三角恒等變換

1、第2課時簡單的三角恒等變形題型一三角函數(shù)式的化簡（1）化簡:4212cos x 2cos x+2已知 cos 0+ 4 =-y0°,氏 0, 2，則 sin 2 0 3=答案 |cos 2x 40'3解析原式=1244,2, cos x 4cos x+ 12 x4sin（2cos2x 1 Jcos 2xcos22x 12cos 2x= 2cos 2x.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像JyXi/ x應(yīng)丿.| |! 1 定義域RRn x|x R 且 xm 2 + k nk Z值域【&quo

2、t;I【1,11R單調(diào)性在【n+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠 r n c,3 n在 q+ 2k n +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2kn 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n 1 n在（一 + kn, _ +2 2kn（k Z）上是增加的（2）由題意可得,2COSe+n=1 + cos2 e+丄10，-%44cos 2 e+ 2 = sin 2 e=- 5, 即卩 sin 2 e= 5.因為 cos e+ ：=嚅>0, e 0, n ,所以 o< e<n，2e 0, n，3根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可得c

3、os 2 e= 5,n 4 3 "33=10由兩角差的正弦公式可得（"nn2 e 3 廠 sin 2 ecos 3 cos 2 Osin思維升華（1）三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則，一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特 征.（2）三角函數(shù)式化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、互余、互補等），尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Jy , j應(yīng)丿.| |! 1 定義域RRn xx R 且 xm 2 + k nk Z值域【"I【1,11R

4、單調(diào)性在【n+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠 r n c,3 n在 q+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在n+ 2kn 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n 1 n在（一 + kn, _ +2 2kn（k Z）上是增加的跟蹤訓(xùn)練1若a n,n，且 3cos 2 a= sinn a ,貝U sin 2 a的值為（）17C.低17D 池答案解析n(1)cos x+ cos(x 3)31 亞. =cos x+ cos x+ 2 sin x=|cos x+ -si n x=.?3cos(x =.3 x (-于)一 1.(n(2)co

5、s 2 a= sin 2 2=sin 2(1)已知 cos(x n)= ¥，貝U cos x+ cos(x n =633=2sin n a cos三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像ly、邁_JyXi/ x"丿.1fl1定義域RRn ,.x|x R 且 xm2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【才+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠r n小，3 n在紜+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n

6、+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠. n | n在(一 + kn, _ +2 2kn(k Z)上是增加的代入原式，得 sin 2 a= cosn- 2題型二三角函數(shù)的求值命題點i給值求值問題例2 (1)(2016合肥聯(lián)考)已知a，6為銳角，cos a=丄sin( a+ a = 3，貝y cos B=7141答案2解析 T a為銳角， sin 1_(7$ =歩nT a,氏(0 , 2), 0< a+ 6< n又 T sin( a+ 6<sin a, a+ 屯，三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x

7、圖像Ji_yJy , j應(yīng)丿. rim| |! 1 定義域RRn xx R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【n+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠 r n c,3 n在 q+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2kn 2kn(k Z)上是增加的；在2k n n+ 2kn(k Z)上是減少的/ 亠.n i n在（一 + kn, _ +2 2kn（k Z）上是增加的 COS(a+ 3 =- £14COS 3= COS( a+ 3 a=cos( a+ 3cos a+ sin( a+ ®sin a比丄+込込49= 114

8、714798 2（2015廣東）已知tan a= 2.nsin 2 a求tan（a+才）的值;求一的值.sin a+ sin 況cos a cos 2 a 1ntan a+ tan 匚 n4解tan( a+-)=4n1 tan aan 42 + 1=3.sin 2 a1 2X 1-7.sin a+ sin acos a cos 2 a 12sin acos a2 2sin a+ sin acos a 2cos a三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_yJy , j應(yīng)丿. rim| |! 1 定義域RRn

9、 ,.xX R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【n+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的; 亠r n 小，3 n在 q+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠. n | n在(一 + kn, _ +2 2kn(k Z)上是增加的2ta n a2X 2tan2a+ tan 二 2 = 4722 = 1.命題點2給值求角問題例3（1）設(shè)a, 3為鈍角，且sina=¥ , cos 3=嗚0 ,貝U a+ 3 的值為()3 nA"5 n B

