一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、一次函數(shù)的性質(zhì)和圖像   目錄 一、函數(shù)的定義（一）、一次函數(shù)的定義函數(shù)。（二）、正比例函數(shù)的定義 二、函數(shù)的性質(zhì)（一）、一次函數(shù)的性質(zhì)（二）、正比例函數(shù)的性質(zhì)  三、函數(shù)的圖像 （一）、一次函數(shù)和正比例函數(shù)圖像在坐標(biāo)上的位置（二）、一次函數(shù)的圖像1、一次函數(shù)圖像的形狀2、一次函數(shù)圖像的畫法（三）、正比例函數(shù)的圖像1、正比例函數(shù)圖像的形狀         2、正比例函數(shù)圖像的畫法    

2、     3、舉例說明正比例函數(shù)圖像的畫法四、k、b兩個(gè)字母對(duì)圖像位置的影響K、b兩個(gè)字母的具體分工是：（一次項(xiàng)系數(shù)）k決定圖象的傾斜度。（常數(shù)項(xiàng)）b決定圖象與y軸交點(diǎn)位置。五、解析式的確定 （一）一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)決定正比，兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)決定一次 （二）用待定系數(shù)法確定解析式六、兩條函數(shù)直線的四種位置關(guān)系兩直線平行，k1= k2，b1b2兩直線重合，k1= k2，b1=b2兩直線相交，k1 k2兩直線垂直，k1×k2= 1（一）兩條函數(shù)直線的平行（二）兩條函數(shù)直線的相交（三）兩條函數(shù)直線的垂直 

3、 一次函數(shù)、反比例函數(shù)中自變量x前面的字母k稱為比例系數(shù)這一節(jié)我們要學(xué)習(xí)正比例函數(shù)和一次函數(shù)。一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，如果當(dāng)這個(gè)式子中的b=0時(shí)，式子就變成了正比例函數(shù)y=kx。因此，正比例函數(shù)是一次函數(shù)當(dāng)b=0時(shí)的特殊情況。正是因?yàn)檎壤瘮?shù)實(shí)際上就是一次函數(shù)，所以把正比例函數(shù)和一次函數(shù)結(jié)合在一起來學(xué)習(xí)。     在正比例函數(shù)y=kx和反比例函數(shù)y=k/x中，由于函數(shù)y與自變量x之間有比例關(guān)系，就要在自變量x前面用字母系數(shù)k表示它們之間的比例關(guān)系， 因而字母k就取名為比例系數(shù)。確定了比例系數(shù)k就可以直接確定正比例函數(shù)或反比例

4、函數(shù)的解析式。但是，在一次函數(shù)y=kx+b和二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，我們從觀察解析式就可以看出，函數(shù)y與自變量x之間沒有相直接對(duì)應(yīng)的比例關(guān)系，因此這兩種函數(shù)自變量x前面的k，就不能叫比例系數(shù)，只能叫常數(shù)。若欲確定一次函數(shù)或二次函數(shù)的解析式時(shí)，題意僅已知常數(shù)k還不行，還需要其他常數(shù)如b、c等常數(shù)的協(xié)助。    函數(shù)是初中數(shù)學(xué)最難的內(nèi)容，特別是四種函數(shù)都學(xué)完之后，把各種函數(shù)甚至幾何圖形綜合出題，考查你對(duì)函數(shù)基本知識(shí)如概念、性質(zhì)、圖像等的掌握，對(duì)公式的記憶和你的綜合分析能力，也是出題最后環(huán)節(jié)大應(yīng)用題的精彩壓軸戲。盡管大綱要求降低對(duì)學(xué)生掌握函數(shù)難度的要求

5、，但應(yīng)試教育下函數(shù)仍應(yīng)該引起同學(xué)們對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)的足夠重視。    從上面初中數(shù)學(xué)代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)框架圖可以看出，初中所學(xué)函數(shù)包括一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)。一次函數(shù)是入門課，而且在八年級(jí)下學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，九年級(jí)下學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，都還要解決這后面學(xué)習(xí)的兩種函數(shù)與一次函數(shù)的交叉計(jì)算的問題，所以學(xué)好一次函數(shù)和正比例函數(shù)，對(duì)打好函數(shù)的基礎(chǔ)十分重要。                  &#

6、160;                                         一、函數(shù)的定義（一）、一次函數(shù)的定義  一次函數(shù)定義一般地，形如y=kxb(k,

