導(dǎo)數(shù)公式大全1ppt課件

1、導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的基本公式與運(yùn)算法則基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(x ) = x -1 .(ax) = ax lna . (ex) = ex.0 (cc為任意常數(shù)).ln1)(logaxxa .1)(lnxx (sin x) = cos x.(cos x) = - sin x.(tan x) = sec2x .(cot x) = - csc2x .(sec x) = sec x tan x .(csc x) = - csc x cot x .,11)(arcsin2xx 另外還有反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：另外還有反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：,11)(arccos2xx ,11

2、)(arctan2xx .11)cotarc(2xx 定理定理2. 12. 1設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u(x) u(x)、v(x) v(x) 在在 x x 處處可導(dǎo)，可導(dǎo)，)0)()()( xuxuxv在在 x 處也可導(dǎo)，處也可導(dǎo)，(u(x) v(x) = u(x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x);.)()()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算且且則它們的和、差、積與商則它們的和、差、積與商推論推論 1 1(cu(x)(cu(x) = cu = cu(x) (c (x) (c 為常數(shù)為常數(shù)).).推論推論 2 2.)

3、()()(12xuxuxu ()uvwu vwuv wuvw乘法法則的推廣：乘法法則的推廣：補(bǔ)充例題：補(bǔ)充例題： 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解 根 據(jù) 推 論解 根 據(jù) 推 論 1 1 可 得可 得 ( 3 x 4 ) ( 3 x 4 ) = = 3(x4)3(x4)，(5cos x) = 5(cos x)，(cos x) = - sin x，(ex) = ex， (1) = 0，故故f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) = (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1)= 12x3 - ex - 5sin x .f (0) = (12x3 -

4、ex - 5sin x)|x=0 = - 1又又(x4) = 4x3，例例 1設(shè)設(shè) f (x) = 3x4 ex + 5cos x - 1，求，求 f (x) 及及 f (0).例例 2 2設(shè)設(shè) y = xlnx y = xlnx ， 求求 y .解根據(jù)乘法公式，有解根據(jù)乘法公式，有y = (xlnx) = x (lnx) + (x)lnxxxxln11 .ln1x 解根據(jù)除法公式，有解根據(jù)除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11 xxxxxxxy例例 3 3設(shè)設(shè),112 xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1( xxxxx.)1(12)1()1(2)1(

5、222222 xxxxxxx教材教材P32 P32 例例2 2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：3(1)cosyxx2(2)xyx e2(3)1xyx32(4)23 sinyxxxe解：解：332(1)(cos )() (cos )3sinyxxxxxx2222(2)()()()2(2)xxxxxxyx exex exex exxe22222(1)(1)(3)()1(1)xxxxxyxx2221( 2 )(1)xxxx222)1 (1xx 32(4)(2) (3 sin ) ()yxxxe0)sin( 3)(23xxx)cos(sin362xxxx 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)如果可以對函數(shù)如果可以對

6、函數(shù) f(x) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) f (x) 再求導(dǎo)，再求導(dǎo)，所得到的一個新函數(shù)，所得到的一個新函數(shù)， 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f(x) 的二階導(dǎo)數(shù)，的二階導(dǎo)數(shù)，.dd22xy記作記作 f (x) 或或 y 或或如對二階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，則如對二階導(dǎo)數(shù)再求導(dǎo)，則稱三階導(dǎo)數(shù)，稱三階導(dǎo)數(shù)，.dd33xy記作記作 f (x) 或或 四階或四階以上導(dǎo)四階或四階以上導(dǎo)數(shù)記為數(shù)記為 y(4)，y(5)， ，y(n),dd44xy,ddnnxy或或 ， 而把而把 f (x) 稱為稱為 f (x) 的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).例例3 3 求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(1)cosyxx(2)arctanyx(

7、1)cos( sin )cossinyxxxxxxxxxxxxxycossin2)cos(sinsin21(2)1yx222)1 ()1 (xxy22)1 (2xx解：解：二階以上的導(dǎo)數(shù)可利用后面的數(shù)學(xué)軟件來計算二階以上的導(dǎo)數(shù)可利用后面的數(shù)學(xué)軟件來計算 2.2.4 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2.2 ( )( )( ( )( ) ( ) dydy dudxdu dxdyfuu xduu xxyf uuyf u xxx定理若函數(shù)在點 可導(dǎo)，函數(shù) 在點 處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)在點 可導(dǎo)，且或記作：推論設(shè)推論設(shè) y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) y =

8、 f ( (x) 也可導(dǎo)，也可導(dǎo)，.xvuxvuyy 以上法則說明：復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合以上法則說明：復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù). .23tan4.1(31) ; 2)sin(2); 3)lncos ;4);5)2xxyxyxyxyey例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：）32322222222(1)( ), ( )31,( )3( )( )3(31)(31)3(31)618 (31)yux u xxyuxuxu xxxxxxx解： 函數(shù)可以分解為(2)2 cos(2) (2) 1cos(2)2cos(