10、N7nC.4已知 a, 3 (0 , n，且 tan (a1 13 =，tan 3= 7，貝U 2 a 3 的值為答案C一 34n解析(1) T a, 3 為鈍角，sin a=.53105，cos =10 ，cos2 .510a=5 , sin 3=0, cos(a+ 3 = cos acos 3 sin ain又 a+ 3 ( n, 2 0, - a+ 3 (,三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_y應(yīng)丿. rim| |! 1 定義域RRn ,.xX R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【

11、1,11R單調(diào)性在【才+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠 r n c,3 n在【尹2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在【2kn n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n 1 n在(一 + kn, _ +2 2kn(k Z)上是增加的(2) / tan a= tan( a 3 +3tan a 3 + tan 31 tan a 3 tan 3cn0< a<2又 T tan 2 a=2ta n a1 tan2 a34>o，n 0<2 陀,tan 2 a tan 3tan(2 a 3)=1 + tan 2

12、aan 33 +亍=1. 474 + 7' tan3= <0,三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_yJy , j應(yīng)丿. rim| |! 1 定義域RRn ,.xX R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【1,1】R單調(diào)性在【n+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的; 亠r n 小，3 n在 q+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠. n | n在(一 + kn, _ +

13、2 2kn(k Z)上是增加的.n- 2< n, n <2c 0<0,3 n 2 a 3= -4.引申探究本例 中，若 a B 為銳角，sin a=¥，cos 3=，貝U a+ 3=.答案n4解析 Ta 3 為銳角，- cos a= 255, sin 3= ""0°,5 10 cos（a+ 3 = cos acos 3 sin ain 3=泌x麵叵血=V2=510510 = 2 .口n又 0< a+ 3< n a+ 3= 4.思維升華（1）給值求值問題的關(guān)鍵在“變角”，通過角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法；（2）給值求角問題：先求角

14、的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍確定角.，/、sin 1 a+ 4）跟蹤訓(xùn)鋒 3（1）已知 妖0, n，且 2si n2 a sin a cos a 3cos2 a= 0,則：=k 2 丿sin 2 a+ cos 2a+ 1三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像lyJyXi/ x"丿.1fl1定義域RRn ,.xx R 且 xm2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【才+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠r n 小，3 n在【尹2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n

15、+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在【2kn n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n 1 n在（一 + kn, _ +2 2kn（k Z）上是增加的（2）（2016 成都檢測）若 sin 2 a=-55sin（M =斗0°，且a【4， n，沃n,爭，則a+ B的值7 nA.43nDp5 n_ 7 nC.4或 4答案（膚（2）A解析（1） T a 0,才，且 2sin2a sin a COS a 3COS2 a= 0，貝U （2sin a 3cos a （sin a+ cos a/ 2si na= 3cos a,又 Sin2 a+ COs2 a= 1 ,2 322 sin

16、 a+ COs asin a+n-COs “= . 13, sin a= 13,V262 2 2sin 2 a+ COS 2 a+ 1 sin a+ COS a + COS a sin a 8三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_y應(yīng)丿. rim| |! 1 定義域RRn xX R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在n+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠 r n c,3 n在+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2k n, 2ki（k Z）上是增

17、加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n i n在（一 + kn, _ +2 2kn（k Z）上是增加的因為 a 4,冗sin 2 a= >0 ,%所以 2a 2, n,所以cos 2a= 鏟7t n n且 a 4, J ,4'又因為 sin（ 3- ”二警。，3 n 7,所以所以,、3>/10cos( 3- a= ,因此sin( a+ 3)= sin( 3 a) + 2 a=sin( 3 o)cos 2 a+ cos( 3 "sin 2 a?。?尋（-詡VCOS( a+3 = cos( 3 a) + 2 a=cos( 3 "cos

18、2 a sin( 3 "sin 2 a三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_yJyXi/ x應(yīng)丿.| |! 1 定義域RRn ,.xX R 且 xm 2 + k nk Z值域【"I【"IR單調(diào)性在【才+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠r n 小，3 n在尹 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在n+ 2kn, 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n 1 n在(一 + kn, _ +2 2kn(k Z)上是增加的r

