導(dǎo)熱微分方程在柱、球坐標(biāo)系下的變換

1、導(dǎo)熱微分方程在柱、球坐標(biāo)系下的變換Partial differential equation of heat conductions convertion inSplieiical coordinates and Cylindiical coordinates摘要：在傅里葉定律的基礎(chǔ)上，借助熱力學(xué)第一定律，即能量守恒與轉(zhuǎn)化定律，我們己經(jīng)得 到了導(dǎo)熱微分方程式在直角坐標(biāo)系卜的形式，在此，通過坐標(biāo)變換，口J得到導(dǎo)熱微分方程式 在球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系下的具體形式。Abstract Based on the Fourier law of heat conduction and tlie first la

2、w oF thermodynamics,that is the law of conseivation and and transfoimation of energy,we have got the foixn of the Partial differential equation of heat conduction in the Cartesian coordinates here, through the coordinate transfonnatione can get Partial differential equation of heat conductions conve

3、ition in Spherical coordinates and Cylindrical coordinates關(guān)犍詞：導(dǎo)熱微分方程；坐標(biāo)變換；推導(dǎo)過程Keywords: Partial differential equation of heat conduction, coordinate transformation, derivation0引言傳熱學(xué)中研究導(dǎo)熱問題，當(dāng)所分析的對象為軸對稱（圓柱、圓筒或圓球）時， 采用圓柱坐標(biāo)系, e）更為方便。不僅省去了直角坐標(biāo)系下繁雜的計算而 且公式簡單容易計算。在此運用工科數(shù)學(xué)分析屮的方法對此進(jìn)行推導(dǎo)及應(yīng)用。1柱坐標(biāo)系中的推導(dǎo)假定所研究的物體是齊

4、向同性的連續(xù)介質(zhì)，其導(dǎo)熱系數(shù)入、比熱容C和密度P均為己知, 并假設(shè)物體內(nèi)具有內(nèi)熱源，其強(qiáng)度為qv（w/m3）.基于上述各項假設(shè)，在柱坐標(biāo)系中，從進(jìn)行 導(dǎo)熱過程的物體中分割出一個微元體。如圖1 .根據(jù)能鼠守恒與轉(zhuǎn)化定律，對微元體進(jìn)行熱 平衡分析：導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量(I) +微元體內(nèi)熱源的發(fā)熱量(II)=微元體中熱力學(xué)能 的增加(III)(1)下面分別計算式中I、|【、III三項：在dT時間內(nèi),沿r軸方向,經(jīng)r表面導(dǎo)入的熱量(1松=qr rdz= - drddzdxz三個方向?qū)牒蛯?dǎo)出微元體的凈熱量相加得到I =(理ill + 字 + 羋 r) drdc|)dzdT()dr % dz z 由

5、傅里葉定律可知，在柱坐標(biāo)系中，熱流密度矢量沿“ e和z軸的分量應(yīng)為將上述關(guān)系代入式中，可以得到【二善(入t半)+搞為+ t？(入辛)dni(|)dzdT在dT時間內(nèi)，微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱最為II =qvrdrd(|)dzdT在dT時間內(nèi)，微元體中熱力學(xué)能的增量為IH=p c學(xué) rdedzdrdT對于固體和不可壓縮的流體比定壓熱容中等于比定容熱容q。即中二q = c將 分別代入式（1）中，消去等號兩邊的drd0 dzdT ,可得dX Id dX 1 d dt d dXpc坯喬喬）+&而（入認(rèn)+宛?；ǎ?qv2球坐標(biāo)系中的推導(dǎo)在球坐標(biāo)系中，從進(jìn)行導(dǎo)熱過程的物體中分割出-個微元體。如圖2。在dT時間

6、內(nèi)沿r軸方向.經(jīng)I表面導(dǎo)入的熱最為d（pr = qr r2 sinOdGdP dT 經(jīng)r+dr表面導(dǎo)出的熱量為（1（林+血=qr+drFsinede d4 dT 丁足，在dT時間內(nèi)，沿r方向?qū)牒蛯?dǎo)出微元體的凈熱屋d）r（Qr -f2）d（j）r d（|）r+dr = -dr =sin 0 drdQ d dTorar同理，在此時間內(nèi)，沿e方向和e方向，導(dǎo)入和導(dǎo)出微元體的凈熱量分別為gd（qQ sill 6）di0 - dP0+d0 =dO =rdrd（J）d6dTd% -dep+dp = -rdrd（|）d0dT將r、e、8三個方向?qū)牒蛯?dǎo)出微元體的凈熱量相加得到I = -0 + a（qe 6

7、）r + rdrd（t）dedT由傅里葉定律町知，在球坐標(biāo)系中，熱流密度矢量沿“ e. e軸的分量應(yīng)為1 atr sin 0 3|將上述關(guān)系代入式中.町以得到【=僅（入噲）sine +魯（入sine籍）+命爲(wèi)（疇）訛機(jī)叭（5）在dT時間內(nèi)，微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量為II =qvr2 sin 0 drd（|）d0dT（6）在dT時間內(nèi)，微元體中熱力學(xué)能的增量為III = p cr2 sinOdrd（j）dOdT對于固體和不町壓縮流體，比定壓熱容：等于比定容熱容q。即彳二$ = 6將（5） （6） （7）分別代入式中,消去等號兩邊的drd0 d0 dT，可得dt id dt1 d dt 1 ddt卩

8、伝=巨笳韻+嚴(yán)（sin8）2而（入詡+石麗麗血胡從卞面的例題即可看出在個別情況卜，采用柱（球）坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程解決問題的簡便之處，也說明了匕述推導(dǎo)的必要性。3實例運用【例】一個半徑為R長度為1的導(dǎo)線，其導(dǎo)熱系數(shù)入為常數(shù)。導(dǎo)線的電阻率為p (Q m2/m).導(dǎo)線通過電流I (A)而均勻發(fā)熱。已知空氣的溫度為tf,導(dǎo)線與空氣之間 的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h,試寫出這一穩(wěn)態(tài)過程的完整數(shù)學(xué)描述。解：導(dǎo)線的長度1比直徑2R大很多，導(dǎo)線與空氣之間的對流換熱可以認(rèn)為是軸對稱 的，于是這一問題的導(dǎo)熱微分方程是一維穩(wěn)態(tài)的，而且采用柱坐標(biāo)系更為方便合適，即得按題意，內(nèi)熱源的強(qiáng)度qv =:醤=(JR2)2對于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，沒右初始條件。在導(dǎo)線外側(cè)給定的是第三類邊界條件,另一個邊界條件町以根據(jù)題目所示的物理現(xiàn)象決定，即根據(jù)軸對稱，導(dǎo)線中心軸線上溫度梯 度為零，于是可以寫出|r=o = o結(jié)語：在分