一線三等角問題探究

1、一線三等角問題探究動點(diǎn)動中取靜板演：四邊形ABCD是矩形，三角板的直角頂點(diǎn)M在BC邊上運(yùn)動，直角邊分別與射線BA、射線CD交于E、F，在運(yùn)動過程中，哪些關(guān)系保持不變？證明：矩形ABCDB=C=90°2+3=90°EMF=90°2+1=90°1=3EBMMCF類比上述做法，用60°角和45°角分別在等邊三角形和等腰直角三角三角形的BC邊上運(yùn)動，得到哪些結(jié)論？并證明練習(xí)1 （2010沈陽）在等邊ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且ADE=60°，BD=3，CE=2，則ABC的邊長為（ ）A 9 B 12 C 15 D

2、 182 如圖所示，四邊形OABC是一張?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在X軸上，點(diǎn)C在Y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處，已知折痕CE=，且tanADE=(1)判斷OCD與ADE是否相似？請說明理由（2）求直線CE與X軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)3 （2010南通）如圖，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常數(shù))，BC=8,E為線段BC上的動點(diǎn)（不與BC重合）.連接DE，作EFDE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE=x,BF=y,(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（2）若m=8，求x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？答案：（1）如圖正方形ABCD的

3、邊長為4，點(diǎn)p是BC邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)p不與點(diǎn)B、C重合），連接AP,過點(diǎn)P作PQAP交DC于點(diǎn)Q，設(shè)BP的長為x，CQ的長為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍（2011南充）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，BCE沿BE折疊為BFE，點(diǎn)F落在AD上求證：ABFDFE若sinDFE= ，求tanEBC的值（東城一模）24. 等邊ABC邊長為6，P為BC邊上一點(diǎn)，MPN=60°，且PM、PN分別于邊AB、AC交于點(diǎn)E、F.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為BC的三等分點(diǎn)，且PEAB時(shí)，判斷EPF的形狀；（2）如圖2，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動，且保持PEAB，設(shè)BP=x，四邊形AEPF

4、面積的y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）如圖3，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動，且MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF=AE=2時(shí)，求PE的長.圖1 圖2 圖324. （本小題滿分7分）（1）EPF為等邊三角形. -1分（2）設(shè)BP=x，則CP6x. 由題意可 BEP的面積為.CFP的面積為.ABC的面積為.設(shè)四邊形AEPF的面積為y. =.自變量x的取值范圍為3x6. -4分（3）可證EBPPCF. .設(shè)BP=x，則 . 解得 . PE的長為4或. -7分（延慶一模ABDCE第25題圖1）25. 在中，點(diǎn)在所在的直線上運(yùn)動，作（按逆時(shí)針方向）（1）如圖1，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動，交于求證：；當(dāng)是

5、等腰三角形時(shí)，求的長（2）如圖2，若點(diǎn)在的延長線上運(yùn)動，的反向延長線與的延長線相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點(diǎn)的位置；若不存在，請簡要說明理由；CDBAECABDE第25題圖2第25題圖3如圖3，若點(diǎn)在的反向延長線上運(yùn)動，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點(diǎn)的位置；若不存在，請簡要說明理由25. 證明：在中，B=C=45°又 ADE=45°1分ADB+EBC=EBC+DEC=135°2分ADB=DEC 當(dāng)是等腰三角形時(shí),分以下三種情況討論 第一種情況：DE=AEDE=AEADE=DAE=45°3分 AED=90°

6、;, 此時(shí)，E為AC的中點(diǎn)，AE=AC=1.第二種情況：AD=AE（D與B重合）AE=2 第三種情況 ：AD=AE如果AD=DE，由于， ABDDCE,BD=CE,AB=DC,設(shè)BD=CE= 在中， BC=, DC=2 ,解得，=2 ， AE= 4 24分 綜上所述：AE的值是1，2，4 2(2)存在。5分當(dāng)D在BC的延長線上，且CD=CA時(shí)，是等腰三角形.證明：ADE=45°=ACB=DCE, ADC+EDC=EDC+DEC=135°, ADC=DEC,又CD=CA ， CAD=CDA , CAD=CED ,DA=DE,6分 是等腰三角形.不存在.因?yàn)?ACD=45

7、76;E , ADE=45°7分ADEE不可能是等腰三角形。 （朝陽一模）23如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AB=8，CA=CD，E、F分別是線段AD、AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），且FEC=ACB，設(shè)DE=x，CF=y. （1）求AC和AD的長； （2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式； （3）當(dāng)EFC為等腰三角形時(shí)，求x的值.23.解：（1）ADBC，B=90°， ACB=CAD. tanACB =tanCAD=. .AB=8， BC=6.則AC=10. 1分 過點(diǎn)C作CHAD于點(diǎn)H，CH=AB=8,則AH=6.CA=CD,AD=2AH=12.

8、 .2分（2）CA=CD, CAD=D.FEC=ACB，ACB=CAD，F(xiàn)EC=D.AEC=1+FEC=2+D，1=2.AEFDCE. 3分，即. .4分（3）若EFC為等腰三角形.當(dāng)EC=EF時(shí)，此時(shí)AEFDCE，AE=CD.由12-x=10，得x=2. .5分當(dāng)FC=FE時(shí)，有FCE=FEC=CAE，CE=AE=12-x. 在RtCHE中，由，解得. 6分當(dāng)CE=CF時(shí)，有CFE=CEF=CAE，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，故點(diǎn)E與點(diǎn)D也重合，不合題意，舍去. 7分綜上，當(dāng)EFC為等腰三角形時(shí)，x=2或. 例1. 已知：如圖，在正方形ABCD中,E為BC上任意一點(diǎn)（與B、C不重合）AEF=90&#

9、176;.觀察圖形：（1）ABE 與ECF 是否相似？并證明你的結(jié)論。（2）若E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AF,圖中有哪些相似三角形？ABCEDFBCEFDA （圖1）練習(xí)：CBPQAD1.矩形ABCD中，把AD沿DQ對折，使A與BC邊上的點(diǎn)P重合，若AD=10, AB= 8,求PQ的長。例2如圖,在梯形中，點(diǎn)分別在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且，設(shè)，求與的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？作業(yè)：1已知如圖，B是AC上一點(diǎn)，ADAB,ECBC,DBE=90°.求證：ABDCEB. 2.已知：等邊ABC中，D為BC上一點(diǎn)，B= C=EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4, EBC DAD求AF的長。F3如圖，梯形中，點(diǎn) 分別在線段上，且，若，求長4.已知在等腰三角形中，是的中點(diǎn)， 是上的動點(diǎn)（不與、重合），連結(jié)，過點(diǎn)作射線，使，射線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn).（1）求證：；（2）設(shè).用含的代數(shù)式表示；求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量