19、-嘟% (疇尋縣*，5 n7 n又a+氏,2 n,所以a+3=才，故選A.題型三三角恒等變形的應(yīng)用例 4(2016 天津)已知函數(shù) f(x)= 4tan xsin 扌一x cos x 扌一求f(x)的定義域與最小正周期;討論f(x)在區(qū)間的單調(diào)性.解(1)f(x)的定義域為x|xm扌+ kn, k Z.f(x) = 4tan xcos xcos x 3 , 3=4sin x cos x+ "sin x . 3=2sin xcos x+ 2.3s in2x ,3=sin 2x+ . 3(1 cos 2x) . 3=sin 2x .3cos 2x= 2sin 2xn3 -三角函數(shù)的圖像和

20、性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_yu應(yīng)丿. rim| |! 1 定義域RRn x|x R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【n+2kn n+2kn(k Z)上是增加的;亠 r n c,3 n在【尹2k n, +2kn(k Z)上是減少的在【一n+ 2k n, 2ki(k Z)上是增加的；在【2kn n+ 2kn(k Z)上是減少的/ 亠.n 1 n在(一 + kn, _ +2 2kn(k Z)上是增加的所以f（x）的最小正周期T= 22"= n.n令z= 2x- 3,則函

21、數(shù)y= 2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是nn2+ 2kn, 2 + 2kn1, k Z., nn _ n由一2"+ 2k2x 32+ 2k n k Z ,+ n5 nn n12 , 4 .得12+ kn< x< 12 + kn, k Z.設(shè)A=n nn5 n廠，-4 , 4 ， B = x| 12+ kn< x< 12 + kn, k Z,易知 AH B=n n一 n nl4, 12上是減少的.所以當x 4 , 4時,f（x）在區(qū)間一,4上是增加的，在區(qū)間思維升華三角恒等變形的應(yīng)用策略（1）進行三角恒等變形要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意

22、公式 的逆用和變形使用.把形如y= asin x+ bcos x化為y= 'a2+ b2sin（x+妨,可進一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、 最值與對稱性.跟U訓(xùn)練3函數(shù)f（x）= sin（x+ © 2sin ©cos x的最大值為 .三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像ly、邁_JyXi/ x"丿.1fl1定義域RRn ,.x|x R 且 xm2 + k nk Z值域【"I【1,11R單調(diào)性在【n+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的; 亠r n 小，3 n在

23、 q+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠. n | n在（一 + kn, _ +2 2kn（k Z）上是增加的n2函數(shù)f(x) = sin(2x 4) 22sin x的最小正周期是 答案(1)1(2) n解析 因為 f(x)= sin(x+ 2sin ©cos x=sin xcos © cos xsin 片 sin(x 冊, 1 w sin（x妨w 1,所以f（x）的最大值為1.(2)f(x)=22si n 2x cos 2x2(1 cos 2x)為 n 2x+&#

24、165;cos 2x 2= si n(2x+ J) 2, -T = 2n= n.思想與方法系列9 化歸思想和整體代換思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 典例 （12 分）（2015 重慶）已知函數(shù) f（x）= sin 牙x sin x 3cos2x.（1）求f（x）的最小正周期和最大值；討論f（x）在n，¥上的單調(diào)性.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像lyJyXi/ x"丿.1fl1定義域RRn ,.x|x R 且 xm2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【才+ 2kn n+2kn

25、（k Z）上是增加的;亠r n 小，3 n在紜+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠. n | n在(一 + kn, _ +2 2kn(k Z)上是增加的思想方法指導(dǎo)討論形如y = asin wx+ bcos 型函數(shù)的性質(zhì)，一律化成y= a2 + b2sin( wx+妨型的函數(shù).研究y= Asin( wx+型函數(shù)的最值、單調(diào)性，可將wx+ $視為一個整體，換元后結(jié)合y =sin x的圖像解決.規(guī)范解答 解（1）f（x）= sin n x sin x 3cos2x羽1 花V3f=cos x

26、sin x 藥（1 + cos 2x） = qsin 2 x cos 2x三=sin 2x因此f(x)的最小正周期為n最大值為2總.6分rn當x -,時，ow 2x n n 7 分從而當ow 2x n n即xw寸，f(x)是增加的，9分當養(yǎng)2x n n即Inw xw爭寸，f(x)是減少的.11分三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_yJyXi/ x應(yīng)丿.| |! 1 定義域RRn x|x R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,1【1,1R單調(diào)性在n+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠 r

