的目的這就到達了預期的目的 ( 非正常極限非正常極限 ) 的定義的定義 定義定義2 設設 D 為二元函數(shù)為二元函數(shù)f的定義

11、域，的定義域， 000(,)P xy是是 D 的一個聚點的一個聚點. 假設假設 0,0,M 使得使得 0( ,)(;),( , ),P x yUPDf x yM 都有都有0PP 那么稱那么稱 f在在 D 受騙受騙 時時, 有非正常極限有非正常極限 , 記作記作 00( ,)(,)lim( ,),x yxyf x y ( , )f x y 下面再給出當下面再給出當 時時, 000( , )(,)P x yP xy或或 0lim( ).PPf P 仿此可類似地定義：仿此可類似地定義：00lim()lim().PPPPf Pf P 與與例例6 設設 221( ,)23f x yxy . 證明證明 (

12、 ,)(0,0)lim( ,).x yf x y 證證 此函數(shù)的圖象見圖此函數(shù)的圖象見圖16 -16. 2222234()xyxy 0,M 因因 , 故對故對只需取只需取 2211,022xyMM 當時，就有當時，就有22221123,.23xyMMxy 即即這就證得結果這就證得結果 二元函數(shù)極限的四那么法那么與一元函數(shù)極限相仿二元函數(shù)極限的四那么法那么與一元函數(shù)極限相仿, 特特 同同, 這里不再一一表達這里不再一一表達.( , )f x y( )f P看作點函數(shù)看作點函數(shù)別把別把 時時, 相應的證法也相相應的證法也相 二、累次極限二、累次極限是以任何方式趨于是以任何方式趨于 這種極限也稱為重

13、這種極限也稱為重 00(,),xy的的極限極限. 下面要考察下面要考察 x 與與 y 依一定的先后順序依一定的先后順序, 相繼趨相繼趨 在上面討論的在上面討論的00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y中中, 自變量自變量 ( , )x y0 x于于 與與 時時 f 的極限的極限, 這種極限稱為累次極限這種極限稱為累次極限. 0y定義定義3 ( , ),( , ),f x yx yDDxy設設在在軸軸、 軸軸上上的的投投000,.(),xyX YyY yy分分別別是是的的聚聚點點 若若對對每每一一個個,XY影影分分別別為為、即即|( , ),|( , ),Xxx yDYyx yD0(

14、 )lim( ,);xxyf x y 假如進一步還存在極限假如進一步還存在極限 0lim( ),yyLy 累次極限累次極限, 記作記作 0()xx0()yy那么稱此那么稱此 L 為為 先對先對 后對后對的的 ( , )f x y0lim( ,)xxf x y，它一般與它一般與 y 有關有關, 記作記作 存在極限存在極限00lim lim( ,).yy xxLf x y 類似地可以定義先對類似地可以定義先對 y y 后對后對 x x 的累次極限的累次極限: : 00lim lim( ,).xxyyKf x y 注注 累次極限與重極限是兩個不同的概念累次極限與重極限是兩個不同的概念, 兩者之間兩者

15、之間沒有蘊涵關系沒有蘊涵關系. 下面三個例子將說明這一點下面三個例子將說明這一點. 22( ,)xyf x yxy ( , )f x y例例7 設設 . 由例由例 3 曉得曉得 當當( , )(0, 0)x y 0y 時的重極限不存在時的重極限不存在. 但當?shù)敃r時, 有有 220lim0,xxyxy 從而又有從而又有 2200limlim0.yxxyxy 同理可得同理可得 這說明這說明 f 的兩個累次極限都存在而且相等的兩個累次極限都存在而且相等. 2200limlim0.xyxyxy 累次極限分別為累次極限分別為 例例8 設設 , 它關于原點的兩個它關于原點的兩個 22( , )xyxyf

16、 x yxy2220000limlimlimlim(1)1,yxyyxyxyyyyxyy 2220000limlimlimlim(1)1.xyxxxyxyxxxxyx 當沿斜率不同的直線當沿斜率不同的直線,( ,)(0, 0)ymxx y 時時, 有有 訴我們訴我們, 這個結果是必然的這個結果是必然的. ) 22( , )(0,0)1lim,1x yymxxyxymxym 因而該函數(shù)的重極限不存在因而該函數(shù)的重極限不存在. ( 下面的定理下面的定理 16.6 將告將告 例例 設設11( ,)sinsinf x yxyyx, 它關于原點的兩它關于原點的兩 個累次極限都不存在個累次極限都不存在.

