拓撲學復習題與參考答案

1、點集拓撲學練習題一、單項選擇題（每題2分）1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓撲. 2、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓撲. 3、已知,下列集族中，（ ）是上的拓撲. 4、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓撲. 5、已知,下列集族中，（ ）是上的拓撲. 6、設(shè)，下列集族中,（ ）是上的拓撲. 7、已知，拓撲,則=（ ） 8、 已知，拓撲,則=（ ） 9、 已知，拓撲,則=（ ） 10、已知，拓撲,則=（ ） 11、已知，拓撲,則=（ ） 12、已知，拓撲,則=（ ） 13、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 1 2 3 4 14、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 1 2

2、 3 4 15、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 0 1 2 3 16、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的子集的個數(shù)為（ ） 0 1 2 3 17、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的子集的個數(shù)為（ ） 1 2 3 4 18、設(shè)，拓撲,則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ） 1 2 3 4 19、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集的內(nèi)部是（ ） Q R -Q R 20、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集的邊界是（ ） Q R -Q R 21、在實數(shù)空間中，整數(shù)集的內(nèi)部是（ ） R-Z R 22、在實數(shù)空間中，整數(shù)集的邊界是（ ） R-Z R 23、在實數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 24、在實數(shù)空間中，區(qū)間的邊界是（ ） 2

3、5、在實數(shù)空間中，區(qū)間的內(nèi)部是（ ） 26、設(shè)是一個拓撲空間，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中錯誤的是（ ） 27、設(shè)是一個拓撲空間，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中正確的是（ ） 28、設(shè)是一個拓撲空間，A,B 是的子集,則下列關(guān)系中正確的是（ ） 29、已知是一個離散拓撲空間，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ） 30、已知是一個平庸拓撲空間，A是的子集,則下列結(jié)論中不正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若, 則 31、已知是一個平庸拓撲空間，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ） 若,則 若,則 若A=,則 若,則32、設(shè)，令,則由產(chǎn)生的上的拓撲是（ ） ,c,d,c,d,a,b,

4、c ,c,d,c,d ,c,a,b,c ,d,b,c,b,d,b,c,d33、設(shè)是至少含有兩個元素的集合，, 是的拓撲，則（ ）是的基. 34、 設(shè),則下列的拓撲中（ ）以為子基. , ,a,a,c , ,a , ,a,b,a,b , 35、離散空間的任一子集為( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉36、平庸空間的任一非空真子集為( ) 開集 閉集 即開又閉 非開非閉37、實數(shù)空間中的任一單點集是 ( ) 開集 閉集 既開又閉 非開非閉38、實數(shù)空間R的子集A =1, ,則（ ） R A0 A39、在實數(shù)空間R中，下列集合是閉集的是（ ） 整數(shù)集 有理數(shù)集 無理數(shù)集40、在實數(shù)空間R中，下列集

5、合是開集的是（ ） 整數(shù)集Z 有理數(shù)集 無理數(shù)集 整數(shù)集Z的補集41、已知上的拓撲,則點1的鄰域個數(shù)是（） 1 2 3 442、已知,則上的所有可能的拓撲有（） 1個 2個 3個 4個43、已知=a,b,c,則上的含有個元素的拓撲有（）個 3 5 7 944、設(shè)為拓撲空間,則下列敘述正確的為 ( ) 當時, 當時,45、在實數(shù)下限拓撲空間中，區(qū)間是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉46、設(shè)是一個拓撲空間，,且滿足,則是（ ） 開集 閉集 既是開集又是閉集 非開非閉47、設(shè),是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 48、設(shè),是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 49、設(shè),是的拓撲，,則

6、的子空間的拓撲為( ) 50、設(shè),是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 51、設(shè),是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 52、設(shè),是的拓撲，,則的子空間的拓撲為( ) 53、設(shè)是實數(shù)空間，是整數(shù)集，則的子空間的拓撲為（ ） 54、設(shè)是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射55、設(shè)是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 56、設(shè)是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 57、設(shè)是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿

