第38講推理與證明二ppt課件

1、1.了解直接證明的兩種根本方法了解直接證明的兩種根本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思索過程、特點(diǎn)合法的思索過程、特點(diǎn).2.了解間接證明的一種根本方法了解間接證明的一種根本方法反證法，了解反證法的思索過程、反證法，了解反證法的思索過程、特點(diǎn)特點(diǎn).1.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐漸分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐漸尋覓使結(jié)論成立的尋覓使結(jié)論成立的( )AA.充分條件充分條件 B.必要條件必要條件C.充要條件充要條件 D.等價(jià)條件等價(jià)條件 分析法是執(zhí)果索因，允許緣由能分析法是執(zhí)果索因，允許緣由能推出結(jié)論即可，并不一定需求充要條推出結(jié)論即可，并不一定需求充要條件

2、，故必需為充分條件件，故必需為充分條件.2.假設(shè)假設(shè)a,bR,且且ab，有以下四個(gè)式子，有以下四個(gè)式子a2+ab2b2; a5+b5a3b2+a2b3;a2+b22(a-b-1); + 2.其中一定成立的有其中一定成立的有( )ababDA.4個(gè)個(gè) B.3個(gè)個(gè) C.2個(gè)個(gè) D.1個(gè)個(gè) 由于由于a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)20,所以所以a2+b22a-2b-2,一定成立，一定成立，均可找到反例均可找到反例.3.用反證法證明命題用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于一個(gè)不大于60時(shí)，假設(shè)正確的選項(xiàng)是時(shí)，假設(shè)正確的選項(xiàng)是( )BA.假設(shè)三內(nèi)角都不

3、大于假設(shè)三內(nèi)角都不大于60B.假設(shè)三內(nèi)角都大于假設(shè)三內(nèi)角都大于60C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60D.假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60“至少有一個(gè)不大于的否認(rèn)為至少有一個(gè)不大于的否認(rèn)為“都大于都大于.4.設(shè)設(shè)a= ,b= - ,c= - ,那么那么a,b,c的大小的大小 關(guān)系是關(guān)系是 .27362acb 由于由于b= - = ,c= - = ,所以所以bc，故，故acb.也可用分析法也可用分析法.7347362462222 3625.假設(shè)假設(shè)a +b a +b ，那么，那么a、b應(yīng)應(yīng)滿足的條件是滿足的條件是 .a0,b0,且且ababba 由知，由知

4、，a -a +b -b 0,那么那么a( - )+b( - )0,即即( - )(a-b)0,故故a0，b0，且，且ab.abbaabbaab1.綜合法綜合法普通的，利用知條件和某些數(shù)學(xué)定義、普通的，利用知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推實(shí)際證，最定理、公理等，經(jīng)過一系列的推實(shí)際證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法法叫做綜合法.用用P表示知條件、已有的定義、定理、表示知條件、已有的定義、定理、公理等，公理等，Q表示所要證明的結(jié)論，那么綜合表示所要證明的結(jié)論，那么綜合法可用框圖表示為：法可用框圖表示為：PQ1 Q1Q2 Q

5、2Q3 QnQ2.分析法分析法普通的，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐漸尋求普通的，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐漸尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸納為斷定一個(gè)明顯成立的條件結(jié)論歸納為斷定一個(gè)明顯成立的條件(知條件、知條件、定理、定義、公理等定理、定義、公理等).這種證明的方法叫做分這種證明的方法叫做分析法析法.用用Q表示要證明的結(jié)論，那么分析法可用表示要證明的結(jié)論，那么分析法可用框圖表示為：框圖表示為：QP1 P1 P2P2 P3 得到一個(gè)明顯成立的條件得到一個(gè)明顯成立的條件3.反證法反證法(1)定義：普通的，假設(shè)原命題的結(jié)論定義：普通的，假設(shè)原命題的

6、結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此闡明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成因此闡明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法立，這樣的證明方法叫做反證法.(2)用反證法導(dǎo)出的矛盾主要有：用反證法導(dǎo)出的矛盾主要有：與假設(shè)矛盾；與假設(shè)矛盾；與數(shù)學(xué)公理、定理、定義、公式或與數(shù)學(xué)公理、定理、定義、公式或與已被證明了的結(jié)論矛盾；與已被證明了的結(jié)論矛盾；與公認(rèn)的簡單現(xiàn)實(shí)矛盾與公認(rèn)的簡單現(xiàn)實(shí)矛盾.4.運(yùn)用運(yùn)用在處理問題時(shí)，經(jīng)常把綜合法和分析在處理問題時(shí)，經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來運(yùn)用：根據(jù)條件的構(gòu)造特點(diǎn)法結(jié)合起來運(yùn)用：根據(jù)條件的構(gòu)造特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得