17、這是因為對任何這是因為對任何 0,y 而而當當0 x 時時, f 的第二項不存在極限的第二項不存在極限. 同理同理, f 的第一的第一 項當項當 時也不存在極限時也不存在極限. 但是由于但是由于 0y 11sinsin|,xyxyyx ( ,)(0,0)lim( ,)0.x yf x y 故按定義曉得故按定義曉得 時時 f 的重極限存在的重極限存在, 且且 ( , )(0,0)x y 下述定理告訴我們下述定理告訴我們: 重極限與累次極限在一定條件重極限與累次極限在一定條件 下也是有聯(lián)絡的下也是有聯(lián)絡的. 定理定理 6 假設假設 f (x, y) 的重極限的重極限 與與 00( ,)(,)lim

18、( ,)x yxyf x y累次極限累次極限 00lim lim( ,)xxyyf x y都存在都存在, 那么兩者必定相那么兩者必定相等等. 證證 設設 00( ,)(,)lim( ,),x yxyf x yA 0,0,0( ,)(;)P x yUP 那那么么使得當使得當時時, , 有有|( , )|.(1)f x yA 00|(2)xx 的的 x, 存在極限存在極限 另由存在累次極限之假設另由存在累次極限之假設, 對任一滿足不等式對任一滿足不等式 0lim( ,)( ).(3)yyf x yx |( )|.(4)xA0yy回到不等式回到不等式(1), 讓其中讓其中, 由由 (3) 可得可得故

19、由故由 (2), (4) 兩式兩式, 證得證得0lim( )xxxA , 即即0000( ,)(,)lim lim( ,)lim( ,).xx yyx yxyf x yf x yA 由這個定理立即導出如下兩個便于應用的推論由這個定理立即導出如下兩個便于應用的推論. 00lim lim( ,)xxyyf x y00lim lim( ,)yy xxf x y, 推論推論1 假設重極限假設重極限 和累次極限和累次極限 00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y都存在都存在, 那么三者必定相等那么三者必定相等. 推論推論2 假設累次極限假設累次極限0000lim lim( ,)lim lim

20、( ,)xxyyyy xxf x yf x y與與都存在但不相等都存在但不相等, 那么重極限那么重極限00( ,)(,)lim( ,)x yxyf x y必定必定 不存在不存在. 請注意請注意: (i) 定理定理 16.6 保證了在重極限與一個累次保證了在重極限與一個累次 極限都存在時極限都存在時, 它們必相等它們必相等. 但對另一個累次極限的但對另一個累次極限的 存在性卻得不出什么結論存在性卻得不出什么結論, 對此只需考察本節(jié)習題對此只需考察本節(jié)習題 之之 2(5). (ii) 推論推論 1 給出了累次極限次序可交換的一個充沛給出了累次極限次序可交換的一個充沛條件條件. (iii) 推論推論

21、 2 可被用來否認重極限的存在性可被用來否認重極限的存在性(如例如例8 ). 0000( , )(,)()f x yP xyUP在在點點的的某某鄰鄰域域內內 例例10 設設 ,:有定義 且滿足有定義 且滿足0lim( ,)( );xxf x yy 00(i)(),UPyy 在內,對每個存在極限在內,對每個存在極限 0(ii)()UPx在內,關于一致地存在極限在內,關于一致地存在極限 0lim( ,)( ).yyf x yx 試證明試證明: 0000lim lim( ,)lim lim( ,).xxyyyy xxf x yf x y 證證 01 (lim( )0,(ii),yyyA 證證明明存存

22、在在由由條條件件00,0|(xyy 對對一一切切存存在在公公共共的的只只要要并并0( , )() ),x yUP 使使便便有有|( , )( )|.2f x yx 00|,yy 于于是是當當時時 又又有有|( , )( ,)|( , )( )|f x yf x yf x yx |( ,)( )|.f x yx 0,(i)xx再再令令由由條條件件又又得得|( )()|.yy 根據(jù)柯西準那么根據(jù)柯西準那么, 證得證得0lim( ).yyyA 存存在在02 (lim( )0,xxxA 證明由證明由|( )|( )( , )|xAxf x y |( , )( )|( )|,f x yyyA 1 0(

