中值定理與導數(shù)的應用自測題A

1、1 設則在內(nèi) 。A至少有三個根B至少有一個根C僅有兩個根D至少有兩個根2若在上連續(xù), 在內(nèi)可導,且, 則必有 。ABC D3下列求極限題目中，不能使用洛必達法則的是 。A B C D4設是曲線的拐點,則在該點處 。A B必有切線 C D可能沒有切線5設一階可導, 且, 則 。A一定是的極大值 B一定是的極小值C一定不是的極值 D不一定是的極值6設為偶函數(shù)且二階可導,若, 則 。A一定是的極大值B一定的極小值C一定不是的極值D不一定是的極值7下列各式中, 當時成立的是 。A B C D8 曲線 。A沒有拐點 B有一個拐點 C有兩個拐點 D有三個拐點1函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_.2函數(shù)的垂直漸進線的方程

2、是_.3,是在內(nèi)單調(diào)增加的 條件。4設，則=_.5設某種商品的需求函數(shù)為，其中表示需求量，表示產(chǎn)品單價，當=_時，該商品可以獲得最大收益，此時的需求的價格彈性。6設，則 ， 。7若，在內(nèi)，則在內(nèi) 0， 0 8.設產(chǎn)量為時的收益為，成本為，利潤為。已知都是二階可導的函數(shù)，若為最大利潤，則 0. （是、否、不一定）小于零。 1. 計算 2. 計算3. 計算 4. 計算1B 2C 3D 4D 5C 6A 7C 8C1 2 3無關 4 56 ，-1 6 1 ， 7 8. ，不一定解：，故極限不存在。2解：本題是型極限，直接用洛必達法則求不出該極限，注意到，則，由于。故原式=。3解：。4.解：。5.已知

3、在點的鄰域內(nèi)有定義，且有，其中為正常數(shù)，討論在點處是否有極值。解：由，根據(jù)極限與無窮小的關系定理有其中，于是可知當在點的充分小鄰域內(nèi)時，與同符號，因此（1）當在點的充分小鄰域內(nèi)時，若為偶數(shù)，則與同符號，當時，可知為的極小值；當時，可知為的極大值；（2）當在點的充分小鄰域內(nèi)時，若為奇數(shù)，則在點的兩側異號，即不恒正(或恒負)，可知不是極值。6. 設在內(nèi)一階可導，且在點二階可導，求極限。 解：由于在內(nèi)一階可導，由洛必達法則可得，這時不符合洛必達法則的條件，因此不能用洛必達法則求它的極限，但，因此7. 已知是曲線的拐點，且曲線在點處取得極值，求。解：由題設有，又。所以有，解得。8設函數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù)

4、，且f（0）=0, 又 ，求并討論的連續(xù)性。解：，這時連續(xù)所以又 9求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間、拐點、漸近線，并畫出草圖。解:1)定義域為，且是非奇非偶函數(shù)無對稱性，2）由于時，。故曲線過原點，又是函數(shù)的間斷點。3），令得駐點.,令得列表如下 13+0+0+0+0無定義由表看出拐點是，極小值是4）漸近線 是其鉛直漸近線；，故是其斜漸近線；無水平漸近線。 5）作圖略。四. 1. 證明不等式，其中。證明：令，顯然它在a,b上滿足拉格朗日中值定理的條件，故存在使即。而 故所以：。2. 設，且，為實常數(shù)，試證：。證明：，故顯然，在或上滿足拉格朗日中值定理的條件，于是有，在0與之間，因此即：當時，

5、由于在0與之間，故當時，從而可得：。自測題B一 選擇題：1設在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導，且，則在內(nèi)至少存在一點c，有 。A B C D2對函數(shù)，柯西公式不成立的區(qū)間是，其中 。A B C D 3設，則 。A B C D4函數(shù)，若，則 。A是函數(shù)的極大值 B是函數(shù)的極小值C不是函數(shù)的極小值 D不能判定是否是函數(shù)的極值5條件是的圖形在點處是拐點的 條件。A必要 B充分 C充分必要 D無關6若點是曲線的拐點，則 。A B C D以上都不對7若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，和是區(qū)間內(nèi)任意兩點，則至少存在一點，使 。A BCD8在區(qū)間內(nèi)，曲線是 。A下降且向上凸 B下降且向下凸C上升且向上凸 D上升且向下凸1曲線的

6、漸近線是 。 2設時，與是同階無窮小，則 。 3曲線的拐點個數(shù)是 。 4函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 。 5 設函數(shù)在內(nèi)可導，且對任意的，當時則函數(shù)單調(diào) 。 6函數(shù)的凹區(qū)間是 。 7設函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可導，且，則 。8.當時，是的5階無窮小，則 ， 。1A 2D 3B 4B 5D 6C 7C 8C1 23 3 2 45增加 6 7C(C表示任意常數(shù)) 8.1求解：。2求解：原式。3求曲線的漸近線。解：（1），故為的水平漸近線；，故為的水平漸近線；（2）使沒有意義的點是。，故為的垂直漸近線；，故為的垂直漸近線；，故不是的垂直漸近線。4已知在內(nèi)可導，且，又設，求的值。解：由條件易知，另一方面，由拉格朗日