27、 n c,3 n在紜+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在n+ 2kn, 2kn(k Z)上是增加的；在2k n n+ 2kn(k Z)上是減少的/ 亠.n i n在（一 + kn, _ +2 2kn（k Z）上是增加的-n 5 n綜上可知，f（x）在6, 12上是增加的;課時作業(yè)n 11. (2016 青島模擬)設(shè) tan (a 4) = 4,ntan( a+ 4)等于()A 2 B . 2 C 4 D . 4答案解析n tan a 11因為tan(a n=右=4,所以5ntan a+ 1tan a=;，故 tan( a+;)=341 tan a故選C.2. （2016全國甲卷）若c

28、os na= 3，則sin 2 a等于（）7A251B.517C. 5 D. 25答案解析因為sin 2 a= cos 才2 a = 2cos21，又因為 cos 4 a =3 所以 sin 2 a= 2 x 25三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像lyJyXi/ x"丿.1fl1定義域RRn ,.xx R 且 xm2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【n+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的; 亠r n 小，3 n在 q+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+

29、2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n 1 n在(一 + kn, _ +2 2kn(k Z)上是增加的1 =丄，故選D.（2016福州模擬）已知tan a= 3,則弓0乎召的值等于（cos a答案解析sin 2 a 2sin acos a 2 =2= 2ta nCOs a COs aa= 2X 3= 6.n 1 lt n已知 tan（ a+ 4） = 2，且一2< a<0，則22sin a+sin 2 a , 等于（ nCOS a4 j答案2B531010DA.C.A253 ;510n tan a+1 11解析由 tan（ a

30、+ -A=了，得 tan a= 了.41 tan a 23又一n< a<0,所以 Sin a=三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_yJy , j應(yīng)丿. rim| |! 1 定義域RRn xX R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【n+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠 r n c,3 n在 q+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2k n, 2ki（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n i n在

31、（一 + kn, _ +2 2kn（k Z）上是增加的22sin a+ sin 2 a 2sin a sin a+ cos a 故cos a 4sin a+ cos an設(shè) a (0, 2),n 3 (0, 2),且 tan1+ sin 3a=人cos 3n3 a 3= 2B.n2 a 3= 2n3 a+ 3= 2D.n2 a+ 3= 27t5.A.C.B=2 _ 2sin a= 5.答案解析由 tan a=,得沁=,cos 3 cos a cos 3即sinacos 3= cos a+ cos ain B,sin( a7t3 = cos a= sin(； a.nn a (0，2)，3(0,

32、2)，(0,n2），n n n a共(2, 2), 2 an=2 a，n由 sin( a 3 = sin(2 a,得 a三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_yJyXi/ x應(yīng)丿. rim| |! 1 定義域RRn ,.xX R 且 xm 2 + k nk Z值域【"I【"IR單調(diào)性在n+ 2k n n+2kn（k Z）上是增加的;亠r n 小，3 n在紜+ 2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）

33、上是減少的/ 亠. n | n在(一 + kn, _ +2 2kn(k Z)上是增加的- c n2 a 3=廠2.6 .函數(shù)f(x)= sin(2x+ B)+J3cos(2x + 0) | 0|<才的圖像關(guān)于點 £ 0/對稱，則f(x)的單調(diào)遞增 區(qū)間為()n5 nA. 3+ k n + kn I, k ZB. 6+ k n，3+ kn, k ZC. 12+ kn 12 + kn, k ZD. 12+ kn 茅 kn，, k Z答案 C解析 / f(x)= sin(2x+ 0)+ 3cos(2x+ 0)=2sin 2x+ + 3 ,nn由題意知 2X 6+ 0+ 3 = kn(

34、k Z),2 0= kn qnkG Z).3nn0< 2, 0= 3.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像J'VJyXi/ x應(yīng)丿. rim| |! 1 定義域RRn ,.x|x R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【n+ 2kn n+2kn(k Z)上是增加的;亠 r n c,3 n在 q+ 2k n, +2kn(k Z)上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n 1 n在(一 + kn

35、, _ +2 2kn(k Z)上是增加的 f(x) = 2sin 2x+ | n .,n 小 2n由2k 彳 2x+ 3 n 2k n+7n得 kn- 12 n< x< kn- n(k Z).故選 C.2x.7 若2sin廠1f(x) = 2ta n x-xx，則sin2cos2答案2 x解析1-2sin 2 / f(x)= 2tan x+-12sin x=2tan x+ 適=-=令,8 若銳角sin x sin xcos x sin 2x4=8.nsin 6a B滿足(1 + 寸3tan %)(1 + V3tan 3 = 4,貝U a+ =解析 由（1 + , 3tan M（1