7、到中間結(jié)論去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)；根據(jù)結(jié)論的特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論論的特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng).假設(shè)由假設(shè)由P可以推出可以推出Q成立，就可以證明結(jié)成立，就可以證明結(jié)論成立論成立.在證明一個(gè)問題時(shí)，假設(shè)不容易在證明一個(gè)問題時(shí)，假設(shè)不容易從條件到結(jié)論證明時(shí)，可采取分析的方從條件到結(jié)論證明時(shí)，可采取分析的方法或者是間接證明的方法法或者是間接證明的方法反證法反證法.有有時(shí)證明一道題需多法并用時(shí)證明一道題需多法并用.例例1 知點(diǎn)知點(diǎn)P是直角三角形是直角三角形ABC所在平面外所在平面外的 一 點(diǎn) ，的 一 點(diǎn) ， O 是 斜 邊是 斜 邊 A B 的 中 點(diǎn) ， 并 且的 中 點(diǎn)

8、， 并 且PA=PB=PC，求證：，求證：PO平面平面ABC. 要證明要證明PO平面平面ABC，也就是，也就是要證明要證明PO垂直于平面垂直于平面ABC內(nèi)的兩條內(nèi)的兩條相交直線相交直線. 銜接銜接OC,OP，如下圖，如下圖，由于由于AB是是RtABC的斜邊，的斜邊，O是是AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以所以O(shè)A=OB=OC.又由于又由于PA=PB=PC，所以所以POA POB POC,所以所以POA=POB=POC.由于由于POA+POB=180,所以所以POA=POB=90,所以所以POC=90.即即POOA，POOC，所以，所以PO平面平面ABC. 綜合法證明立體幾何問題，以綜合法證明立體幾何問題

9、，以立體幾何的公理、定理、定義為根底，立體幾何的公理、定理、定義為根底，以遞推的性質(zhì)為根據(jù)進(jìn)展推實(shí)際證，以遞推的性質(zhì)為根據(jù)進(jìn)展推實(shí)際證，因此，關(guān)鍵是找到與要證結(jié)論相匹配因此，關(guān)鍵是找到與要證結(jié)論相匹配的公理、定理、斷定定理及其性質(zhì)的公理、定理、斷定定理及其性質(zhì).同同時(shí)綜合法必需保證前提是正確的，推時(shí)綜合法必需保證前提是正確的，推理方式符合邏輯，才干保證結(jié)論成立理方式符合邏輯，才干保證結(jié)論成立. 知知a0,b0，且，且a+b=1，試用分析，試用分析法證明不等式法證明不等式(a+ )(b+ ) .例例21a1b254 標(biāo)題條件要求運(yùn)用分析法證標(biāo)題條件要求運(yùn)用分析法證明不等式，只需求留意分析法證明明

10、不等式，只需求留意分析法證明問題的步驟即可問題的步驟即可. 要證要證(a+ )(b+ ) ,只需證只需證ab+ ,只需證只需證4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+40,只需證只需證4(ab)2-8ab-25ab+80,只需證只需證4(ab)2-33ab+80,即證即證ab8或或ab ,由由a+b=1,只需證只需證ab ,而由而由1=a+b2 ，所以，所以ab 顯然成立，顯然成立，所以原不等式所以原不等式(a+ )(b+ ) 成立成立.1a1b254254221abab14ab141a1b25414 分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐漸尋求使它成立的充分條件逐漸尋求

11、使它成立的充分條件(不一不一定是充要定是充要)，直到最后，把要證明的，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)到斷定一個(gè)明顯成立的條結(jié)論歸結(jié)到斷定一個(gè)明顯成立的條件為止，這種證法也是直接證法中件為止，這種證法也是直接證法中一種常用的方法，特別是當(dāng)從知條一種常用的方法，特別是當(dāng)從知條件推證要證的結(jié)論有困難時(shí)，往往件推證要證的結(jié)論有困難時(shí)，往往采用分析法采用分析法.例例3 知知a,b,cR,a+b+c0,ab+bc+ac0, abc0.利用反證法證明：利用反證法證明： .a0,b0,c0 假設(shè)假設(shè)a,b,c不同時(shí)為正數(shù)，無妨先思索不同時(shí)為正數(shù)，無妨先思索a不是正數(shù)，從而有不是正數(shù)，從而有a=0和和a0矛盾，矛

12、盾，故故a=0不能夠不能夠;假設(shè)假設(shè)a0,所以所以bc0,所以所以b+c-a0,所以所以ab+bc+ac=a(b+c)+bc0矛盾矛盾,所以所以a0成立成立.同理可知同理可知b0,c0成立成立.所以原命題得證所以原命題得證. 反證法證明問題的普通步驟是：反證法證明問題的普通步驟是：(1)反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，反設(shè)：假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立，也就是假設(shè)在知條件下，存在與要證也就是假設(shè)在知條件下，存在與要證明的結(jié)論相反的情形；明的結(jié)論相反的情形；(2)歸謬：由反歸謬：由反設(shè)出發(fā)，結(jié)合知條件，經(jīng)過正確的邏設(shè)出發(fā)，結(jié)合知條件，經(jīng)過正確的邏輯推理，推得矛盾；輯推理，推得矛盾；(3)存真：由所得

