第二節(jié)離散隨機(jī)變量及其分布律ppt課件

1、.X,X),k(xXk的分布律或分布列的分布律或分布列量量稱此式為離散型隨機(jī)變稱此式為離散型隨機(jī)變?yōu)闉榈母怕实母怕始词录词录「鱾€(gè)可能值的概率取各個(gè)可能值的概率所有可能取的值為所有可能取的值為設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量.1,2,k,pxPXxX21kkk 一、離散型隨機(jī)變量的分布律一、離散型隨機(jī)變量的分布律定義定義離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21或或離散型分布律的兩個(gè)根本性質(zhì)離散型分布律的兩個(gè)根本性質(zhì)xXk1k 證明：由于證明：由于x1,x2,x3,.是是X的一切能夠取的值，的一切能夠取的值，且當(dāng)

2、且當(dāng)ij時(shí)，時(shí)，X=xi X=xj= ，故，故從而有從而有 1kk1kkp)xP(XP(1;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp xxkkpxXPxF)(分布函數(shù)分布函數(shù)分布律分布律kkxXPp 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系. )()( xxxxkkkkxXPpxXPxF=P(抽得的兩件全為次品抽得的兩件全為次品)求分布律舉例求分布律舉例 例例 設(shè)有一批產(chǎn)品設(shè)有一批產(chǎn)品2020件，其中有件，其中有3 3件次品，從中恣意抽取件次品，從中恣意抽取2 2件，假件，假設(shè)用設(shè)用X X表示獲得的

3、次品數(shù)，求隨機(jī)變量表示獲得的次品數(shù)，求隨機(jī)變量X X的分布律及事件的分布律及事件“至少抽得一至少抽得一件次品的概率。件次品的概率。解：解：X的能夠取值為的能夠取值為 0，1，2=P(抽得的兩件全為正品抽得的兩件全為正品)190136220217 CCPX=1PX=21131722051190C CC 232203190CC =P(只需一件為次品只需一件為次品)PX=0故故 X X的分布律為的分布律為kp190136190511903而而“至少抽得一件次品至少抽得一件次品=X1=X1 = X=1= X=1X=2 X=2 PX1= PX=1+PX=2PX1= PX=1+PX=2留意：留意：X=1X

4、=1與與X=2X=2是互不相容的！是互不相容的！952719054190319051 實(shí)踐上，這仍是古典概型的計(jì)算題，只是表達(dá)事實(shí)踐上，這仍是古典概型的計(jì)算題，只是表達(dá)事件的方式變了件的方式變了故故 從一批次品率為從一批次品率為p p的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時(shí)，已抽取的次數(shù)到次品為止。求抽到次品時(shí)，已抽取的次數(shù)X X的分布的分布律。律。 解解 記記Ai=Ai=“第第i i次取到正品次取到正品,i=1,2,3, ,i=1,2,3, 那么那么 Ai , i=1,2,3, Ai , i=1,2,3, 是相互獨(dú)立的！是相互獨(dú)立的！ 且且X X的一切能夠

5、取值為的一切能夠取值為 1 1，2 2，3 3， ,k, ,k, )(121kkAAAAP( X=k )( X=k )對(duì)應(yīng)著事件對(duì)應(yīng)著事件 kkAAAA121例例設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為2() ,1,2,3,3kP Xkbk試確定常數(shù)試確定常數(shù)b.解解由分布律的性質(zhì)由分布律的性質(zhì),有有11223()()2313kkkbP Xkb例例232113bb1.2b 二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布二、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布 1p p P 0 1 X 那么稱那么稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p 的兩點(diǎn)分布或的兩點(diǎn)分布或(0-1)分布分布,如：上拋一枚硬幣。如：上拋一枚硬幣。 例例設(shè)一個(gè)

6、袋中裝有設(shè)一個(gè)袋中裝有3 3個(gè)紅球和個(gè)紅球和7 7個(gè)白球，如今從中個(gè)白球，如今從中隨機(jī)抽取一球，假設(shè)每個(gè)球抽取的時(shí)機(jī)相等，隨機(jī)抽取一球，假設(shè)每個(gè)球抽取的時(shí)機(jī)相等，并且用數(shù)并且用數(shù)“1 1代表獲得紅球，代表獲得紅球，“0 0代表獲得代表獲得白球，那么隨機(jī)抽取一球所得的值是一個(gè)離散白球，那么隨機(jī)抽取一球所得的值是一個(gè)離散型型隨機(jī)變量隨機(jī)變量10X（取得紅球）（取得白球）其概率分布為其概率分布為3(1)10P X 7(0)10P X 即即X X服從兩點(diǎn)分布。服從兩點(diǎn)分布。(1)0,1, 2.,;kknknP XknkCpp 其中其中0 p 0, 那么稱那么稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分