23、, )(),x yUPy 當且與當且與利用條件利用條件 (ii) 與結論與結論 , 0y,充分接近時 可使充分接近時 可使|( )( , )|, |( )|;33xf x yyA0,(i),0,0|,yxx 再再將將固固定定 由由條條件件當當時時又有又有00lim( )lim( ).xxyyxy |( )|,xA即即這就證得這就證得|( , )( )|;3f x yy 注注 本例給出了二累次極限相等的又一充沛條件本例給出了二累次極限相等的又一充沛條件. 與與 定理定理16. 6 的推論的推論1 相比較相比較, 在這里的條件在這里的條件 (i) 與與 (ii) 成立時成立時, 重極限重極限00(

24、 ,)(,)lim( ,)x yxyf x y 未必存在未必存在. 2 2、 二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性 無論是單元微積分還是多元微積分,其中所討論的函數(shù), 最重要的一類就是連續(xù)函數(shù). 二元函數(shù)連續(xù)性的定義比一元函數(shù)更一般化 了些; 而它們的部分性質與在有界閉域上的整體性質, 二者完全一樣.一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念一、二元函數(shù)的連續(xù)性概念 連續(xù)性的定義連續(xù)性的定義.D 0,0,0(;)PU PD 假設假設只要只要, 就有就有0|( )()|,(1)f Pf P 那么稱那么稱 f f 關

25、于集合關于集合 D D 在點在點 連續(xù)連續(xù). .在不致誤解的情形在不致誤解的情形 0P下下, 也稱也稱 f 在點在點 連續(xù)連續(xù). 0P假設假設 f f 在在 D D 上任何點都關于集合上任何點都關于集合 D D 連續(xù)連續(xù), ,那么稱那么稱 f f 為為 D D 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù). . 2RD 定義定義1 1 設設 f f 為定義在點集為定義在點集 上的二元函數(shù)上的二元函數(shù), , 0P由上述定義曉得由上述定義曉得: : 假設假設 是是 D D 的孤立點的孤立點, ,那么那么 必定是必定是 0P0P00lim( )().(2)PPP Df Pf P 0P f 的連續(xù)點的連續(xù)點. 假設假設

26、是是 D 的聚點的聚點, 那么那么 f 關于集合關于集合 D 在點在點 連續(xù)等價于連續(xù)等價于 0P假如假如 是是 D 的聚點的聚點, 而而 (2) 式不成立式不成立 (其含義與一元其含義與一元0P函數(shù)的對應情形一樣函數(shù)的對應情形一樣 ), 那么稱那么稱 是是 f 的不連續(xù)點的不連續(xù)點 (或或 0P稱連續(xù)點稱連續(xù)點). 特別當特別當 (2) 式左邊極限存在式左邊極限存在, 但不等于但不等于 如上節(jié)例如上節(jié)例1、2 給出的函數(shù)在原點連續(xù)給出的函數(shù)在原點連續(xù); 例例3、4、5 0()f P0P是是 f 的可去連續(xù)點的可去連續(xù)點. 時時,給出的函數(shù)在原點不連續(xù)給出的函數(shù)在原點不連續(xù). 又假設把上述例又

27、假設把上述例3 的函數(shù)的函數(shù)改為改為222, ( ,)( ,)|,0 ,( ,),( ,)(0,0),1xyx yx yymx xxyf x ymx ym上，這時由于上，這時由于2( ,)(0,0)lim( ,)(0,0),1x yymxmf x yfm 其中其中 m 為固定實數(shù)為固定實數(shù), 亦即函數(shù)亦即函數(shù) f 只定義在只定義在 ymx22, ( , )(0,0),( , )(0)0,( , )(0,0),xx yf x yxyx y 在坐標原點的連續(xù)性在坐標原點的連續(xù)性22( cos , sin )(cos )0,f rrrr( , )(0,0)lim( , )0(0,0),x yf x