7、b是常數(shù)，k0)的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，當(dāng)b=0時(shí)，即y=kx，這時(shí)就是正比例函數(shù)。關(guān)鍵詞：、自變量x的次數(shù)只能為1次；、k0,否則自變量x的最高次項(xiàng)的系數(shù)不為1、一次項(xiàng)系數(shù)k不為0，而且x不能為分母（那就成為反比例函數(shù)了），而且x也不能在根號(hào)里面。一次函數(shù)解析式的判斷根據(jù)一次函數(shù)y=kx+b的定義來判斷：、判斷是否能化成y=kx+b自變量次數(shù)為1的定義式。、看它是否符合定義的這些條件“k、b為常數(shù)，k0，自變量次數(shù)為1”；    判斷一個(gè)函數(shù)是不是一次函數(shù)，首先對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)后，判斷標(biāo)準(zhǔn)是：未知數(shù)的次數(shù)只能是1次，而且未知數(shù)x不能在分母或者根號(hào)里面。自變

8、量x和因變量y有如下關(guān)系：y=kx+b，則此時(shí)稱y是x的一次函數(shù)。（二）、正比例函數(shù)的定義 正比例函數(shù)定義一般地，形如定義式y(tǒng)=kx(k是常數(shù)，k0)，自變量x與函數(shù)y之間是k倍關(guān)系的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)。其中，k叫做比例系數(shù)。一般地，兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系式可以表示成形如y=kx（k為常數(shù)，且k0）的函數(shù)，那么y就叫做x的正比例函數(shù)。正比例函數(shù)是一次函數(shù)解析式b0（即所謂“y軸上的截距”為零）時(shí)的特殊情況。當(dāng)b=0時(shí)，y=kxb即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).因此，正比例函數(shù)就是一次函數(shù)；一次函數(shù)不一定是一次函數(shù)。正比例函數(shù)解析式的判斷根據(jù)正比例函數(shù)y=kx+b

9、的定義來判斷：、判斷是否能化成y=kx自變量次數(shù)為1的定義式。、看它是否符合定義的這些條件“k為常數(shù)且0，自變量次數(shù)為1”。試判斷下列函數(shù)中是正比例函數(shù)的是  答：是反比例函數(shù)；自變量系數(shù)為0，不是函數(shù)；是一次函數(shù)；是。  正比例函數(shù)是一次函數(shù)解析式b0（即所謂“y軸上的截距”為零）時(shí)的特殊情況。當(dāng)b=0時(shí)，y=kxb即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).因此，正比例函數(shù)就是一次函數(shù)；一次函數(shù)不一定是一次函數(shù)。           &

10、#160; （三）、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的關(guān)系正比例函數(shù)屬于一次函數(shù)。  （四）、自變量x取值范圍的確定自變量X的取值范圍應(yīng) 使解析式有意義。整式，x取一切實(shí)數(shù)；分式，x取分母不為零的數(shù)；二次根式，x取使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的數(shù)；實(shí)際問題則需要根據(jù)實(shí)際情況來確定.                     （五）、求函數(shù)y的取值范圍： 

11、0;  根據(jù)自變量的取值范圍確定函數(shù)的取值范圍    1、解不等式法      2、圖象法                                

12、60;                           二、函數(shù)的性質(zhì)（一）、一次函數(shù)的性質(zhì) 當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，是增函數(shù)（即y隨著x的增大而增大）。當(dāng)b時(shí)，直線必通過第二象限；當(dāng)b0時(shí)，直線必通過第四象限當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，是減函

13、數(shù)（即y隨著x的增大而減少）。當(dāng)b時(shí)，直線必通過第一象限；當(dāng)b0時(shí)，直線必通過第三象限。（二）、正比例函數(shù)的性質(zhì)一般地，正比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k0）的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)和（1,k）的一條直線，我們稱它為直線y=kx.。正比例函數(shù)y=kx(k0)的性質(zhì)：當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三象限；自變量x逐漸增大時(shí)，函數(shù)值y也在逐漸增大；（也就是“提”的走向）當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)圖像經(jīng)過第二、四象限；自變量x逐漸增大時(shí)，函數(shù)值y反而減小。（也就是“捺”的走向）歸納為一句話，正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)歸根結(jié)底看k的符號(hào)。即：  k0     

