高等數(shù)學(xué) 上、下冊2_3 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、上面我們已求出三角形函數(shù)上面我們已求出三角形函數(shù)sin ,cos ,tan ,cotxxxx及指數(shù)及指數(shù)函 數(shù)函 數(shù),exxa等 的 導(dǎo) 數(shù) ， 但 與 其 對 應(yīng) 的 反 函 數(shù)等 的 導(dǎo) 數(shù) ， 但 與 其 對 應(yīng) 的 反 函 數(shù)arcsin ,arccos ,arctan ,arccotxxxx及及l(fā)og,lnaxx等的導(dǎo)數(shù)還沒有等的導(dǎo)數(shù)還沒有合適方法求得合適方法求得.用下面介紹的反函數(shù)求導(dǎo)法則可逐一解決用下面介紹的反函數(shù)求導(dǎo)法則可逐一解決. 設(shè)設(shè)( )xx是直接函數(shù)是直接函數(shù),在區(qū)間在區(qū)間yI內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù),可導(dǎo)且在可導(dǎo)且在點(diǎn)點(diǎn)yyI處處,( )0y，則其反函數(shù)，則其反函數(shù)

2、( )yf x在對應(yīng)的區(qū)間在對應(yīng)的區(qū)間 |( ),xyIx xn yI內(nèi)也是單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo)的內(nèi)也是單調(diào)、連續(xù)、可導(dǎo)的 .且有且有1( )()( )xfxxIy. 簡而言之，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)簡而言之，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). 利用反函數(shù)求導(dǎo)法則可求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與指數(shù)利用反函數(shù)求導(dǎo)法則可求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式. 第三節(jié)第三節(jié) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 反函數(shù)求導(dǎo)法那么反函數(shù)求導(dǎo)法那么 假設(shè)假設(shè) 是直接函數(shù)，在區(qū)間是直接函數(shù)，在區(qū)間Iy內(nèi)單內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且調(diào)、

3、可導(dǎo)且 那么其反函數(shù)那么其反函數(shù)y =f (x)在對應(yīng)的區(qū)間在對應(yīng)的區(qū)間Ix內(nèi)也可導(dǎo)，且內(nèi)也可導(dǎo)，且即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的倒數(shù)即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的倒數(shù).)(yx( )0,y1( )( )fyy1,dydxdxdy或或解解 arcsin ( 11)yxx 是是sin ()22xyy內(nèi)內(nèi)的的反反函函數(shù)數(shù). 因因?yàn)闉閟inxy在在 (, )2 2nI 內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加、可可導(dǎo)導(dǎo)，且且(sin )cos0yy，所所以以arcsinyx在在( 1,1)內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，并并有有 11(arcsin )(sin )cosyxyy 在在 (, )2 2內(nèi)內(nèi)，22cos1 sin1yyx，于于是

4、是 21(arcsin )1xx ( 11)x . 例例 1 求求反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)arcsinyx的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). 類類似似地地，可可以以求求得得 21(arccos )1xx ( 11)x ; 21(arctan )1xx ; 21(arccot )1xx . 解解 log(0)ayxx 是是()yxay 的反的反函數(shù)，函數(shù)，而而yxa在在(,) 上單調(diào)增加、可導(dǎo)，且上單調(diào)增加、可導(dǎo)，且 ()ln0yyaaa 所以所以 logayx在在(0,)內(nèi)內(nèi)可導(dǎo)，并有可導(dǎo)，并有 11(log)()lnayyyxaaa 又知又知 yax，于是于是 1(log)lnaxxa . 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)ea

5、 時(shí)，時(shí)，1(ln ) xx . 例例 2 求求對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)log(0,1)ayx aa的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù). 根根據(jù)據(jù)課課程程要要求求法法則則不不予予證證明明，但但要要弄弄清清求求導(dǎo)導(dǎo)過過程程及及其其意意義義.本本法法則則如如同同一一根根鏈鏈條條yux，由由( )f u對對 u 求求導(dǎo)導(dǎo)及及( )x對對 x 的的求求導(dǎo)導(dǎo)乘乘積積組組成成. 至至此此，我我們們不不僅僅討討論論了了基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)和和一一些些簡簡單單函函數(shù)數(shù)的的 求求 導(dǎo)導(dǎo) 問問 題題 ， 實(shí)實(shí) 際際 中中 將將 要要 遇遇 到到 的的 復(fù)復(fù) 合合 函函 數(shù)數(shù) ， 諸諸 如如32e ,lntan ,sin(35)xxxx等等

6、，我我們們還還不不知知道道它它們們是是否否可可導(dǎo)導(dǎo)及及怎怎么么求求其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).下下面面給給出出的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則，可可以以解解決決這這些些問問題題，從從而而使使得得可可以以運(yùn)運(yùn)用用公公式式求求導(dǎo)導(dǎo)的的函函數(shù)數(shù)的的范范圍圍得得到到很很大大擴(kuò)擴(kuò)充充. 復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則 如如果果( )ux在在點(diǎn)點(diǎn) x 處處可可導(dǎo)導(dǎo)；( )yf u在在點(diǎn)點(diǎn)( )ux處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)( ( )yfx在在點(diǎn)點(diǎn) x 處處可可導(dǎo)導(dǎo)，且且其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為 d( )( )( ( )( )dyf uxfxxx 二、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例例 3 設(shè)設(shè)

