§1 二重積分的概念ppt課件

1、第二十一章第二十一章 重積分重積分 1 1 二重積分的概念二重積分的概念 2 2 直角坐標系下的二重積分的計算直角坐標系下的二重積分的計算 3 3 格林公式格林公式 曲線積分與路徑無關的條件曲線積分與路徑無關的條件 4 4 二重積分的變量變換換元積分法）二重積分的變量變換換元積分法） 5 5 三重積分的概念三重積分的概念 6 6 重積分的應用重積分的應用 1 1 二重積分的概念二重積分的概念一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積二、問題的提出二、問題的提出三、二重積分的定義三、二重積分的定義四、二重積分存在的條件四、二重積分存在的條件五、二重積分的性質(zhì)五、二重積分的性質(zhì)一、平面圖形的面積一、平面

2、圖形的面積為了研究定義在平面點集上二元函數(shù)的積分，為了研究定義在平面點集上二元函數(shù)的積分，Doxy設平面圖形設平面圖形D有界有界, i則存在一個矩形則存在一個矩形R,使得使得RD 為了考察為了考察D的面積，先用的面積，先用一組平行于坐標軸的直線一組平行于坐標軸的直線網(wǎng)網(wǎng)T分割分割D ，如圖，如圖T的網(wǎng)眼小矩形）的網(wǎng)眼小矩形）i可可以分為三類：以分為三類：(1) i上的點均是上的點均是D內(nèi)的點；內(nèi)的點；(2) i上的點均是上的點均是D的外點；的外點； Di 即即(3) i上的點含有上的點含有D的邊界點。的邊界點。首先討論平面有界圖形的面積。首先討論平面有界圖形的面積。Doxy(1)(1)(1)(

3、1)(3)(3)(3)(3)(2)(2)(2)將屬于直線網(wǎng)將屬于直線網(wǎng)T的第的第(1)類類小矩形的面積作和，記為小矩形的面積作和，記為)(TsD將屬于直線網(wǎng)將屬于直線網(wǎng)T的第的第(1)類類與第與第(3)類小矩形的面積作類小矩形的面積作和，記為和，記為)(TSD則有則有RDDTSTs )()(由確界原理可知：由確界原理可知：對于平面圖形對于平面圖形D的所有直線網(wǎng)的分割的所有直線網(wǎng)的分割T，.)( ,)(有有下下確確界界有有上上確確界界數(shù)數(shù)集集TSTsDD記為記為)(supTsIDTD )(infTSIDTD 于是有于是有DDII 0.,的的外外面面積積為為的的內(nèi)內(nèi)面面積積為為通通常常稱稱DIDI

4、DD(1)定義定義1 ,DDIID等等于于其其外外面面積積的的內(nèi)內(nèi)面面積積若若平平面面圖圖形形則稱則稱D為可求面積，并將為可求面積，并將.的的面面積積值值稱稱為為DIIIDDD 定理定理21.1.1, 0TD直直線線網(wǎng)網(wǎng)分分割割為為可可求求面面積積平平面面有有界界圖圖形形 )()(TsTSDD使得使得證明過程完全類似于定積分證明過程完全類似于定積分.推論推論00 DDIID面面積積平平面面有有界界圖圖形形定理定理21.1.2. 的的面面積積為為零零的的邊邊界界為為可可求求面面積積平平面面有有界界圖圖形形DDD 定理定理21.1.3.,)(,的的面面積積為為零零則則曲曲線線的的圖圖象象連連續(xù)續(xù)函

5、函數(shù)數(shù)上上的的是是定定義義在在若若曲曲線線KxfbaK定理定理21.1.4.,)()(其其面面積積一一定定為為零零按按段段光光滑滑曲曲線線所所表表示示的的光光滑滑曲曲線線或或由由參參數(shù)數(shù)方方程程 tytx 柱體體積柱體體積=底面積底面積高高特點：平頂特點：平頂柱體體積柱體體積=？特點：曲頂特點：曲頂),(yxfz D1. 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積二、問題的提出二、問題的提出曲頂柱體曲頂柱體曲頂柱體：曲頂柱體：),(yxfz D以曲面以曲面：z=f(x,y)為頂，為頂， 一般一般z=f(x,y)在在D上連續(xù)。上連續(xù)。以平面有界區(qū)域以平面有界區(qū)域D為底，為底，側面是柱面，側面是柱面， 該柱面以

6、該柱面以D為準線，為準線， 母線平行于母線平行于z軸。軸。還有其他類型的柱面。還有其他類型的柱面。步驟如下：步驟如下：用若干個小平用若干個小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoDi),(ii先分割曲頂柱體的底，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，),(yxfz 采用類似于求曲邊梯形面積方法采用類似于求曲邊梯形面積方法 ),(iiDi z =f (x, y)yxz(1) 分割分割) , ,2 , 1( :niDi 任任意意分分割割(2) 作近似作近似iii ),(任任取取) , 2 , 1( ),(nifViiii， (3) 求和

7、求和 niiii,fV1)( (4) 取極限取極限令令 直直徑徑ini 1max niiii,fV10)(lim i),(ii將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量近似等于薄片總質(zhì)量.),(1iinii xyo2、求平面薄片的質(zhì)、求平面薄片的質(zhì)量量0lim M 設有一平面薄片，占有設有一平面薄片，占有xoy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D，在點，在點(x,y)處的面密度為處的面密度為 (x,y) ，假定，假定 (x,y)在在D上連續(xù)，上連續(xù)，平面薄片的質(zhì)量為多少？平面薄片的質(zhì)