13、存真：由所得的矛盾斷言反設(shè)不真，從而一定原命的矛盾斷言反設(shè)不真，從而一定原命題的正確性題的正確性. 在在ABC中，三個(gè)內(nèi)角中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C的的對邊分別為對邊分別為a、b、c,假設(shè)假設(shè) + = ,試問：試問：A，B，C能能否成等差數(shù)列，假設(shè)不成等差數(shù)列，請否成等差數(shù)列，假設(shè)不成等差數(shù)列，請闡明理由；假設(shè)成等差數(shù)列，請給出證闡明理由；假設(shè)成等差數(shù)列，請給出證明明.1ab1bc1abc A，B，C成等差數(shù)列，下面用綜合法給出成等差數(shù)列，下面用綜合法給出證明證明.由于由于 + = ,所所 + =3,所以所以 + =1，所以所以c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，所以所以b2=a2+

14、c2-ac.在在ABC中中,由余弦定理由余弦定理,得得cosB= = = .由于由于0B180，所以，所以B=60，所以所以A+C=2B=120,所以所以A、B、C成等差數(shù)列成等差數(shù)列.1ab1bc1abcabcababcac1ab1bc2222acbac2acac121.綜合法的特點(diǎn)：從綜合法的特點(diǎn)：從“知看知看“可知可知，逐漸推向，逐漸推向“未知，其逐漸推理，未知，其逐漸推理，實(shí)踐上尋覓它的必要條件實(shí)踐上尋覓它的必要條件.2.分析法的特點(diǎn)：從分析法的特點(diǎn)：從“未知看未知看“需需知，逐漸靠攏知，逐漸靠攏“知，其逐漸推理，知，其逐漸推理，實(shí)踐上是尋覓它的充分條件實(shí)踐上是尋覓它的充分條件.3.反

15、證法的步驟：反證法的步驟：分清命題的條件和結(jié)論；分清命題的條件和結(jié)論；作出命題結(jié)論不成立的假設(shè)；作出命題結(jié)論不成立的假設(shè)；由假設(shè)出發(fā)，運(yùn)用正確的推理方法，由假設(shè)出發(fā)，運(yùn)用正確的推理方法，推理出矛盾的結(jié)果；推理出矛盾的結(jié)果；否認(rèn)假設(shè)，從而間接的證明結(jié)論否認(rèn)假設(shè)，從而間接的證明結(jié)論.學(xué)例1 (2021四川卷四川卷)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和為為Sn，對恣意的正整數(shù)，對恣意的正整數(shù)n，都有，都有an=5Sn+1成立，記成立，記bn= (nN*). (1)求數(shù)列求數(shù)列an與數(shù)列與數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；41nnaa(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列bn的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Rn.能否存能否存在正整數(shù)在

16、正整數(shù)k，使得，使得Rk4k成立？假設(shè)存在，成立？假設(shè)存在，找出一個(gè)正整數(shù)找出一個(gè)正整數(shù)k;假設(shè)不存在假設(shè)不存在;請闡明理請闡明理由由;(3)記記cn=b2n-b2n-1(nN*)，設(shè)數(shù)列，設(shè)數(shù)列cn的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Tn，求證：對恣意正整，求證：對恣意正整數(shù)數(shù)n，都有，都有Tn . 23 (1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)，a1=5a1+1,所以所以a1=- .又由于又由于an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1， 所以所以an+1-an=5an+1，即，即an+1=- an.所以所以數(shù)列數(shù)列an是等比數(shù)列，其首項(xiàng)是等比數(shù)列，其首項(xiàng)a1=- ,公比公比q=- .所以所以an=(- )n(nN*).

17、 所以所以bn= (nN*).141414141414()411 ()4nn (2)不存在正整數(shù)不存在正整數(shù)k，使得，使得Rk4k成立成立.下證：對下證：對恣意的正整數(shù)恣意的正整數(shù)n，都有，都有Rn4n成立成立.由由(1)知知bn=4+ .由于由于b2k-1+b2k=8+ + =8+ - =8- 8，所以，當(dāng)所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m(mN*)，那么，那么Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2m-1+b2m)8m=4n;當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1(mN*),那那么么Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1 8(m-1)+4=8m-4=4n.所以對一切的正整數(shù)所以對一切的正整數(shù)n，都有都有Rn4n.所以不存在正整數(shù)所以不存在正整數(shù)k，使得，使得Rk4k成立成立.5( 4)1n215( 4)1k25( 4)1k5161k20164k15 1640(161)(164