14、;   提  （一、三，增大） ；        k0        捺  （二、四，減?。?#160;                     &#

15、160;             三、函數(shù)的圖像（一）、一次函數(shù)和正比例函數(shù)圖像在坐標(biāo)上的位置正比例函數(shù)y=kx(k0)是經(jīng)過(0,0),(1,k)兩點(diǎn)的一條直線；一次函數(shù)y=kx+b(k0)是經(jīng)過(0,b), （-b/k，0）兩點(diǎn)的一條直線。因此，一次函數(shù)的圖象和正比例函數(shù)的圖象也稱為直線y=kx，y=kxb。理由是：當(dāng)直線經(jīng)過x軸，與x軸相交時(shí)，y=0，則kx+b=0,則x= -b/k.點(diǎn)的坐標(biāo)為(-b/k,0)當(dāng)直線經(jīng)過y軸，與y軸相交時(shí)，x=0，在

16、kx+b=y中，b=y,則點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,b).為什么一次函數(shù)y=kxb(k0)的圖象是一條直線？因?yàn)樽鴺?biāo)滿足一次函數(shù)解析式的點(diǎn)都在直線上；而圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足一次函數(shù)解析式。解釋：A、當(dāng)x=0，y當(dāng)然就等于=b，所以第一個(gè)數(shù)對(duì)點(diǎn)是（0，b）B、當(dāng)y=0，x當(dāng)然就等于= -b/k，所以第二個(gè)點(diǎn)是（-b/k，0）一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(0,b)和(-b/k,0)的一條直線（二）、一次函數(shù)的圖像1、一次函數(shù)圖像的形狀              &#

17、160;        總結(jié)：一次函數(shù)y=kx+b的圖象有以下特點(diǎn)：分析：、在函數(shù)y=2x+6中，k>0，y的值隨x值的增大而增大；在函數(shù)y= -x+6中，y的值隨x值的增大而減小。、由上可知，一次函數(shù)y=kx+b中，y的值隨x的變化而變化的情況跟正比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)相同。對(duì)照正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，可知一次函數(shù)的圖象不同之處是不過原點(diǎn)，但是和兩個(gè)坐標(biāo)軸相交。在作一次函數(shù)的圖象時(shí)，也需要描兩個(gè)點(diǎn)。一般選?。?，b），（-b/k，0）比較簡(jiǎn)單.    2、一次函數(shù)圖像的畫

18、法一次函數(shù)y=kxb的圖象的畫法：根據(jù)幾何知識(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線即可。一般情況下是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：（0，b），（-b/k，0）.即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)。  畫一次函數(shù)的圖象通通如下三個(gè)步驟： （1）列表：畫一次函數(shù)y=kxb(k0)圖像先要列表只取兩個(gè)點(diǎn)x0-b/k yb0   （2）描點(diǎn)：根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”的原理描出兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn),  （3）連線：將描出的兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)連接連成一條直線。

19、0;              參考課件：一次函數(shù)的圖像   （三）、正比例函數(shù)的圖像   1、正比例函數(shù)圖像的形狀正比例函數(shù)的圖像解析式圖像圖像分布函數(shù)變化情況k.>0（提）k<0（捺）k>0（提）k<0（捺）y=kx(k0)是經(jīng)過原點(diǎn)（0,0）和（1，k）的一條直線。一、三象限二、四象限y隨著的x增大而增大y隨著x的增大而減小 總結(jié)：正比例函數(shù)的圖象有以下特點(diǎn)

20、： （1）正比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。 （2）作正比例函數(shù)y=kx的圖象時(shí)，除原點(diǎn)外，還需找一點(diǎn)，一般找（1，k）點(diǎn)。 （3）在正比例函數(shù)y=kx的圖象中，當(dāng)k>0時(shí)，k的值越大，如3，函數(shù)圖象與x軸正方向所成的銳角越大。k的值越小，如1/3，函數(shù)圖象與x軸正方向所成的銳角越小。 （4）在正比例函數(shù)y=kx的圖象中，當(dāng)k>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小。 2、正比例函數(shù)圖像的畫法例1：如果你不用兩點(diǎn)法，而是想多描一些點(diǎn)，可以如下例。但是，兩點(diǎn)決定一條直線，有兩點(diǎn)就夠了，不過下面僅是為了