8、量為多少？ iiniiTf ),(lim10定義定義1 設設f (x, y)在有界閉域在有界閉域D上有界，若對于上有界，若對于D的任的任意分割和在意分割和在i上任意取上任意取 (i , i) ，作積、作和，作積、作和， niiiiT,f10)(lim 存在，則稱其為存在，則稱其為f (x, y)在在D上的二重積分，記為上的二重積分，記為三、二重積分的概念三、二重積分的概念 Ddyxf ),(分分劃劃細細度度若極限若極限. ,max的的直直徑徑為為的的細細度度記記分分割割iiiiddTT 簡單的說簡單的說定義定義2 設設f (x, y)是定義在可求面積的有界閉域是定義在可求面積的有界閉域D上的上

9、的函數(shù)函數(shù),J為一個常數(shù)為一個常數(shù),假設假設0,總總0,使得對于使得對于D的的任意分割任意分割T,當他的分割細度當他的分割細度|T|,屬于屬于T的所有積分的所有積分和均有和均有 Jfiinii),(1則稱函數(shù)則稱函數(shù)f (x, y)在在D上可積上可積,數(shù)數(shù)J稱為稱為f (x, y)在在D上的二上的二重積分重積分.iiniiTf ),(lim10 Ddyxf ),(分分劃劃細細度度當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積;當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值的負值.若位于若位于xoy面上方柱體的體積為正值；

10、面上方柱體的體積為正值；位于位于xoy面下方柱體的體積為負值，面下方柱體的體積為負值，二重積分的幾何意義是柱體的體積的代數(shù)和。二重積分的幾何意義是柱體的體積的代數(shù)和。曲頂柱體體積曲頂柱體體積 DyxfV d),( DyxfM d),(平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量對二重積分定義的說明：對二重積分定義的說明：(1) 二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分和介點選取二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分和介點選取是任意的。是任意的。(2) 二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義 DDdxdyyxfdyxf),(),( 在直角坐標系下用平行在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域域D，

11、dxdyd 故二重積分在直角坐標系中可故二重積分在直角坐標系中可寫為寫為xyo則面積元素為則面積元素為積分變量積分變量二重積分的具體形式二重積分的具體形式dxdy(3) 與定積分相似與定積分相似,若函數(shù)若函數(shù)f (x, y)在在D上可積上可積,可采用特殊可采用特殊的分割的分割,特殊的取點方式得一積分和的極限就為二重特殊的取點方式得一積分和的極限就為二重積分值積分值.四、二重積分可積的條件四、二重積分可積的條件什么樣的函數(shù)可積什么樣的函數(shù)可積? 類似于定積分類似于定積分.),(,),(上上有有界界在在則則上上可可積積在在有有界界可可求求閉閉區(qū)區(qū)域域設設函函數(shù)數(shù)DyxfDyxf1 必要條件必要條件

12、令令個個可可求求面面積積的的小小區(qū)區(qū)域域分分成成將將任任一一分分割割的的為為上上有有界界在在有有界界可可求求閉閉區(qū)區(qū)域域設設函函數(shù)數(shù),),(1nnDDTDyxf ), 1( ),(inf ),(sup),(),(niyxfmyxfMiiyxiyxi )(,)(11 niiiniiimTsMTS 屬于分割屬于分割T的上和的上和屬于分割屬于分割T的下和的下和定理定理21.2.52 可積的充分條件可積的充分條件上和、下和的性質(zhì)類似于定積分上和、下和的性質(zhì)類似于定積分于是有于是有2 可積的充要條件可積的充要條件定理定理21.1.6)(lim)(lim),(00TsTSDyxfTT 上可積上可積在在定理

13、定理21.1.7上可積上可積在在Dyxf),( )()(, 0TsTSTD使使得得的的一一個個分分割割定理定理21.1.8.),(上上可可積積在在上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域DyxfD定理定理21.1.9.),(,),(,),(上上可可積積在在則則曲曲線線上上條條光光滑滑的的不不連連續(xù)續(xù)點點都都落落在在有有限限若若函函數(shù)數(shù)上上的的有有界界是是定定義義在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域設設函函數(shù)數(shù)DyxfyxfDyxf證明見教材證明見教材P215-216P215-216性質(zhì)性質(zhì)3對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性質(zhì)性質(zhì)4 假設假設為

14、為D的面積的面積,.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì)5若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 則有則有性質(zhì)性質(zhì)1當當k為常數(shù)時，為常數(shù)時，.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì)2（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）五、二重積分的性質(zhì)五、二重積分的性質(zhì) DDdyxgdyxf ),(),( Ddyxgyxf ),(),(性質(zhì)性質(zhì)6性質(zhì)性質(zhì)7（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） DMdyxfm ),(（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）則則的的面面積積是是

15、上上的的最最大大值值、最最小小值值在在閉閉區(qū)區(qū)域域是是設設,),(,DDyxfmM 使使得得上上至至少少存存在在一一點點則則在在的的面面積積是是上上連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)域域設設函函數(shù)數(shù)),(,),( DDDyxf ),(),(fdyxfD解解 ab 例例1 不作計算，估計不作計算，估計 其其中中的的值值,)(22 deIDyx )0( , 12222abbyaxD 是是橢橢圓圓閉閉區(qū)區(qū)域域2220ayx 在在D上上,12220ayxeee ,222)(aDyxede 由性質(zhì)由性質(zhì)6知知.2aeab deDyx)(22區(qū)域區(qū)域D的面積的面積, ab估計估計 DxyyxdI16222 的值，的值，

16、其中其中 D： 20, 10 yx.區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解例例2 判斷判斷 122)ln(yxrdxdyyx的符號的符號.當當1 yxr時時, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又當又當 1 yx時時, 0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解例例3比比較較積積分分 Ddyx )ln(與與 Ddyx 2)ln(的的大大小小, 其其中中 D是是三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域, 三