7、中值定理得，其中。因此。比較等式兩端得，故。5寫出的麥克勞林公式，并求與。解：將公式中的用替換，得。根據(jù)泰勒公式系數(shù)的定義，在上述的麥克勞林公式中，與的系數(shù)分別為與。由此得及。6設函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點，求的取值范圍。解：時，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點；時，在區(qū)間內(nèi)有唯一駐點且，因此是極小值，從而是最小值。由條件可知，當時，即時，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點；時，在區(qū)間內(nèi)嚴格單減，由于，因此在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點。綜上所述，或時，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點。7某工廠在一生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)某產(chǎn)品為a噸，分若干批生產(chǎn)，每批產(chǎn)品需投入固定支出2000元，每批產(chǎn)品生產(chǎn)時直接耗用費用（不包括固定支出）與產(chǎn)品

8、數(shù)量的立方成正比，又知每批產(chǎn)品為20噸時，直接耗用費用為4000元，問每批生產(chǎn)多少噸時使總費用最?。拷猓簢?。8已知函數(shù)，試求其單調(diào)區(qū)間，極值點，圖形的凹凸性，拐點和漸近線，并畫出函數(shù)的圖形。解：（1）定義域為。（2），令得，且，（3）列表如下： 2 0 無定義極小值3 （4）漸近線，因此是它的一條垂直漸近線，又由于，因此是它的一條斜漸近線。（5）作圖略。四證明題：1當時，證明不等式.解：所證不等式等價于，作輔助函數(shù)，只要證明下面的不等式成立即可：，考慮在內(nèi)的最小值問題：，令，得駐點。因為，所以為極小值。又因為，所以，也是在最小值。故當時，。即當時， .2設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，。證明在內(nèi)至少

9、存在一點，使。提示：對函數(shù)在應用拉格朗日中值定理。3設，求證。證明：設，且，由，得，由，可知當時單調(diào)增加，所以當時，即也即。自測題 C1設函數(shù)在內(nèi)可導，且對任意，當時，都有，則 （ ）A.對任意 B. 對任意C.函數(shù)單調(diào)增加 D. 函數(shù)單調(diào)增加2. 設函數(shù)在內(nèi)有界且可導，則 （ ）A.當時，必有 B當存在時，必有C.當時，必有 D當存在時，必有3設函數(shù)有二階連續(xù)導數(shù)，且則 （ ）A. 是的極大值 B. 是的極小值C. 是曲線的拐點D. 不是的極值，也不是曲線的拐點4.曲線的拐點個數(shù)為 （ ）A.0 B.1 C.2 D.35.若函數(shù)在內(nèi)且則在內(nèi)有 （ ）A. ， B. ，C. ， D. ，6設下

10、列命題正確的是 （ ）A. 是的極大值, 是的極小值 B. 是的極小值, 是的極大值C. 是的極大值, 是的極大值 D. 是的極小值, 是的極小值7設則 （ ）A. 是的極值點，但不是曲線的拐點B. 不是的極值點，但是曲線的拐點C. 是的極值點，且是曲線的拐點D. 不是的極值點，也不是曲線的拐點8設函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其導函數(shù)的圖象如圖所示,則有 （ ）A.一個極小值點和兩個極大值點 B.兩個極小值點和一個極大值點C. 兩個極小值點和兩個極大值點 D. 三個極小值點和一個極大值點 yA B O C x1.設函數(shù)由參數(shù)方程確定，則曲線的凸區(qū)間為 。2. 。3. 。4. 。5曲線的漸近線方程為 。6函數(shù)

11、在區(qū)間上的最大值是 。7 。 8已知是由方程所確定的隱函數(shù)，曲線有斜漸近線，則 ， 。自測題C參考答案1. D 2. B 3. B 4. C 5. C 6. B 7. C 8. C1. 2. 3. 4. 5 616 72 81，三 計算題與證明題：1討論曲線與的交點個數(shù)。解:設則有不難看出，是的駐點。當時，即單調(diào)減少；當時，即單調(diào)增加，故為函數(shù)的最小值。當即時，無實根，即兩條曲線無交點。當即時，有唯一實根，即兩條曲線只有一個交點。當即時，由于；，故有兩個實根，分別位于與即兩條曲線有兩個交點。2已知函數(shù)在連續(xù)，在內(nèi)可導，且。證明：（1）存在，使得；（2）存在兩個不同的點，使得。證明：（1）令則在

12、連續(xù)，且所以存在，使得即。（2）根據(jù)拉格朗日中值定理，存在使得從而。3設函數(shù)在區(qū)間上具有二階導數(shù)，且證明存在和，使及。證明：不妨設即故由函數(shù)極限的局部保號性知，存在使由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理可得存在使得。再由及羅爾定理，知存在和使，又在區(qū)間上對應用羅爾定理，知存在使。4.設且，證明。證明：因為連續(xù)且具有一階導數(shù)，所以由知又令則由于所以。又由知單調(diào)增加，故是的極小值，且只有一個駐點，從而是的最小值。因此即。5試證：當時，。證明：令則，所以時，；當時，。于是，當時，即。6就k的不同取值情況，確定方程在開區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)，并證明你的結論。解：設，則在上連續(xù)。由解得在內(nèi)的唯一駐點.由于當時,當時, ,所以在上單調(diào)減少,在上單調(diào)增加,因此是在內(nèi)的唯一極小值點,極小值為，故最小值為.又因故在在內(nèi)的取值范圍為因此當即或時,原方程在內(nèi)沒有根;當時, ,原方程在內(nèi)有唯一根;當時,原方程在和內(nèi)各恰有一個根,即原方程在內(nèi)恰有兩個不同的根.7. 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),其導數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在且單調(diào)減少; 試用拉格朗日中值定理證明不等式:,其中常