21、舉個(gè)例子看一下，倒也無妨。    下面是實(shí)際中只用兩個(gè)點(diǎn)畫正比例圖像的兩個(gè)例子:例 y=x;例 y= -1/2。 畫正比例函數(shù)的圖象有如下三個(gè)步驟 （1）列表：畫正比例函數(shù)y=kx0(k0) 圖像先要列表，像一次函數(shù)一樣，只取兩個(gè)點(diǎn)，但其中有一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)必須在原點(diǎn)x01 y0k   （2）描點(diǎn)：根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”的原理描出兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn),  （3）連線：將描出的兩個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)連接連成一條直線。  提示：根據(jù)正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0）的一

22、條直線及幾何中知識(shí)：兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫正比例函數(shù)的圖象只需要確定出圖象上兩個(gè)點(diǎn)，其中有一個(gè)點(diǎn)是（0,0）的位置，過這兩個(gè)點(diǎn)畫出的直線就是正比例函數(shù)的圖象。      3、舉例說明正比例函數(shù)圖像的畫法挺好的百度一次函數(shù)圖像課件推薦一個(gè)挺好的百度文庫一次函數(shù)圖像課件                      

23、0;      四、k、b兩個(gè)字母對(duì)圖像位置的影響K、b兩個(gè)字母的具體分工是：（一次項(xiàng)系數(shù)）k決定圖象的傾斜度。當(dāng)k>0時(shí)，k的值越大，如數(shù)字3，函數(shù)圖象與x軸正方向所成的銳角越大。k的值越小，如數(shù)字1/3，函數(shù)圖象與x軸正方向所成的銳角越小。當(dāng)k0時(shí)，與上相反。 （常數(shù)項(xiàng)）b決定圖象與y軸交點(diǎn)位置。b=0，b=0直線正好與坐標(biāo)交與原點(diǎn)；b0，不論直線向哪邊傾斜（無非只有兩種傾斜角度），直線與y軸交于上半軸。當(dāng)b0時(shí)，直線與y軸則交于下半軸。K、b字母正負(fù)方向符號(hào)對(duì)直線位置的影響：當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大.

24、圖像經(jīng)過一、三象限.當(dāng)k<0時(shí),y隨x的增大而減小.圖像經(jīng)過二、四象限.當(dāng)b>0時(shí),圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方.當(dāng)b<0時(shí),圖象與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方.當(dāng)k>0時(shí),直線與x軸的正方向夾的角是銳角。k的值越大,銳角的度數(shù)越大，如3。k的值越小，銳角的度數(shù)越小大，如1（見下圖）。如果k是分?jǐn)?shù)，如1/3，則與x軸的夾角就更小。當(dāng)k<0時(shí),直線與x軸的正方向夾的角是鈍角,k的值越大,鈍角的度數(shù)越大。（見下圖）或者還可以單獨(dú)把b歸納：b 決定直線與y軸交點(diǎn)的位置,當(dāng)b0時(shí)，直線交y軸于在x軸的上方的正半軸，必通過一、二象限；  當(dāng)b0時(shí)，直

25、線交y軸于在x軸的下方的負(fù)半軸，必通過三、四象限；當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn)當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn)。典型例題對(duì)比分析強(qiáng)烈地感到一次函數(shù)直線y=kxb中，決定這條直線位置的兩個(gè)符號(hào)k和b的分工非常明確，各司其責(zé)。k是管象限和傾斜度的（決定直線的方向，上升或時(shí)下降）。系數(shù)k都相同，k都等于3，那就說明既然K的大小相同，那象限和傾斜度就都相同。這時(shí)不管b的數(shù)字是多少，三條線肯定平行。b是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，是管上下的。負(fù)責(zé)把直線在與y軸的交點(diǎn)上下移動(dòng)。b>0,交y軸正半軸；b<0交y軸負(fù)半軸；b=0.交于原點(diǎn)。b符號(hào)決定直線與y軸交點(diǎn)的位置。例如有三個(gè)一次函數(shù)y=2x、y=2x3、y=2x -3圖象比較如下：本題三條直線k都是正號(hào)，說明都在一、三象線；系數(shù)k都是2，說明傾斜度都相同；但b不相同，因此它們是互相平行的關(guān)系。當(dāng)然如果式子全相同這些直線就互相重合了。   直線與數(shù)軸有交點(diǎn)說明什么？直線與x軸有交點(diǎn)，說明y=0，x有數(shù)值；直線與y軸有交點(diǎn)，說明x=0，y有數(shù)值。  五、解析式的確定    （一）一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)可以確定正比例函數(shù)，兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)可以確定一次函數(shù)待定系數(shù)法確定正比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式。由坐標(biāo)點(diǎn)變成解析式，要靠一個(gè)