7、的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 58、設(shè)是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 59、設(shè)是拓撲空間的積空間.是到的投射，則是（ ） 單射 連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射 60、設(shè)和是兩個拓撲空間，是它們的積空間,，則有（ ） 61、有理數(shù)集是實數(shù)空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對62、整數(shù)集是實數(shù)空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對63、無理數(shù)集是實數(shù)空間的一個（ ） 不連通子集 連通子集 開集 以上都不對64、設(shè)Y為拓撲空間X的連通子集,Z為X的子集,若, 則Z為( )不連通子集 連通子

8、集 閉集 開集65、設(shè)是平庸空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是平庸空間 平庸空間 不連通空間66、設(shè)是離散空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是離散空間 平庸空間 連通空間67、設(shè)是連通空間，則積空間是（） 離散空間 不一定是連通空間 平庸空間 連通空間68、實數(shù)空間R中的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對69、實數(shù)空間R中的不少于兩點的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 以上都不對70、實數(shù)空間R中的連通子集E為( ) 開區(qū)間 閉區(qū)間 區(qū)間 區(qū)間或一點71、下列敘述中正確的個數(shù)為（ ） （）單位圓周是連通的； （）是連通的 （）是連通的 （）和同胚 1 2 3

9、 472、實數(shù)空間( ) 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對73、整數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對74、有理數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對75、無理數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對76、正整數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二

10、可數(shù)性公理 以上都不對77、負整數(shù)集作為實數(shù)空間的子空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對78、2維歐氏間空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對79、3維歐氏間空間（ ） 僅滿足第一可數(shù)性公理 僅滿足第二可數(shù)性公理 既滿足第一又滿足第二可數(shù)性公理 以上都不對80、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 平庸性 連通性 離散性 第一可數(shù)性公理81、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 第一可數(shù)性公理 連通性 第二可數(shù)性公理 平庸性82、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可

11、遺傳性的是（ ） 第一可數(shù)性公理 可分性 第二可數(shù)性公理 離散性83、下列拓撲學的性質(zhì)中，不具有可遺傳性的是（ ） 平庸性 可分性 離散性 第二可數(shù)性公理84、設(shè)是一個拓撲空間，若對于,均有,則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對85、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對86、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 道路連通空間87、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對88、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對89、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對90、設(shè)，則是( ) 空間 空間 空間 以上都不對91、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 以上都不對92、設(shè)是一個拓撲

12、空間，若的每一個單點集都是閉集，則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間93、設(shè)是一個拓撲空間，若的每一個有限子集都是閉集，則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間94、設(shè)是一個拓撲空間，若對及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得,則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間95、設(shè)是一個拓撲空間，若對的任何一個閉集及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得,則是（ ）正則空間 正規(guī)空間 空間 空間96、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 正規(guī)空間97、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 正規(guī)空間98、設(shè)，則是( )空間 空間 空間 正則空間99、設(shè)，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間100、設(shè)

13、，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間101、設(shè)，則是( )空間 正則空間 空間 正規(guī)空間102、若拓撲空間的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓撲空間是一個（ ） 連通空間 道路連通空間 緊致空間 可分空間103、緊致空間中的每一個閉子集都是（ ） 連通子集 道路連通子集 緊致子集 以上都不對104、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是（ ） 連通子集 開集 閉集 以上都不對105、緊致的Hausdorff空間中的緊致子集是（ ） 連通子集 開集 閉集 以上都不對106、拓撲空間的任何一個有限子集都是（ ） 連通子集 緊致子集 非緊致子集 開集107、實數(shù)空間的子集是（ ） 連

14、通子集 緊致子集 開集 非緊致子集108、實數(shù)空間的子集是（ ） 連通子集 緊致子集 開集 非緊致子集109、如果拓撲空間的每個緊致子集都是閉集，則是（ ） 空間 緊致空間 可數(shù)補空間 非緊致空間二、填空題（每題2分）1、設(shè),則的平庸拓撲為 ;2、設(shè),則的離散拓撲為 ;3、同胚的拓撲空間所共有的性質(zhì)叫 ;4、在實數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導集是_.5、當且僅當對于的每一鄰域有 ;6、設(shè)是有限補空間中的一個無限子集，則= ;7、設(shè)是有限補空間中的一個無限子集，則= ;8、設(shè)是可數(shù)補空間中的一個不可數(shù)子集，則= ;9、設(shè)是可數(shù)補空間中的一個不可數(shù)子集，則= ;10、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;