28、yf因而因而 此時此時 f 在原點連在原點連因而因而 f 在原點沿著直線在原點沿著直線 是連續(xù)的是連續(xù)的ymx例例1 討論函數(shù)討論函數(shù) 解解 由于當由于當 20r 且且時時, ,( , )(0,0)2,lim( , )x yf x y 時時續(xù)續(xù); 而當而當 不存在，不存在， 此時此時f 在原點連續(xù)在原點連續(xù) 全增量與偏增量全增量與偏增量 00000(,)( ,),P xyP x yDxxxyyy 、設設0000(,)( ,)(,)zf xyf x yf xy 稱稱0000(,)(,)f xx yyf xy 量形式來描繪連續(xù)性量形式來描繪連續(xù)性, 即當即當為函數(shù)為函數(shù) f 在點在點 的全增量的全

29、增量. 和一元函數(shù)一樣和一元函數(shù)一樣, 可用增可用增 0P(,)(0,0)( ,)lim0 xyx yDz 時時, f 在點在點 連續(xù)連續(xù). 0P00,xy 或或假如在全增量中取假如在全增量中取 那么相應得到的那么相應得到的 增量稱為偏增量增量稱為偏增量, 分別記作分別記作000000(,)(,)(,),xf xyf xx yf xy 000000(,)(,)(,).yf xyf xyyf xy 一般說來一般說來, 函數(shù)的全增量并不等于相應的兩個偏增函數(shù)的全增量并不等于相應的兩個偏增量之和量之和. 假設一個偏增量的極限為零假設一個偏增量的極限為零, 如如 000lim(,)0,xxf xy0y

30、y 0( ,)f x y那么表示當固定那么表示當固定 時時, 作為作為 x 的函數(shù)的函數(shù), 它它 在在 x0 連續(xù)連續(xù). 同理同理, 000lim(,)0,yyf xy若若 那么表示當那么表示當 容易證明容易證明: 當當 f 在其定義域的內點在其定義域的內點 連續(xù)時連續(xù)時, 00(,)xy0( ,)f x y0(,)f xy在在 x0 與與 在在 y0 都連續(xù)都連續(xù). 但是反過來但是反過來, 由二元函數(shù)對單個自變量都連續(xù)，一般不能保證該由二元函數(shù)對單個自變量都連續(xù)，一般不能保證該函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 (除非另外增加條件除非另外增加條件). 例如二元函數(shù)例如二元函數(shù)固定固定 時，時， 0(,

31、)f xy在在 y0 連續(xù)連續(xù). 0 xx10,( ,)00 xyf x yxy ，在原點處顯然不連續(xù)在原點處顯然不連續(xù), 但由于但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因而它在原點處對因而它在原點處對 x 和對和對 y 分別都連續(xù)分別都連續(xù). 例例2 設在區(qū)域設在區(qū)域 2R( , )Df x yxy 上上分分別別對對和和對對都都連續(xù)試證在以下條件之一滿足時，連續(xù)試證在以下條件之一滿足時， ( , )f x yD在在上上處處連續(xù)：處處連續(xù)： (i) 對其中一個變量對其中一個變量 (例如例如 y) 滿足李普希茨條件滿足李普希茨條件, 即即 0,L 12( ,),( ,),x y

32、x yD 恒有恒有使得對任何使得對任何 1212( ,)( ,);f x yf x yL yy (ii) 對其中一個變量對其中一個變量 (x) 的連續(xù)關于另一個變量的連續(xù)關于另一個變量 (y) 是一致的是一致的, 即即 00,0,0(,xx 只只與與有有關關0),|,( , ),yxxx yD 而而與與無無關關當當且且時時 對對一一切切0( , )(, ).yf x yf xy 恒恒有有(iii) 參見本節(jié)習題第參見本節(jié)習題第 9 題題 (這里不作證明這里不作證明). 證證(i)0000(,).( ,),xyDf x yx 因因在在連連續(xù)續(xù) 故故任任給給1010,|,xx 當當時時 有有0,

