專題722解析幾何中面積問(wèn)題的研究與拓展

1、 專題7.22：解析幾何中面積問(wèn)題的研究與拓展【探究拓展】探究1：如圖，設(shè),分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線交線段于點(diǎn)（異于點(diǎn)，），交橢圓于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)），和的面積分別為與（1）若是線段的中點(diǎn)，直線的方程為，求橢圓的離心率；OMDACB（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值解：（1）；（2）設(shè),（）令 1：三角換元：)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（此時(shí)時(shí)等號(hào)成立），可取得最大值2：基本不等式的應(yīng)用：,同理可得結(jié)果橢圓的外切矩形的對(duì)角線和橢圓的交點(diǎn)處的切線必和另一條對(duì)角線平行；且在該交點(diǎn)處，此時(shí),都是最大的.探究2：如圖，橢圓的離心率為，x軸被曲線 截得的線段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)（1）求C1，

2、C2的方程；（2）設(shè)C2與y軸的焦點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與C2相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E（I）證明：MDME;（II）記MAB,MDE的面積分別是問(wèn)：是否存在直線l,使得？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意知故C1，C2的方程分別為（2）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為.由得.設(shè)是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是又點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1），所以故MAMB，即MDME.（ii）設(shè)直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為解得，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.又直線MB的斜率為，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為于是由得解得，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為又直線ME的斜率為，同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為于是.因此

3、由題意知，又由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可知，故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為探究3：如圖，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求直線的斜率；（2）記的面積為，（為原點(diǎn)）的面積為試問(wèn)：是否存在直線，使得？說(shuō)明理由解：（1）（2）不存在，計(jì)算可得探究4：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，分別是橢圓的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，圓的半徑為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，在軸的上方交橢圓于點(diǎn) （1）求直線的方程；（2）求的值；解：（1）連結(jié)，則，且，又，所以.所以，所以直線的方程為.由知，直線的方程為，的方程為，解得. 因?yàn)?，即，?/p>

4、以，故橢圓的方程為.由解得，所以 不妨設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組解得，所以；用代替上面的，得同理可得，所以因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為探究5：在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)A，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（不同于A，B），直線AP，BP分別與直線交于點(diǎn)M，N，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P使得和的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由 解：（1）由題意得 2分解得 4分橢圓C的方程為 5分（2）如圖，B點(diǎn)坐標(biāo)為，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P ，則直線AP的方程為，探究6：已知點(diǎn)M是圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)D（1，0），點(diǎn)P在直線DM上，

5、點(diǎn)N在直線CM上，且滿足，=0，動(dòng)點(diǎn)N的軌跡為曲線E。（1）求曲線E的方程；（2）若AB是曲線E的長(zhǎng)為2的動(dòng)弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB面積S的最大值。探究7. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)定點(diǎn)T（t，0）（t為已知常數(shù)）作一條直線與橢圓相交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，求AOB面積S的最大值探究8. 已知橢圓G：過(guò)點(diǎn)A（0，5），B（-8，-3），C，D在橢圓G上，直線CD過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且在線段AB的右下側(cè)求：（1）橢圓G的方程；（2）四邊形ABCD的面積的最大值探究9：如圖,已知橢圓與的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸均為且在軸上,短軸長(zhǎng)分別為,過(guò)原點(diǎn)且不與軸重合的直線與,的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為,.記,

6、和的面積分別為和.（1）當(dāng)直線與軸重合時(shí),若,求的值;（2）當(dāng)變化時(shí),是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線,使得?并說(shuō)明理由.解:(I), 解得:(舍去小于1的根) (II)設(shè)橢圓,直線: 同理可得,又和的的高相等 如果存在非零實(shí)數(shù)使得,則有, 即:,解得 當(dāng)時(shí),存在這樣的直線;當(dāng)時(shí),不存在這樣的直線. 探究10：平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直交于兩點(diǎn),為的中點(diǎn),且的斜率為.（1）求的方程;（2）為上的兩點(diǎn),若四邊形的對(duì)角線,求四邊形面積的最大值.探究11：（2014湖南）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為；雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為已知且（1）求的方程；（2）過(guò)作的不垂直于軸的弦，M為AB的中點(diǎn)當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積的最小值【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，因此，從而，于時(shí)，所以，故的方程分別為，（2）因不垂直于軸，且過(guò)點(diǎn)，故可設(shè)直線的方程為由得，易知此方程的判別式大于0，設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，因此，于是的中點(diǎn)為，故直線的斜率為，的方程為，即由得，所以，且，從而設(shè)點(diǎn)