9、2)2xyxxxxxx把當(dāng)作中間變量，(3)cos1sin(cos )tancoscosxxyxxxx 把當(dāng)作中間變量，tantan2tan(4)tan()(tan )secxxxxyeexxe把當(dāng)作中間變量，(5)(2 )2 ln2 ()2 ln2xxxxyx 把當(dāng)作中間變量， 先將要求導(dǎo)的函數(shù)分解成基本初等函數(shù)先將要求導(dǎo)的函數(shù)分解成基本初等函數(shù),或或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商. 任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求出法則求出. 復(fù)合

10、函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)的復(fù)合結(jié)構(gòu).求導(dǎo)方法小結(jié)：求導(dǎo)方法小結(jié)：2 3221( 1) ; (2)cos3 (3)32 4 lgcos(32)xyxyyxxx 練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(課堂練習(xí))（）；（ ）222222222(1) 6 ( 1)(2) 3 ln3 sin323(3) 232cos(32)sin(32)(4) (32)4 tan(32)cos(32)cos(32)xxyxxyxyxxxxyxxxxx 解:例例5 5：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1） （2）（3） （4）2cosxy 232xxeyxylnlnln)1ln

11、(2xxy2.2.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)00( )yxF xyF xyyy x與 的關(guān)系由方程（ ， ） 確定，未解出因變量的方程（ ， ）= 所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)6( )1.ydyyy xyxedx 例 設(shè)函數(shù)由方程所確定，求(1) (),()(1) 1yyyyyyyyyxyxeyexeex eyxeyeeyxe解：上式兩邊對 求導(dǎo)，則有 即1;2.xyyy隱函數(shù)的求導(dǎo)步驟：（）方程兩邊對 求導(dǎo)，求導(dǎo)過程中把 視為中間變量，得到一個含有 的等式（ ）從所得等式中解出227( )cos().dyyy xyxyxdx例 設(shè)函數(shù)由方程所確定，求222222222222222222 sin() ()1

12、sin() (22)1 2 sin()2 sin()12 sin() 1 2 sin()1 2 sin()12 sin()xxyxyxyyxyxyyyxxyyxyyyxyyxxyxxyyyxy 解：方程兩邊分別對 求導(dǎo)，得2( )2.dyyy xxyyxdx練習(xí)：設(shè)函數(shù)由方程所確定，求2 () ()2 22(2 )222xxyyyx yy yxyyyyyxy解：兩邊分別對 求導(dǎo)，得 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的求法求 對自變量 (或 )的偏導(dǎo)數(shù)時,只須將另一自變量 (或 )看作常數(shù),直接利用一元函數(shù)求導(dǎo)公式和四則運(yùn)算法則進(jìn)行計算.),(yxfz xyyx例例1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)32

13、4( , )23,f x yxx yy求求( , ),xfx y( , ),yfx y(1,1),xf(1, 1),yf解：解： xyxyyxxyxfxx43)32(),(242332423122)32(),(yxyyxxyxfyy111413) 1 , 1 (2xf14) 1(1212) 1, 1 (32yf例例2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 求),ln()(2222yxyxzxzyz解：解：xxyxyxyxyxxz )ln()ln()(222222222222222212 ln()()()xxxyxyxyxy222 ln()2xxyx222 ln() 1xxy類似可得類似可得2222222)()ln

14、(2yxyyxyxyyz222 ln()1yxy 二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)函數(shù) z = f ( x , y ) 的兩個偏導(dǎo)數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)),(yxfxzx ),(yxfyzy 一般說來仍然是一般說來仍然是 x , y 的函數(shù)，的函數(shù)， 如果這兩個函數(shù)關(guān)于如果這兩個函數(shù)關(guān)于 x , y 的偏導(dǎo)數(shù)也存在，的偏導(dǎo)數(shù)也存在， 則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是 f (x , y)的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).依照對變量的不同求導(dǎo)次序，依照對變量的不同求導(dǎo)次序，二階偏導(dǎo)數(shù)有四二階偏導(dǎo)數(shù)有四個：（用符號表示如下）個：（用符號表示如下） xzxxzx22xz ),(yxfxx ;xxz xzyxzyyxz 2),(yxfxy ;xyz yzxyzxxyz 2),(yxfyx ;yxz yzyyzy22yz ),(yxfyy .yyz 其中其中 及及 稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù).),(yxfxy ),(yxfyx 類似的，可以定義三階、四階、類似的，可以定義三階、四階、 、n 階偏導(dǎo)數(shù)，階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，),(,),(yxfyyxfx而稱為函數(shù)稱為函數(shù) f ( x , y ) 的一階偏導(dǎo)數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù).注：當(dāng)兩個二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時，它們是相等的