33、000( ,)(,)2;f x yf xy 又當又當 02|2,yyL 時時 滿滿足足00( , )( ,)|2.f x yf x yL yy 12min, 令令則則當當000( , )(,)( , )( ,)f x yf xyf x yf x y 000( ,)(,)22,f x yf xy ( , )x yD 且且00|,|xxyy,時 又有時 又有.D在上處處連續(xù)在上處處連續(xù)0000(,).(,),fxyxyf即即在在連連續(xù)續(xù) 由由的的任任意意性性 便便知知(ii)0000(,).(, ),0,xyDf xyy 因因在在連連續(xù)續(xù) 故故1010,|,yy 當當時時 有有000|(, )(,

34、)|2;f xyf xy 又由又由 f 對對 x 的連續(xù)關于的連續(xù)關于 y 是一致的是一致的, 故故 20, 使使02|,( , ),yyx yD 當當且且時時 有有0|( , )(, )|2.f x yf xy 1200min,|,|xxyy 令令則則當當( , ),x yD 且時 又有且時 又有000( , )(,)( , )(, )f x yf xyf x yf xy000(, )(,)22,f xyf xy 這就證得這就證得 .fD在在上上處處處處連連續(xù)續(xù) 連續(xù)函數(shù)的部分性質連續(xù)函數(shù)的部分性質 以及相應的有理運算的各個法那么以及相應的有理運算的各個法那么. 下面只證明二元下面只證明二元

35、假設二元函數(shù)在某一點連續(xù)假設二元函數(shù)在某一點連續(xù), 那么與一元函數(shù)一樣那么與一元函數(shù)一樣, 可以可以證明它在這一點近旁具有部分有界性、部分保號性證明它在這一點近旁具有部分有界性、部分保號性復合函數(shù)的連續(xù)性定理復合函數(shù)的連續(xù)性定理, 其余留給讀者自己去練習其余留給讀者自己去練習. 定理定理 7 (復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性) 設函數(shù)設函數(shù)( ,)ux y 和和 義義, 并在點并在點 Q0 連續(xù)連續(xù), 其中其中 000000(,),(,).uxyvxy 那么復合函數(shù)那么復合函數(shù) ( ,)( ,),( ,)g x yfx yx y 在點在點 P0 也也 連續(xù)連續(xù). 證證 由由 f 在點在點 Q

36、0 連續(xù)可知：連續(xù)可知：0,0, 使得當使得當 ( ,)vx y 在點在點 的某鄰域內有定義的某鄰域內有定義, 并在并在 000(,)P xy點點 連續(xù)連續(xù); f (u, v) 在點在點 000(,)Q u v0P的某鄰域內有定的某鄰域內有定00|( , )(,)|.f u vf uv 00|, |uuvv時時, 有有又由又由 、 在點在點 P0 連續(xù)可知連續(xù)可知: 對上述對上述 0,0, 使得當使得當00|,|xxyy時時, 有有000|( , )(,)|,uuu vuv 000|( , )(,)|.vvu vuv 0000|( ,)(,)|( , )(,)|.g x yg xyf u vf

37、 uv 00|,|xxyy 綜合起來綜合起來, 當當 時時, 便有便有所以所以 ( ( ,),( ,)fx yx y 在點在點 連續(xù)連續(xù). 000(,)P xy二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質二、有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的整體性質本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的整體性質. 這這 可以看作閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質的推廣可以看作閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質的推廣. 定理定理 8 ( 有界性定理與最大、小值定理有界性定理與最大、小值定理 ) 假設二元假設二元 函數(shù)函數(shù) f 在有界閉域在有界閉域2RD 上連續(xù)上連續(xù), 那么那么 f 在在 D上有上有界界, 且能獲得最大值與最小值且

38、能獲得最大值與最小值. |()|,1, 2,.(3)nf Pnn 證證 先證明先證明 f 在在 D 上有界上有界. 倘假設不然倘假設不然, 那么那么 +N ,n 存存 ,nPD 使得使得 在在 nPD nP于是得到一個有界點列于是得到一個有界點列 , 且能使且能使中有無中有無 窮多個不同的點窮多個不同的點. 由聚點定理的推論由聚點定理的推論,nP 存在收斂存在收斂 knP0limknkPP 0.PD 子列子列,設設. 因因 D 是閉域是閉域, 從而從而 又因又因 f 在在 D上連續(xù)上連續(xù), 當然在點當然在點 也連續(xù)也連續(xù), 于是有于是有0P0lim()().knkf Pf P 這與不等式這與不