7、3exy ，求求ddyx. 解解 3exy 可可以以視視為為3e ,uyux復(fù)復(fù)合合而而成成,所所以以 3322d(e ) ()e33eduuxyxxxx 即即eu對對 u 求求導(dǎo)導(dǎo)，3x對對 x 求求導(dǎo)導(dǎo)后后再再相相乘乘，并并將將 3ux代代回回，使使求求得得函函數(shù)數(shù)3exy 對對 x 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)323exx. 例例 4 設(shè)設(shè)lntanyx，求求ddyx. 解解 lntanyx可以視為可以視為ln ,tanyu ux復(fù)合而成，復(fù)合而成，所以所以 22d1(ln ) (tan )seccotsecdyuxxxxxu 12csc2sin cosxxx. 例例 5 設(shè)設(shè)2sin(35)yxx，求

8、求ddyx. 解解 2sin(35)yxx可以視為可以視為sin ,yu235uxx復(fù)合而成，所以復(fù)合而成，所以 2d(sin ) (35)cos(23)dyuxxuxx2(23)cos(35)xxx. 應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)時(shí)，關(guān)鍵是要能夠把所應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)時(shí)，關(guān)鍵是要能夠把所給函數(shù)分解為基本初等函數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、給函數(shù)分解為基本初等函數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商等，我們便可求其導(dǎo)數(shù)積、商等，我們便可求其導(dǎo)數(shù). 當(dāng)你比較熟悉鏈?zhǔn)椒▌t后，中間變量可以在求導(dǎo)過當(dāng)你比較熟悉鏈?zhǔn)椒▌t后，中間變量可以在求導(dǎo)過程中無需寫出，而直接寫出函數(shù)對中間變量的求導(dǎo)結(jié)程中無需寫出，而直接寫

9、出函數(shù)對中間變量的求導(dǎo)結(jié)果，重要的是每一步對哪個(gè)變量求導(dǎo)必須清楚果，重要的是每一步對哪個(gè)變量求導(dǎo)必須清楚. 例例 6 設(shè)設(shè)3213yx，求求ddyx. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形情形.例如：如果例如：如果( ),( ),( ),yf u uv vx那么復(fù)合函那么復(fù)合函數(shù)數(shù)( ( ( )yfx 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為 dddd( )( )( )ddddyyuvf uvxxuvx. 解解 1222233d1(1 3)(1 2)(1 3)d3yxxxx 22322312(1 3)( 6 )3(1 3)xxxx . 例例 7 設(shè)設(shè)1sinexy

10、求求ddyx. 解解 111sinsinsind111(e)e(sin)ecos( )dxxxyxxxx 1sin211ecosxxx （其中（其中1sinexy 可視為可視為u1e ,sin ,yuv vx由兩個(gè)中間由兩個(gè)中間變量復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)）變量復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)） 例例 8 設(shè)設(shè)cosln(3 ),yx求求ddyx. 解解 cosln(1 3 )sinln(1 3 )ln(1 3 )yxxx 13sinln(1 3 )sinln(1 3 )(1 3 )1 31 3xxxxx 本本題題也也是是由由兩兩個(gè)個(gè)中中間間變變量量復(fù)復(fù)合合而而成成的的復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù). 例例 9 設(shè)設(shè)sinco

11、s,nyxnx求求y. 解解 先利用函數(shù)積的求導(dǎo)法則，得先利用函數(shù)積的求導(dǎo)法則，得 (sin) cossin(cos)nnyxnxxnx 在計(jì)算在計(jì)算(sin)nx 與與(cos)nx 時(shí)，都要應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t，時(shí)，都要應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t，由此得由此得 1sincoscossin( sin)nnynxxnxxnxn =1sin(cos cossin sin)nnxnxxnx 1sincos(1)nnxnx. 例例 10 利利用用鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則試試證證：1()uuxux （其其中中0,xu是是實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)）. 解解 因因?yàn)闉閘ne,uuxx 由由鏈鏈?zhǔn)绞椒ǚ▌t則，得得 lnln11()(e)e( ln ) =uuxuxuuxuxxuuxx . 例例 9 設(shè)設(shè)sincos,nyxnx求求y. 解解 先利用函數(shù)積的求導(dǎo)法則，得先利用函數(shù)積的求導(dǎo)法則，得 (sin) cossin(cos)nnyxnxxnx 在計(jì)算在計(jì)算(sin)nx 與與(cos)nx 時(shí)，都要應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t，時(shí)，都要應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t，由此得由此得 1sincoscossin( sin)nnynxxnxxnxn =1sin(cos cossin sin)nnxnxxnx 1sincos(1)nnxnx. 例例10 利用鏈?zhǔn)椒敲丛囎C：利用鏈?zhǔn)椒敲丛囎C： 其中其中 1 xx )(0,x是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù).解解 由于