15、11、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;12、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;13、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;14、設(shè),則的平庸拓撲為 ;15、設(shè),則的離散拓撲為 ;16、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;17、設(shè),的拓撲,則的子集 的內(nèi)部為 ;18、是拓撲空間到的一個映射，若它是一個單射，并且是從到它的象集的一個同胚，則稱映射是一個 .19、是拓撲空間到的一個映射，如果它是一個滿射，并且的拓撲是對于映射而言的商拓撲，則稱是一個 .20、設(shè)是兩個拓撲空間，是一個映射，若中任何一個開集的象集是中的一個開集，則稱映射是一個;21、設(shè)是兩個拓撲空間，是一個映射，若中任何一個閉集的象集是中的

16、一個閉集，則稱映射是一個;22、若拓撲空間存在兩個非空的閉子集,使得,則是一個 ；23、若拓撲空間存在兩個非空的開子集,使得,則是一個 ；24、若拓撲空間存在著一個既開又閉的非空真子集，則是一個 ；25、設(shè)是拓撲空間的一個連通子集，滿足，則也是的一個 ; 26、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是一個 ；27、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它的任何一個商空間所具有，則稱這個性質(zhì)是一個 ；28、若任意個拓撲空間,都具有性質(zhì),則積空間也具有性質(zhì)，則性質(zhì)稱為 ; 29、設(shè)是一個拓撲空間，如果中有兩個非空的隔離子集,

17、使得,則稱是一個 ；30、若滿足第一可數(shù)性公理，則積空間滿足 ;31、若滿足第二可數(shù)性公理，則積空間也滿足 ;32、如果一個拓撲空間具有性質(zhì),那么它的任何一個子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;33、設(shè)是拓撲空間的一個子集，且,則稱是的一個 ；34、若拓撲空間有一個可數(shù)稠密子集，則稱是一個 ；35、設(shè)是一個拓撲空間，如果它的每一個開覆蓋都有一個可數(shù)子覆蓋，則稱是一個 ；36、如果一個拓撲空間具有性質(zhì),那么它的任何一個開子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;37、如果一個拓撲空間具有性質(zhì),那么它的任何一個閉子空間也具有性質(zhì),則稱性質(zhì)為 ;38、設(shè)是一個拓撲空間，如果 則稱是一個空間;39、設(shè)是一個拓撲空間

18、，如果 則稱是一個空間;40、設(shè)是一個拓撲空間，如果 則稱是一個空間; 41、正則的空間稱為 ；42、正規(guī)的空間稱為 ；43、完全正則的空間稱為 ；44、設(shè)是一個拓撲空間.如果的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱拓撲空間是一個 . 45、設(shè)是一個拓撲空間，是的一個子集.如果作為的子空間是一個緊致空間，則稱是拓撲空間的一個 .46、設(shè)是一個拓撲空間. 如果的每一個可數(shù)開覆蓋都有有限子覆蓋，則稱拓撲空間是一個 .47、設(shè)是一個拓撲空間. 如果的每一個無限子集都有凝聚點，則稱拓撲空間是一個 .48、設(shè)是一個拓撲空間. 如果中的每一個序列都有一個收斂的子序列，則稱拓撲空間是一個 . 三判斷（每題3分

19、，判斷1分，理由2分）1、從離散空間到拓撲空間的任何映射都是連續(xù)映射( ) 2、設(shè)是集合的兩個拓撲，則不一定是集合的拓撲( )3、從拓撲空間到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射（ ）4、設(shè)為離散拓撲空間的任意子集，則 （ ）5、設(shè)為平庸空間（多于一點）的一個單點集，則 （ ）6、設(shè)為平庸空間的任何一個多于兩點的子集，則 （ ）7、設(shè)是一個不連通空間，則中存在兩個非空的閉子集,使得（ ）8、若拓撲空間中存在一個既開又閉的非空真子集，則是一個不連通空間( )9、設(shè)拓撲空間滿足第二可數(shù)性公理，則滿足第一可數(shù)性公理（ ）10、若拓撲空間滿足第二可數(shù)性公理，則的子空間也滿足第二可數(shù)性公理（ ）11、若拓撲空