7、布XP( )n 定義定義泊松分布的圖形泊松分布的圖形效力臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的效力次數(shù)效力臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接待的效力次數(shù)X；交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)交換臺(tái)在某時(shí)間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)Y;礦井在某段時(shí)間發(fā)惹事故的次數(shù)礦井在某段時(shí)間發(fā)惹事故的次數(shù);顯微鏡下一樣大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；顯微鏡下一樣大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目 體積相對(duì)小的物質(zhì)在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數(shù) 可以由觀測(cè)值的平均值求出。n 實(shí)踐問題中假設(shè)干實(shí)踐問題中假設(shè)干R.v.XR.v.X是服從或近似服從是服從或近似服從n Poisson Pois

8、son分布的分布的 知某交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)知某交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)X X服從服從4 的泊松分布，分別的泊松分布，分別 求求1 1每分鐘內(nèi)恰好接到每分鐘內(nèi)恰好接到3 3次呼喚的概率；次呼喚的概率；2 2每分鐘不超越每分鐘不超越4 4次的概率次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)P XP XP XP XP XP X4,3k()!kP Xkek344(3)3!P Xe例例解解0.195630.628838ekppCkknkkn!)1 (二項(xiàng)分布的泊松近似二項(xiàng)分布的泊松近似The Poisson Approximation to the Binomial Distributionn

9、p二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布n很大很大, p 很小很小上面我們提到上面我們提到例例 為了保證設(shè)備正常任務(wù)為了保證設(shè)備正常任務(wù), , 需配備適量的維修需配備適量的維修工人工人 ( (工人配備多了就浪費(fèi)工人配備多了就浪費(fèi) , , 配備少了又要影響生配備少了又要影響生產(chǎn)產(chǎn)),),現(xiàn)有同類型設(shè)備現(xiàn)有同類型設(shè)備300300臺(tái)臺(tái), ,各臺(tái)任務(wù)是相互獨(dú)立的各臺(tái)任務(wù)是相互獨(dú)立的, ,發(fā)生缺點(diǎn)的概率都是發(fā)生缺點(diǎn)的概率都是0.01.0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的缺點(diǎn)可由一個(gè)人來處置的缺點(diǎn)可由一個(gè)人來處置( (我們也只思索這種情況我們也只思索這種情況) ,) ,問至少需配備多少工人問至

10、少需配備多少工人 , ,才干保證設(shè)備發(fā)生缺點(diǎn)才干保證設(shè)備發(fā)生缺點(diǎn)但不能及時(shí)維修的概率小于但不能及時(shí)維修的概率小于0.01?0.01?解解.人人設(shè)需配備設(shè)需配備 N設(shè)備設(shè)備記同一時(shí)刻發(fā)生故障的記同一時(shí)刻發(fā)生故障的,X臺(tái)臺(tái)數(shù)數(shù)為為).,(,010300BX那那末末所需處理的問題所需處理的問題,N是確定最小的是確定最小的使得使得合理配備維修工人問題合理配備維修工人問題由泊松定理由泊松定理得得,!303 NkkkeNXP故有故有,99. 0!303 Nkkke即即 Nkkke03!31 13!3Nkkke,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得滿足此式最查表可求得滿足此式最N個(gè)工人個(gè)工人,才干保證設(shè)

11、備發(fā)生缺點(diǎn)但不能及時(shí)維修的才干保證設(shè)備發(fā)生缺點(diǎn)但不能及時(shí)維修的概率小于概率小于0.01.故至少需配備故至少需配備8.99. 0 NXP例例:設(shè)一只昆蟲所產(chǎn)蟲卵個(gè)數(shù)設(shè)一只昆蟲所產(chǎn)蟲卵個(gè)數(shù)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布，的泊松分布，而每個(gè)蟲卵發(fā)育為幼蟲的概率為而每個(gè)蟲卵發(fā)育為幼蟲的概率為p，并且各個(gè)蟲卵能否發(fā)，并且各個(gè)蟲卵能否發(fā)育成幼蟲是相互獨(dú)立的。試證明：一只昆蟲的下一代幼蟲育成幼蟲是相互獨(dú)立的。試證明：一只昆蟲的下一代幼蟲個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的泊松分布。的泊松分布。證明：由題設(shè)知證明：由題設(shè)知, 2 , 1 , 0me!m)mX(Pm mk0)mX|kY(P m, 2 , 1 , 0kqpC)