36、+ .3tan 3）= 4,三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_yJyXi/ x應(yīng)丿. rim| |! 1 定義域RRn ,.x|x R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【n+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠r n 小，3 n在【尹2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在【2kn n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠. n | n在(一 + kn, _ +2 2kn(k Z)上是增加的tan a+ tan

37、 3可得=. 3, 即卩 tan( a+3 = 3.1 tan aan 3n又 a+ 3 (0,",二 a+ 3= 3.39化簡：響；j2(4cos 12 2 pin 12答案 4 3解析原式=sin 123 3v cos 122'2 2cos 12 ° 1 sin 122 ,3?sin 12 cos 12 °cos 122cos 24 sin 122 3sin 48 °2cos 24 sin 12 cos 122 3sin 48 2 . 3sin 481= 4羽.sin 48sin 24 cos 242n 3 n10 .函數(shù) f(x) = U3

38、sin §x 2sin(3< xW-4)的最小值是 答案 3 1解析f(x)= 3sin |x (1 cos |x)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_yJy , j應(yīng)丿. rim| |! 1 定義域RRn ,.xx R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【才+ 2kn n+2kn（k Z）上是增加的;亠r n 小，3 n在【尹2k n, +2kn（k Z）上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在【2kn n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n 1 n在(一 + kn, _

39、 +2 2kn(k Z)上是增加的2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)2 n=2si n(§x + 6) 1,n 3 n 又產(chǎn)XW -,n 2 n 2-2 3x+6 三 3n，二 f(x) min = 2sin =n211.已知函數(shù) f(x) = cos x+ sin xcos x, x R.n（1）求f（的值;3 口若sin a= 5，且aa n n，求 f(2+ 刃.解(12 n n n=cos6+sin 6cos6321、/33 + ,37)+ 產(chǎn) t2 1 + cos 2x 1(2)因為 f(x) = cos x+ sin xcos x =2+ sin 2x111n=

40、+ 2(sin 2x + cos 2x) = + 2 in(2x+ 4),an 12n n所以 f(2 + 24)= 2+"Tsin( a+12+ 4)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_yJyXi/ x應(yīng)丿.| |! 1 定義域RRn ,.xx R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在n+ 2kn n+2kn(k Z)上是增加的; 亠r n 小，3 n在+ 2k n, +2kn(k Z)上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+

41、 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n 1 n在(一 + kn, _ +2 2kn(k Z)上是增加的=2 + 希n( a+ n = ?+¥(2sin a+窪os a.3n又因為 sin a=?且 a (-, n,52所以 COS a= 4,n 12 13 3 4所以 f(2+ n = 2+RH 5飛 x 5)10+ 3 ,2 4 *620n12. (2017西安一中月考)已知函數(shù)f(x)= 4COS 3XOS(3x+ 3), 3>0的最小正周期為 n.(1)求3的值；5 n討論f(x)在區(qū)間0 ,上的單調(diào)性.n解 f(x) = 4cos13=4cos 3x (qcos 3x

42、-si n wx)=2cos2 wx 2 3sin wxos wx=1 + cos 2wx , 3sin 2 wx三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)函數(shù)y= sin xy = cos xy= tan x圖像Ji_y應(yīng)丿.1 |! 1 定義域RRn ,.xx R 且 xm 2 + k nk Z值域【1,11【1,11R單調(diào)性在【n+ 2kn n+2kn(k Z)上是增加的;亠 r n c,3 n在 q+ 2k n, +2kn(k Z)上是減少的在【一n+ 2k n, 2kn（k Z）上是增加的；在2k n n+ 2kn（k Z）上是減少的/ 亠.n 1 n在(一 + kn, _ +2 2kn(k Z)上是增加的=1 + 2cos(2 3x+ 3).3n(1)因為函數(shù)f(x) = 4cos 3XCOS(3X+ §)(3>0)的最小正周期為n,2 n故= n所以 3= 1.2 3由知 f(x)= 1 + 2cos(2x+ n，x 0 , 5n ,nn故n< 2x+ 3< 2n,當3W 2x+詐n時，即0 W x<扌時，nf(x) = 1+ 2cos(2x+ 3)為減函數(shù)；rn _口 n n 5 n .當 n <2+$W 2 n，即了 V xW 百時，3 36nf(x) = 1+ 2c