20、間滿足第一可數(shù)性公理，則的子空間也滿足第一可數(shù)性公理（ ）12、設(shè)，則是空間.( )13、設(shè)，則是空間.( )14、設(shè)，則是空間.( )15、設(shè)，則是空間.( )16、空間一定是空間.（ ）17、空間一定是空間.（ ）18、設(shè)是拓撲空間的兩個緊致子集，則是一個緊致子集.( )19、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集.( )四名詞解釋(每題2分)1同胚映射 2、集合的內(nèi)點3、集合的內(nèi)部 4拓撲空間的基5閉包 6、序列7、導集 8、不連通空間 9、連通子集10、不連通子集11、空間12、空間13、可分空間14、空間：15、空間：16、空間：17、正則空間：18、正規(guī)空間：19、完全正

21、則空間：20、緊致空間21、緊致子集22、可數(shù)緊致空間23、列緊空間24、序列緊致空間五簡答題（每題4分）1、設(shè)是一個拓撲空間，是的子集，且.試說明.2、設(shè)都是拓撲空間., 都是連續(xù)映射，試說明也是連續(xù)映射.3、設(shè)是一個拓撲空間，.試說明：若是一個閉集，則的補集是一個開集.4、設(shè)是一個拓撲空間，.試說明：若的補集是一個開集，則是一個閉集.5、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓撲T.6、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .7、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,

22、試寫出的商拓撲T.8、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系：或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓撲T.9、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .10、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .11、在實數(shù)空間R中給定如下等價關(guān)系:或者或者設(shè)在這個等價關(guān)系下得到的商集,試寫出的商拓撲T .12、離散空間是否為空間?說出你的理由.13、試說明實數(shù)空間是可分空間.14、試說明每一個度量空間都滿足第一可數(shù)性公理.15、設(shè)是一個空間，試說明的每一個單點集是閉集.16、設(shè)是一個拓撲空間，若的每一個單

23、點集都是閉集，試說明是一個空間.17、設(shè)是一個空間，是任何一個不屬于的元素.令和，試說明拓撲空間是一個空間. 18、若是一個正則空間，試說明：對及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得.19、若是一個正規(guī)空間，試說明：對的任何一個閉集及的每一個開鄰域，都存在的一個開鄰域,使得.20、試說明空間的任何一個子集的導集都是閉集.21、試說明緊致空間的無窮子集必有凝聚點.22、如果是緊致空間，則是緊致空間.23、如果是緊致空間，則是緊致空間.24、試說明緊致空間的每一個閉子集都是緊致子集.六、證明題（每題8分）1、設(shè)是從連通空間到拓撲空間的一個連續(xù)映射.則是的一個連通子集.2、設(shè)是拓撲空間的一個連通

24、子集, 證明: 如果和是的兩個無交的開集使得,則或者,或者. 3、設(shè)是拓撲空間的一個連通子集, 證明: 如果和是的兩個無交的閉集使得,則或者,或者. 4、設(shè)是拓撲空間的一個連通子集，滿足，則也是的一個連通子集.5、設(shè)是拓撲空間的連通子集構(gòu)成的一個子集族.如果,則是的一個連通子集.6、設(shè)是拓撲空間的一個連通子集，是的一個既開又閉的集合.證明：如果,則.7、設(shè)A是連通空間X的非空真子集. 證明:A的邊界.8、設(shè)X是一個含有不可數(shù)多個點的可數(shù)補空間.證明X不滿足第一可數(shù)性公理. 9、設(shè)X是一個含有不可數(shù)多個點的有限補空間.證明:X不滿足第一可數(shù)性公理. 10、設(shè)是兩個拓撲空間，是一個滿的連續(xù)開映射.滿足第二可數(shù)性公理，證明：也滿足第二可數(shù)性公理.11、設(shè)是兩個拓撲空間，是一個滿的連續(xù)開映射.滿足第一可數(shù)性公理，證明：也滿足第一可數(shù)性公理.12、是滿足第二可數(shù)性公理空間X的一個不可數(shù)集。求證：A至少有一個凝聚點.13、證明滿足第二可數(shù)性公理的空間中每一個由兩兩無交的開集構(gòu)成的集族都是可數(shù)族.14、設(shè)是一個空間,證明：的每一個鄰域中都含有中的無限多個點.15、設(shè)是一個空間,證明：對的每一個鄰域有是無限集.16、設(shè)是空間的一個收斂序列,證明：的極限點唯一.17