39、等式 (3) 矛盾，所以矛盾，所以 f 是是 D上的有界函數(shù)上的有界函數(shù). 下面證明下面證明 f 在在 D 上能取到最大、小值上能取到最大、小值. 為此設為此設 inf(),sup().mf DMf DQD ()f QM 可證必有一點可證必有一點, 使使(同理可證存在同理可證存在 QD ()f Qm PD , 使使). 如假設不然如假設不然, 對任意對任意, 都都 有有()0Mf P . 考察考察 D 上的正值連續(xù)函數(shù)上的正值連續(xù)函數(shù) 1( ),( )F PMf P 由前面的證明曉得由前面的證明曉得, F 在在 D上有界上有界. 又因又因 f 不能在不能在 D 上到達上確界上到達上確界 M,

40、所以存在收斂點列所以存在收斂點列nPD , 使使 lim()nnf PM lim()nnF P . 于是有于是有, 這導致與這導致與 F 在在 D 上有界的結論相矛盾上有界的結論相矛盾, 從而證得從而證得 f 在在 D 上能取上能取 到最大值到最大值.定理定理 9 (一致連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理) 假設函數(shù)假設函數(shù) f 在有界閉域在有界閉域 2RD 0, 上連續(xù)上連續(xù), 那么那么 f 在在 D 上一致連續(xù)上一致連續(xù). 即即存存 0, ( ,)P Q 在只依賴于在只依賴于 的的 使得對一切滿足使得對一切滿足證證 本定理可參照第七章中證明一致連續(xù)性定理的本定理可參照第七章中證明一致連續(xù)性定理的 理

41、來證明理來證明. 這里我們采用后一種證法這里我們采用后一種證法. 方法方法, 運用有限覆蓋定理來證明運用有限覆蓋定理來證明, 也可以運用聚點定也可以運用聚點定 倘假設倘假設 f 在在 D 上連續(xù)而不一致連續(xù)上連續(xù)而不一致連續(xù), 那么存在某那么存在某00, 0, 1,1, 2,n n 對于任意小的對于任意小的例如例如 , 總有總有 ,P QD |()()|.f Pf Q 必有必有 的點的點nnPQD 、(,)1nnP Qn 相應的相應的 , 雖然雖然, 但是但是 0|()()|.nnf Pf Q 由于由于 D 為有界閉域為有界閉域, 因而存在收斂子列因而存在收斂子列,knnPP 0limknkP

42、PDnQknP并設并設 . 再在再在中取出與中取出與下下 標一樣的子列標一樣的子列,knQ 那么因那么因0(,)10,kknnkPQnk 有有0limlimkknnkkQPP . 最后最后, 由由f在在 P0 連續(xù)連續(xù), 得得 00lim |()()|()()|0.kknnkf Pf Qf Pf Q 0|()()|0kknnf Pf Q 這與這與相矛盾相矛盾, 所以所以 f 在在 D 上一致連續(xù)上一致連續(xù). 定理定理 10 (介值性定理介值性定理) 設函數(shù)設函數(shù)f在區(qū)域在區(qū)域2RD 上連續(xù)上連續(xù), 假設假設P1 , P2 為為 D 中任意兩點中任意兩點, 且且12()(),f Pf P 那么對

43、任何滿足不等式那么對任何滿足不等式12()()(4)f Pf P 證證 作輔助函作輔助函數(shù)數(shù)0PD 0().f P 的實數(shù)的實數(shù) , 必存在點必存在點, 使得使得 ( )( ),.F Pf PPD 易見易見 F 仍在仍在 D 上連續(xù)上連續(xù), 且由且由(4)式曉得式曉得1()0,F P 2()0.F P 0PD 0()0.F P 下面證明必存在下面證明必存在, 使使 1P2PDxyO圖圖 10 -18 由于由于 D 為區(qū)域為區(qū)域, 我們可以用有限段都在我們可以用有限段都在 D 中的折線中的折線 連結連結 P1 和和 P2 (如圖如圖 10-18). 假設有某一個連接點所對應的函數(shù)值為假設有某一個連接點所對應的函數(shù)值為 0, 那么定理得